一類非線性系統(tǒng)的函數(shù)觀測器設(shè)計探究

張紅鈺,金玉蘋,刁 瑞

（牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 綏化 157000）

一類非線性系統(tǒng)的函數(shù)觀測器設(shè)計探究

張紅鈺,金玉蘋,刁 瑞

（牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 綏化 157000）

本文著重對單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器設(shè)計進行研究，在已知條件背景下，通過線性矩陣不等式對函數(shù)觀測器增益矩陣條件進行明確，繼而確定了函數(shù)觀測器增益矩陣設(shè)計方法。以一個仿真實例為基礎(chǔ)，對函數(shù)觀測器的設(shè)計進行驗證，既能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)估計，又能夠有效消除觀測誤差。

非線性;系統(tǒng);函數(shù)觀測器;設(shè)計探究

1 前言

非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計問題一直備受關(guān)注，相關(guān)研究者也嘗試通過坐標(biāo)變換法、類Lyapunov方法和擴展的Kalman濾波法等對不同設(shè)計方法進行探索，以推進狀態(tài)反饋實施，為非線性系統(tǒng)觀測器研究奠定良好的理論及技術(shù)基礎(chǔ)。以一類Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計為例，相關(guān)文獻中對該非線性系統(tǒng)的相關(guān)條件進行明確界定，有助于實現(xiàn)觀測器漸近穩(wěn)定，與此同時，也對觀測器增益矩陣的設(shè)計方法進行明確，并在降維觀測器設(shè)計中對相關(guān)研究成果進行推廣。

Lipschitz條件背景下的觀測器增益矩陣設(shè)計方法比較保守，數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究者采用單邊Lipschitz條件，對它的保守性進行有效控制。相關(guān)文獻中已經(jīng)對單邊Lipschitz條件的概念進行了相關(guān)界定，且單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器增益矩陣條件也比較充分，但是觀測器增益矩陣設(shè)計過程中的有效性不足，也并未給出具體的設(shè)計方法。相關(guān)研究人員對線性矩陣不等式進行求解，以得出觀測器增益矩陣。而單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)降維觀測器增益矩陣的相關(guān)條件也比較充分，并嘗試提出新型觀測器設(shè)計方法。采用二次內(nèi)積有界性使觀測器增益矩陣條件充足，它需要對非線性矩陣不等式進行求解，筆者對該條件進行升級和改進，使其變?yōu)榻饩€性矩陣不等式，而觀測器增益矩陣設(shè)計方法屬已知條件。借助Lyapunov方法，觀測誤差漸近穩(wěn)定條件呈已知狀態(tài)，對觀測器設(shè)計進行轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)閷€性矩陣不等式進行求解，借助該種方法，實現(xiàn)觀測器增益矩陣設(shè)計。相關(guān)文獻中，以代數(shù)Riccati方程為前提，對單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)降維和全維觀測器設(shè)計方法進行明確。部分文獻是基于狀態(tài)觀測器給出單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計，而針對此類非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器的設(shè)計仍然比較模糊。控制工程背景下，函數(shù)觀測器是指重構(gòu)狀態(tài)反饋的函數(shù)所屬觀測器。部分函數(shù)的狀態(tài)反饋直接重構(gòu)，極有可能導(dǎo)致觀測器尾數(shù)少于降維背景下的觀測器維數(shù)，故而需要研究單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器。本文著重對單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器設(shè)計問題進行研究和考量，在線性矩陣不等式基礎(chǔ)上，對函數(shù)觀測器的存在條件進行明確，然后對函數(shù)觀測器增益矩陣進行有效設(shè)計。

2 系統(tǒng)描述和預(yù)備知識

如下所示，為已知非線性系統(tǒng)：

x∈Rn指代系統(tǒng)狀態(tài)，y∈Rn和u∈Rn分別指代輸出和輸入。而已知實矩陣為A∈Rn×n和A∈Rn×n，φ（x,u）屬于連續(xù)的非線性函數(shù)。

從相關(guān)文獻中得出如下定義：定義1 D指代的是包含原點的區(qū)域，假定ρ∈R屬于已知存在條件，需對任意x1和x2∈D,

有關(guān)ρ的單邊Lipschitz函數(shù)即對稱函數(shù)φ（x,u），其中，單邊Lipschitz常數(shù)是ρ，它比較靈活，可以以零、正數(shù)、負數(shù)三種狀態(tài)存在，而條件（2）屬于單邊Lipschitz的條件。

