最大Lyapunov指數在確定混沌系統混沌參數域中的應用

楊琪斌，王　基

(海軍工程大學動力工程學院，湖北 武漢 430033)

Application of the Largest Lyapunov Exponent for Confirming Parameter Domain of Chaos System

YANG Qibin，WANG Ji

(College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

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最大Lyapunov指數在確定混沌系統混沌參數域中的應用

楊琪斌，王基

(海軍工程大學動力工程學院，湖北 武漢 430033)

Application of the Largest Lyapunov Exponent for Confirming Parameter Domain of Chaos System

YANG Qibin，WANG Ji

(College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

摘要：非線性振動系統具有與傳統線性振動系統不同的某些特點和性能，并且當參數處于一定范圍內時，系統將呈現混沌狀態。最大Lyapunov指數是判斷非線性振動系統是否為混沌的一個重要判據。提出了利用最大Lyapunov指數來確定Duffing系統的混沌參數區間的可行性，并利用參數的分岔圖進行驗證。

關鍵詞：Duffing系統；Lyapunov指數；參數

0引言

混沌現象是一種確定性的非線性運動。在工程中對混沌現象的利用稱之為混沌控制。混沌控制的前提是混沌識別。通過混沌識別確定系統進入混沌狀態的參數域是一個非常重要的研究方向，非線性系統的混沌參數域與激勵幅值、激勵頻率等因素密切相關。目前，利用系統運動的相圖、功率譜和Poincare映射這三種工具來進行混沌判別應用比較廣泛[1-4]。一個系統的最大Lyapunov指數大于零時，系統處于混沌狀態。近些年來，Lyapunov的計算方法得到快速發展，1993年，Rosenstein等人基于軌道跟蹤法思想，提出了計算最大Lyapunov指數的小數據量法。楊愛波等人使用了基于空間分塊的k鄰域搜索法。這些算法的出現使得利用Lyapunov指數來進行混沌識別，以確定系統進入混沌狀態的參數域成為可能。

1模型的建立

強Duffing模型是一種非常常見和具有代表性的非線性模型，如硬彈簧、鋼板彈簧、空氣彈簧等，都可以用強Duffing模型來描述其動力特性，在工程中應用非常廣泛。因此，強Duffing模型系統混沌特性的參數研究對于混沌控制及其在工程中的應用指導都具有重要意義。

Duffing模型關于參數域的研究主要集中在單參數研究，所謂的單參數研究就是考慮系統運動特性的變化時只改變一個參數變量，而其他參數固定不變。這樣可以直觀的觀察到系統特性隨單一參數變化的規律。

非線性振動系統如圖1所示，該系統的運動微分方程為：

圖1　非線性振動系統

(1)

K1X+K3X3為非線性彈性恢復力；K3為負時，系統呈現軟特性；K3為正時，系統呈現硬特性。

對方程(1)進行無量綱化處理，得

(2)

(3)

2仿真實驗

Duffing系統在沒有受外界激勵擾動時，處于自激勵振蕩狀態，經過一段時間后趨于穩定狀態。要想使系統進入混沌狀態，需要對Duffing系統施加外激勵。以下仿真研究Duffing系統的不同參數處在哪個區間的時候，系統將處于混沌狀態。

2.1　阻尼因子

仿真參數：外激勵幅值f=43.00 N；激勵頻率ω=1.600 rad/s。

系統輸出隨阻尼因子k變化的分岔圖如圖2所示，由圖可知：k在區間(0.090 0-0.2000)中系統處于混沌狀態；k在區間(0.210 0-0.510 0)中系統處于周期三運動；k在區間(0.510 0-1.000 0)中系統處于周期一運動。

最大Lyapunov指數隨阻尼因子k變化的關系圖如圖3所示，由圖可知：k在區間(0.900 0-0.200 0)中最大LE大于0，系統處于混沌狀態，與分岔圖所得結果相同。

圖2　輸出隨阻尼因子k變化的全局分岔圖

圖3　最大LE與阻尼因子的關系

2.2　激勵幅值

仿真參數：阻尼因子k=0.100 0；激勵頻率ω=1.600 rad/s。

輸出隨激勵幅值f變化的分岔圖如圖4所示，由圖可得：f在區間(1.000-23.00)，(56.00-100.0)中系統處于周期一運動；f在區間(23.00-28.00)中系統處于周期二運動；f在區間(28.00-43.00)中系統處于周期三運動；f在區間(43.00-56.00)中系統處于混沌狀態。

圖4　輸出隨激勵幅值f變化的全局分岔圖

最大Lyapunov指數隨激勵幅值f變化的關系如圖5所示，由圖可得：f在區間(43.00-56.00)中最大LE大于0，系統處于混沌狀態。與分岔圖所得結果一致。

圖5　最大LE與激勵幅值f的關系

2.3　激勵頻率

仿真參數：阻尼因子k=0.1000；激勵幅值f=43.00N。

輸出隨激勵頻率ω變化的全局分岔圖如圖6所示，由圖可得，ω在區間(1.550~1.750)中系統處于混沌狀態；在區間(2.000~3.000)中系統處于周期一運動。

圖6　輸出隨激勵頻率ω變化的全局分岔圖

最大Lyapunov指數隨激勵頻率ω變化的關系如圖7所示，由圖可得，ω在區間(1.550~1.750)中，最大LE大于0，系統處于混沌狀態。與分岔圖所得結果一致。

圖7　最大LE與激勵幅值f的關系

3結束語

在工程中利用混沌現象，需要得到系統進入混沌狀態的參數域。近些年來，Lyapunov指數算法得到迅速發展。算法速度和精度的提高，以便利用Lyapunov指數來進行混沌識別，以確定系統進入混沌狀態的參數域更加準確，結果更加可信。通過計算硬彈簧Duffing系統的最大Lyapunov指數，得出了系統隨著不同參數變化的混沌區間，與利用參數的分岔圖得到的混沌系統的混沌參數域一致。證明了利用最大Lyapunov指數確定混沌系統的混沌參數區間是可行的，為利用Lyapunov指數確定任何混沌系統的混沌參數區間提供了一個正確的仿真研究實例。為混沌理論的應用研究提供了一種可靠的數據分析方法，對于混沌控制及其在工程中的應用都具有指導意義。

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[8]汪新明．橡膠隔震支座的非線性建模及參數識別研究．南京：南京航空航天大學，2008.

Abstract：Nonlinear vibration systems have some characteristics and properties different from traditional linear vibration systems. When the parameter is in some ranges, the system is in a chaotic state. The largest Lyapunov exponent is an essential criterion to judge whether the system is in chaos state or not. The feasibility of using the Largest Lyapunov exponent to confirm the parameter domain is presented in this paper, and it is verified by the bifurcation diagram of system.

Key words：duffing system；lyapunov exponent；parameter

作者簡介：楊琪斌(1991-)，男，河北石家莊人，碩士研究生，研究方向為機械動力學和非線性振動。王基(1964-)，男，湖北武漢人，副教授，碩士研究生導師，研究方向為機械動力學和非線性振動。

基金項目：國家自然科學基金(5157090314)；海洋工程國家重點實驗室(上海交通大學)開放課題(1009)

收稿日期：2015-09-14

文章編號：1001-2257(2015)12-0003-03

文獻標識碼：A

中圖分類號：O322