簡論二維記法的概念文字

夏素敏

(中國社會科學院 哲學研究所，北京　100732)

簡論二維記法的概念文字

夏素敏

(中國社會科學院 哲學研究所，北京100732)

摘要：圖形及其邏輯的研究正在吸引越來越多的注意，而現代邏輯自誕生起就以一種二維記法——弗雷格的概念文字出現。同時代的皮爾士也以二維方式建立了一套邏輯圖形系統——存在圖。為了探討弗雷格的概念文字和皮爾士的存在圖之間的聯系，在闡述弗雷格的概念文字的相關內容的基礎上，根據已有的研究進展，利用《形式的規律》以及皮爾士存在圖的一些思想把弗雷格邏輯圖形看成是一種信息處理網絡，由此我們可以看到弗雷格蘊涵圖與皮爾士推演指號及其內部結構之間的類似之處。

關鍵詞：弗雷格邏輯圖；《形式的規律》；皮爾士存在圖

中圖分類號：B81

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2015)12-0021-04

Abstract:The study of graphics and its logic is attracting more and more attention, and the modern logic is born with a two-dimensional concept notation of Frege. In the same time, Peirce has set up a set of logical diagrams system-existence figure in the same way. In order to explore the relationship between the concept notation of Frege and Peirce’s existential graphs, the paper described the concept of Frege’s concept notation of the text, and based on the existing research progress, we treated the use of Laws of Form and the existential diagramsof some ideas of Frege’s logical diagrams as a kind of information processing network, which we can see the similarities between implication diagrams of Frege and the deduction signals of Peirce.

收稿日期：2015-07-26

基金項目：國家社會科學基金青年項目“實驗哲學的批判性研究”(14CZX015)

作者簡介：趙亮英(1981—)，女，江西分宜人，講師，哲學博士，研究方向：分析哲學、科學哲學。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2015.12.006

Brief Discussion On Concept Notation of Two-Dimension Notation

XIA Su-min

(Institute of Philosophy, Chinese Academy of Social Sciences, Beijing 100732, China)

Key words： Frege’s logical diagram；LawsofForm；Peirce’s existential graph

1879年，弗雷格在其《概念文字》中給出邏輯的二維符號系統，于是現代邏輯以一種圖形的面貌出現。這些邏輯圖形被弗雷格認為超越了自然語言和其他構造出來的語言的特殊局限性。但是，邏輯學后來的發展并沒有接受弗雷格的這些圖形，因為這個符號系統的“不幸之處在于其累贅不堪而實際使用起來極其困難”[1]24。有意思的是，弗雷格設計這套圖形的目的恰恰就是為了幫助我們的推理實踐：“它的主要目的在于以最可靠的方式檢驗推理系列。”[2]87與弗雷格大約同時期的另一位現代邏輯創始人皮爾士建立的一套邏輯圖形——存在圖，同樣也被長期忽視。根據已有的相關研究，筆者在英國數學家斯賓塞·布朗的《形式的規律》[3]基礎上致力于考察這兩種邏輯圖形的聯系和在當前的意義。

一、弗雷格的“概念文字”

弗雷格的概念文字記法可以表達“一個正確推論所必要的所有東西”[4]8，并且這種表達要求“邏輯關系通過書寫記號清楚地表示出來”[5]14，這些書寫記號正是“邏輯關系的符號”[2]89。他認為，“一個簡單的序列排序絕不能對應思想中相互關聯的邏輯關系的多樣性”，他設計的二維記法是“有助于理解我們想要的、能引起我們興趣的東西”[2]87。

在邏輯圖中，弗雷格的條件豎是弗雷格為初始邏輯關系創設的指號，正是這一條件豎記號為他的邏輯語言提供了二維特征。由此，我們需要從一種揭示其邏輯理由的方式來理解這一記號。在標準讀法中，弗雷格邏輯的條件豎所起的作用與現在的馬蹄號(即實質蘊涵符號)作用是一樣的。

我們知道，圖1中的概念文字條件句只在或者B為假或者A為真的情況下指示真。由此，它表達的是由B?A表達的思想。圖2則否定了下述情形：在這種情形中，A被否定而B和Γ都被肯定。Γ和圖1結合起來的構造方式與圖1內部B與A的構造方式是一樣的。這樣理解的話，那么圖1就是相對于條件Γ的一個整體單位。由此，前者就具有了“如果Γ，那么，若B則A”的形式。也就是說，表達的就是Γ?(B?A)。隨著更多條件的加入，如Δ的加入，圖5是標準記法Δ?(Γ?(B?A))表達的意思。如果這樣的方式就是概念文字條件句的讀法，那么弗雷格二維記法的邏輯理由無非是讓我們省略了括號而已。