3 設(shè)計函數(shù)觀測器

依據(jù)非線性系統(tǒng)（1），執(zhí)行函數(shù)觀測器設(shè)計：

Z指代的是r×(n+p)維的任意矩陣。已知

故而矩陣Q∈Rr×r存在，由S∈Rr×p得出下列式子：

r×(r+p)維的任意矩陣是X。已知

屬于行滿秩矩陣，那么矩陣K的偽逆是K+=KT（KKT）-1，且

定理1 對系統(tǒng)（1）進行考量，假定包含的常數(shù)有ρ、α、β∈R，而非線性函數(shù)φ（x.u）與條件（2）和（3）相符合，行滿秩矩陣K∈Rr×n，如果矩陣Z∈Rr×(n+p)存在，條件（8）成立。同時，矩陣P=PT＞0，X，和常數(shù)ε1和ε2在下列線性矩陣不等式中成立：

因而觀測誤差動態(tài)方程符合

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在式子（17）中，對系統(tǒng)（1）和（4）進行代入，得出

與引理1條件相符合，可用下列式子對誤差動態(tài)方程（18）進行表示：

其中Q=M1+XN1。

擇定Lyapnnov函數(shù)

則閉環(huán)系統(tǒng)軌線背景下V(e)的導(dǎo)數(shù)為

針對任意正數(shù)ε2，

根據(jù)式子（21）、（22）和（23）得出

定理1得證[3]。

（2）對矩陣Z∈Rr×(n+p)進行驗證，看其能否使條件（8）成立。如果成立，進入下一步，反之，重新驗證。

（3）依據(jù)式子（12）分別對矩陣M1和M2以及N1和N2進行計算，并依據(jù)定理1，對線性矩陣不等式（15）進行求解。

（4）如果有矩陣P，X1=PX以及正數(shù)ε1和ε2都能夠滿足線性矩陣不等式（15），故而X=P-1X1，Q=M1+XN1，S=M2+XN2，表明完成函數(shù)觀測器增益矩陣的設(shè)計。

4 仿真實例

已知行滿秩矩陣，將Z設(shè)定為0，依據(jù)定理1對函數(shù)觀測器進行設(shè)定，分別得出P、φ和T的矩陣。狀態(tài)x2和x4的誤差響應(yīng)曲線和其初始值都處于已知狀態(tài)，得出仿真結(jié)果，而6S內(nèi)狀態(tài)x2和x4的誤差響應(yīng)曲線能夠收斂為0。已知矩陣K=I4，函數(shù)觀測器（4）的類別是全維觀測器，已知狀態(tài)x2和x4的誤差響應(yīng)曲線，5S內(nèi)其能夠收斂為0[4]。

5 結(jié)語

本文著力于對單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器設(shè)計等進行研究，在具體研究過程中，對線性矩陣不等式進行求解，繼而得出函數(shù)觀測器增益矩陣的成立條件。假定矩陣K的秩與狀態(tài)維數(shù)相比較小，該背景下的函數(shù)觀測器將具備降維觀測器功能；如果矩陣K的秩與狀態(tài)維數(shù)相等，函數(shù)觀測器具備全維觀測器功能。在專業(yè)范疇內(nèi)進行一系列實驗論證，得出的仿真結(jié)果證明了該設(shè)計方法極為有效，符合具體設(shè)計要求，有助于實現(xiàn)功能上的突破，對非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器設(shè)計極具推動作用。

[1]高虹,蔡秀珊.一類非線性系統(tǒng)的函數(shù)觀測器設(shè)計[J].控制理論與應(yīng)用,2013(09)：1207-1210.

[2]蔡秀珊,王貞蕓.單邊Lipschitz非線性時滯系統(tǒng)的函數(shù)觀測器設(shè)計[J].控制與決策,2015(12)：2259-2264.

[3]王璐,徐慧玲.一類3--D非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及函數(shù)觀測器設(shè)計[J].控制理論與應(yīng)用,2014(04)：493-500.

[4]孫蓉,劉勝等.一類非線性系統(tǒng)故障診斷觀測器設(shè)計[J].控制理論與應(yīng)用,2013(11)：1462-1466.

項目名稱：牡丹江師范學(xué)院青年科研項目“不確定擬單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計”。項目編號：QN201623

10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.22.241

張紅鈺（1982-），女，黑龍江綏化人，碩士研究生，講師，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計。