圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用

雷鵬

摘要：圓錐曲線方程是高中數學中重要的基礎知識點，其在高考數學中占有重要比重。本文通過對高中數學中常見的數學類型題目，分析圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用，為學生學習成績的提升打下堅實基礎。

關鍵詞：圓錐曲線參數方程 ? 高中數

學解題

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.09.146

圓錐曲線定義中，通過橢圓定義、雙曲線定義、圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關系進行解題。在解題的過程中，需要對上述三者有個清晰的認識，樹立等價轉換思想，加強數形結合的建設，由點到面，促進教學層次的深化，從而提升學生在圓錐曲線參數方程上的理解，進而為有效解決數學難題提供重要支撐。

一、創新性思維：利用圓錐曲線方程解決高中數學題中常見的最值問題

傳統的數學學習方式是通過廣泛地做題，不斷進行數學題型的訓練，從而獲得學習成績的提升。目前，針對學生學習特點與學習進度，通過設計典型習題，注重培養創新思維，從而舉一反三，快速提升學生對于數理認識，加強對數學的感知能力，使數學成績得到提升。后者更加注重人性化，以學生為中心，避免數學題練習的低質量與低學習效率。

例1： ?橢圓

橢圓一個內接四邊形ABCD，其各邊與坐標軸平行，求此四邊形的最大面積與最大周長。

由題目可以進行推斷，將思路不要僅僅限于局部，啟用創新性思維，不斷與其他知識展開聯想，打開解題的突破點。

解析：根據題目可以假設A（acosθ，bsinθ），通過對四邊形的觀察，可以得到其四邊與坐標軸分布保持平行，推斷四邊形ABCD為矩形，其面積可以表示為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ。當S表示為最大值，sin2θ為最大值，其值為1;當sin2θ=1時，S=2ab，四邊形ABCD的周長可以表示為 L = 4（ bsinθ+ acosθ） = 4（ a2+b2）1 /2sin（θ+β）·sinβ= a÷（ a2+ b2）1 /2，cosβ= b ÷（ a2+b2）1 /2，當sin（θ+β） 為最大值時，四邊形的周長為最大，sin（θ+β）值為1，LMAX=4（a2+b2）1/2

二、探索性思維：采用定義與正余弦定理求焦點三角形

高中數學中，存在一定數量難點，對于學生的學習能力提出了新的要求，要求學生在實際的解題過程中，能夠充分發揮探索性思維，通過總結與小組合作，提升數學解題能力。在圓錐曲線參數方程的應用解題中，單一性題目較少，復合型、復雜性題目較多，難度系數也隨之增加。如何充分發揮探索性思維，需要學習不拘于形式，通過對基礎知識的深度理解，正確把握解題的精髓。

例2：已知雙曲線

P為雙曲線上任意一點，∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面積。

在本題中，在結合基礎知識的基礎上，通過對定義的深度理解，巧用正余弦定理，進而利用面積公式與正余弦定理得到相應的答案。

解析：

通過與圓錐曲線中的雙曲線定義能夠得到，

即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

通過對（3）與（2）進行分析與研究，可以

推出

在上式（1）中代入三角形面積

進而完成此題的解答。

三、自主學習能力提升：采用圓錐曲線參數方程解決范圍問題

高中學習階段，強調自主學習與合作學習相結合，通過自主學習發現自身存在的問題，并采取有效措施加以解決，從而促進自身學習水平的提升[4]。在高中數學解題中，通過對科學思維的合理運用，能夠對數學習題輕松解答。

例3 ： 橢圓方程

與x軸的正半軸相交，交點表示為M，如果 ? 該方程上有一點N，ON垂直于MP，求橢圓離心率的范圍。

學生在自主學習過程中，面對疑難問題時不應立即求助，依據自身對基礎知識的掌握程度，發揮自出探究精神，對疑難問題提出挑戰，從而提升自身數學解題的能力與水平。

解析：根據題目可知。M的坐標可以用（a，0）表示。假設N點坐標為（acosθ，bsinθ），同時，結合ON⊥MP可以得到

對上式進行化簡，可以推出：

由于ON⊥MP，結合方程b2=c2-a2，所有離心率e的范圍是

四、圓錐曲線參數方程應用過程中應注意的問題

圓錐曲線參數方程在應用中強調對各種知識的綜合運用，通過合理運算思維與結構，實現對數學問題的求解。在此過程中，要求學生掌握基礎知識的基礎上，更加注重對知識的靈活運用。因此，學生在學習圓錐曲線參數方程相關基礎知識時，應注重多寫、多問、多記，打下扎實的基本功，從而能夠在解題中，摸透數學題目的內涵，快速解題。

五、結語：

高中數學在高中教育體系中占據著極為重要的位置，需要教師在教學活動中，在加強對基礎知識的教學時，注重學生對基礎知識的運用。通過典型題目的專題講解，促進學生成績的提升。

參考文獻：

[1]毛芹.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].理科考試研究：高中版，2014（21）.

[2]陳堯明.直線參數方程教學設計[J].教學月刊：中學版，2011（23）.

[3]李淑燕.用圓錐曲線的參數方程解題例談[J].數理化學習：高三，2011（7）.

[4]陳傳熙.“圓錐曲線的參數方程”的教學困惑與對策分析[J].數學通報，2010（49）.

[5]梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問題的幾種解法[J].中學數學，2012（5）.

（責編 ? 金 ? 東）