通常的理解與弗雷格早期邏輯中的理解一樣，一個帶有多個條件的概念文字句子具有固定的邏輯結構。讀法按照下述規則進行：從左上方開始，沿著橫線往右，直到遇到第一條條件句豎線，該豎線右邊的內容都跟在“如果”后面，然后說“那么”，再繼續。這一規則對于一個條件本身也是條件句的情形可以遞歸地使用。但是對于一個具有這種結構的句子，也未必一定具備讓人信服的理由來使用上述二維表示方式。很明顯，弗雷格知道他的概念文字條件句可以有多種讀法。我們在前面已經看到，(R?(Q?P))可以表示成圖4中的概念文字。弗雷格認為由此產生的句子僅僅是表示P、Q和R處于一種邏輯關系之中，這種關系可以用不同的方式讀出來。在這一句子中，我們可以把“—P”稱為“主要成分”，而把“—Q”和“—R”稱為“次要成分”；然而，我們也可以把圖5視為主要成分而單獨把“—R”視為次要成分。在前一種情形下，這個句子讀成條件句“如果R和Q，那么P”；而在后一種情形下，則讀成“如果R，那么，若Q則P”。這一概念文字句子本質上是二維的，與此相應的是一族可證等值的系列有序的線性結構。

按照弗雷格的意思，可證等值的句子表達的是一個相同的思想。邏輯所關心的則是所有等值命題都擁有同一思想，因此對于每一個等值命題系統來說，單個標準命題就夠了。弗雷格的二維記法為多于一個條件的條件句提供的剛好就是這樣的標準命題。在我們現在的標準線性記法中，每一個句子有且僅有一個主聯接詞，這一聯接詞也是推導規則應用之處；概念文字的句子則相對于分析來講也只有一個主聯接詞。圖6中的句子有4種不同的讀法。一種讀法是把“—S”作為次要成分，而在余下的主要成分中，再把R作為其次要成分；這就表達成現在的公式S?(R?(Q?P))。當把“—S”作為次要成分，把主要成分中的“—P”作為其主要成分，其余作為次要成分的時候，得到的公式將是S?((R & Q)?P)。第三種則是把“—S”和“—R”看成是次要成分而得出(S & R)?(Q?P)。還有一種就是把“—S”“—R”和“—Q”都處理成次要成分，“—P”為主要成分，得到的是((S & R & Q)?P)；在這種情況下，主聯接詞就是上面橫線最右邊那段。

公式S?(R?(Q?P))是說，或者前件S為假，或者后件R?(Q?P)為真。這一思想由圖6中的概念文字句子來表達。但是，在我們的讀法中，它沒有說或者S為假或者R?(Q?P)為真；它展示的卻是4個句子S、R、Q和P之間一個復雜的邏輯關系，這一關系可以分析成或者S為假或者R?(Q?P)為真，當然也可以用其他方式來分析。在這個表達式中，橫線與左邊的條件句豎線一起構成了一個復雜的句子聯接詞，它作為一個單位起作用，就像“2+3=5”的“+”和“=”一起作為一個單位表示了2、3與5之間的一種算術關系。因此，與馬蹄號不同，弗雷格的條件句豎線可以是一個n元的句子聯接詞，不管其復雜度是多少。因此，圖7展示的是句子之間的一種邏輯關系，同樣，圖8也展示了句子之間的一種邏輯關系。也就是說，在弗雷格的記法中，交換次要成分是允許的；改變次要成分的順序需要合理證明，這也是次要成分的交換在《算術基礎》中作為一條規則提出來的原因，也是在《概念文字》中作為一條定理被證明的原因。但是，在弗雷格的記法中，這樣一條規則可以涵蓋所有這種形式的情形。因此，弗雷格的條件句豎線把“邏輯完美性和最大簡潔性”組合起來，把“極大的邏輯精確性和明晰性、簡潔性”組合起來。弗雷格邏輯中的換質位規則有力地支持了這一點：對圖9中的判斷應用換質位規則，將得到圖10或者圖11、圖12。

但是，在我們現在的標準線性記法中，一個句子不能有不同的看法；一個復合句有且只有一個主聯接詞，而組成這個復合句的句子則至多只有一個主聯接詞。因此，S?(R?(Q?P))與S?(﹁(Q?P)?﹁R)等值的自然推演證明，以及S?(R?(Q?P))與S?(﹁P?(Q?﹁R))等值的自然推演證明，這兩者是完全不同的。前者看起來是換質位規則的一次應用即可以得到，而后者則不然。在《概念文字》中，一個多重條件的條件句對應著標準線性記法公式的一個等價類。弗雷格也認為同一個思想可以有不同的方式表達出來，圖13、14、15三個句子表達的是同一個思想，僅僅是形式不同而已。

