雷鵬

摘要:圓錐曲線方程是高中數學中重要的基礎知識點,其在高考數學中占有重要比重。本文通過對高中數學中常見的數學類型題目,分析圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用,為學生學習成績的提升打下堅實基礎。
關鍵詞:圓錐曲線參數方程 ? 高中數
學解題
DOI:
10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.09.146
圓錐曲線定義中,通過橢圓定義、雙曲線定義、圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關系進行解題。在解題的過程中,需要對上述三者有個清晰的認識,樹立等價轉換思想,加強數形結合的建設,由點到面,促進教學層次的深化,從而提升學生在圓錐曲線參數方程上的理解,進而為有效解決數學難題提供重要支撐。
一、創新性思維:利用圓錐曲線方程解決高中數學題中常見的最值問題
傳統的數學學習方式是通過廣泛地做題,不斷進行數學題型的訓練,從而獲得學習成績的提升。目前,針對學生學習特點與學習進度,通過設計典型習題,注重培養創新思維,從而舉一反三,快速提升學生對于數理認識,加強對數學的感知能力,使數學成績得到提升。后者更加注重人性化,以學生為中心,避免數學題練習的低質量與低學習效率。
例1: ?橢圓
橢圓一個內接四邊形ABCD,其各邊與坐標軸平行,求此四邊形的最大面積與最大周長。
由題目可以進行推斷,將思路不要僅僅限于局部,啟用創新性思維,不斷與其他知識展開聯想,打開解題的突破點。
解析:根據題目可以假設A(acosθ,bsinθ),通過對四邊形的觀察,可以得到其四邊與坐標軸分布保持平行,推斷四邊形ABCD為矩形,其面積可以表示為S=4(acosθ×bsinθ)=2absin2θ。當S表示為最大值,sin2θ為最大值,其值為1;當sin2θ=1時,S=2ab,四邊形ABCD的周長可以表示為 L = 4( bsinθ+ acosθ) = 4( a2+b2)1 /2sin(θ+β)·sinβ= a÷( a2+ b2)1 /2,cosβ= b ÷( a2+b2)1 /2,當sin(θ+β) 為最大值時,四邊形的周長為最大,sin(θ+β)值為1,LMAX=4(a2+b2)1/2
二、探索性思維:采用定義與正余弦定理求焦點三角形
高中數學中,存在一定數量難點,對于學生的學習能力提出了新的要求,要求學生在實際的解題過程中,能夠充分發揮探索性思維,通過總結與小組合作,提升數學解題能力。在圓錐曲線參數方程的應用解題中,單一性題目較少,復合型、復雜性題目較多,難度系數也隨之增加。如何充分發揮探索性思維,需要學習不拘于形式,通過對基礎知識的深度理解,正確把握解題的精髓。
例2:已知雙曲線
P為雙曲線上任意一點,∠F1PF2=θ,求△F1PF2的面積。
在本題中,在結合基礎知識的基礎上,通過對定義的深度理解,巧用正余弦定理,進而利用面積公式與正余弦定理得到相應的答案。
解析:
通過與圓錐曲線中的雙曲線定義能夠得到,
即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)
通過對(3)與(2)進行分析與研究,可以
推出
在上式(1)中代入三角形面積
進而完成此題的解答。
三、自主學習能力提升:采用圓錐曲線參數方程解決范圍問題
高中學習階段,強調自主學習與合作學習相結合,通過自主學習發現自身存在的問題,并采取有效措施加以解決,從而促進自身學習水平的提升[4]。在高中數學解題中,通過對科學思維的合理運用,能夠對數學習題輕松解答。
例3 : 橢圓方程
與x軸的正半軸相交,交點表示為M,如果 ? 該方程上有一點N,ON垂直于MP,求橢圓離心率的范圍。
學生在自主學習過程中,面對疑難問題時不應立即求助,依據自身對基礎知識的掌握程度,發揮自出探究精神,對疑難問題提出挑戰,從而提升自身數學解題的能力與水平。
解析:根據題目可知。M的坐標可以用(a,0)表示。假設N點坐標為(acosθ,bsinθ),同時,結合ON⊥MP可以得到
對上式進行化簡,可以推出:
由于ON⊥MP,結合方程b2=c2-a2,所有離心率e的范圍是
四、圓錐曲線參數方程應用過程中應注意的問題
圓錐曲線參數方程在應用中強調對各種知識的綜合運用,通過合理運算思維與結構,實現對數學問題的求解。在此過程中,要求學生掌握基礎知識的基礎上,更加注重對知識的靈活運用。因此,學生在學習圓錐曲線參數方程相關基礎知識時,應注重多寫、多問、多記,打下扎實的基本功,從而能夠在解題中,摸透數學題目的內涵,快速解題。
五、結語:
高中數學在高中教育體系中占據著極為重要的位置,需要教師在教學活動中,在加強對基礎知識的教學時,注重學生對基礎知識的運用。通過典型題目的專題講解,促進學生成績的提升。
參考文獻:
[1]毛芹.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].理科考試研究:高中版,2014(21).
[2]陳堯明.直線參數方程教學設計[J].教學月刊:中學版,2011(23).
[3]李淑燕.用圓錐曲線的參數方程解題例談[J].數理化學習:高三,2011(7).
[4]陳傳熙.“圓錐曲線的參數方程”的教學困惑與對策分析[J].數學通報,2010(49).
[5]梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問題的幾種解法[J].中學數學,2012(5).
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