二、概念文字和存在圖：信息處理

弗雷格的記法與《形式的規律》的開關電路理論有相近之處。《形式的規律》是英國數學家斯賓塞·布朗于1969年出版的，書中用數學形式解釋哲學中的思維現象。正文的第一頁引用了中國古代哲學家老子的話“無名天地之始”[3]1，一切論證便從這里開始。現在把弗雷格的系統和《形式的規律》聯系起來進行討論。

在B?A中，這一連續記法從結構上把這些命題和樹形式聯系了起來。我們現在把A?(B?C)(圖16)和(A?B)?C(圖17)的概念文字做一個比較：概念文字的不同樹形結構把蘊涵的非交換性圖示出來。在概念文字中，否定用一條豎線圖示出來，圖18是﹁A的概念文字句子，否定號“否定”的是其右邊所有的內容。現在，我們在使用弗雷格記法的時候會遇到困難。邏輯并非只是蘊涵的結構，它還必須處理其他聯接詞如“并且”“或者”以及由否定引起的各種方式。圖19的概念文字句子表示的是﹁(A?B)，圖20則表示(﹁A)?B。按照標準邏輯，A∨B、A & B分別表示成圖20、21的概念文字句子，于是邏輯關系在二維記法中變成了空間關系，圖形越來越復雜了。

1957年已經有人在邏輯雜志上提出過弗雷格圖形與開關電路之間的一個早期的聯系[6]。我們現在把弗雷格的圖看作是字母位于右邊的信號處理器。在圖22中，信息流從右往左通過，圖形最左邊的邊表示圖形本身的表達式的值，Z是A、B、C和D經過轉換后圖形的值。因此，在圖23中，A在表示否定的豎線的作用之下轉換成﹁A。而對于蘊涵式，我們有結果﹁A∨B(圖24)。

但是，當拐彎的時候(圖25)，信號怎么辦呢？另外，在樹中把兩條線簡單地連接起來(圖26)又是一種什么樣的行為呢？答案是簡單的，而且這一答案揭示的是弗雷格圖形的一種句法基礎，這一句法使得這些圖形便于使用：(1)當內容線拐彎的時候，信號被否定(圖27)；(2)兩條線的連接執行的是運算“或者”(圖28)。現在，信號就可以在弗雷格的形式系統中流動，弗雷格的語言得到了新生。在這些運算指派下，弗雷格的圖形變成了信息處理網絡，它們在“并非”和“或者”這一語言中非常容易讀出來。

在斯賓塞·布朗的《形式的規律》中，直角是一個標記、一個包含者、一個原始區分的代表；A?B寫成圖29，而圖30、圖31、圖32是弗雷格記法和斯賓塞·布朗記法的混合。

美國數學家、信息論創始人克勞德·香農(Claude Shannon)于1930年代發現了布爾代數和開關網絡之間的聯系。皮爾士發現的圖式邏輯系統包括他的推演指號以及存在圖[7]。皮爾士的圖式系統與我們這里討論的主題密切相關，他的推演指號也是由一個直角構成的(圖33)。

這一指號是一個由否定(上橫線)和加(+，邏輯上的“或者”)組合而成的指號，它可以分解如下：

皮爾士試圖通過這個組合指號來調動其整個指號理論。與弗雷格的蘊涵圖形一樣，皮爾士的推演指號指出了這一運算的一個整體意義，而且提示了與其他邏輯運算相互關系。在弗雷格蘊涵圖中，通過在直角那里發現“否定”以及在聯接點發現的“或者”，我們可以看到弗雷格蘊涵圖與皮爾士推演指號及其內部結構之間的類似之處，而弗雷格圖形和皮爾士圖形之間的這些類似還值得進一步研究。

參考文獻：

[1]RUSSELL B.Principle of Mathematics[M].Cambridge ：Cambridge University Press，1903.

[2]FREGE G.Conceptual Notation and Related Articles[M].Oxford:Clarendon Press,1972.

[3]SPENCER-BROWN G.Laws of Form[M].[S.l.]:Allen & Unwin，1969.

[4]弗雷格.弗雷格哲學論著選輯[M].王路,譯.北京：商務印書館,2006.

[5]FREGE G.Posthumous Writings[M].Chicago :University of Chicago Press,1979.

[6]HOERING W.Frege und die Schaltalgebra[J].Archive for Mathematical Logic,1957,3(3/4):125-126.

[7]PEIRCE C S.Collected Papers vol.4[M].Cambridge:Harvard University Press,1933.

(責任編輯張佑法)

引用格式：趙亮英.語境、意向與指稱——塞爾與馬蒂尼奇的意向指稱理論之比較[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2015(12):25-30.

Citation format：ZHAO Liang-ying.Context, Intention and Reference: Comparative on Searle and Martinich’s Intentional Theory of Referring[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2015(12):25-30.