基于動態子結構法的復合材料加筋板的振動特性

錢若力，王瑞鵬，李頂河

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

基于動態子結構法的復合材料加筋板的振動特性

錢若力，王瑞鵬，李頂河

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

采用動態子結構法中的固定模態綜合法研究復合材料加筋板的振動特性。首先，基于逐層/實體元方法建立板和加強筋兩個子結構的控制方程。然后，在固定界面下建立子結構的模態空間并將其控制方程轉換成模態空間下的控制方程。最后，根據板和加強筋相互連接區域的內力平衡和位移協調條件，建立固定界面模態下的總體控制方程。通過數值算例將本文方法與MSC軟件分析結果進行對比，從而論證該方法的正確性。此外，還對復合材料加筋板進行自由振動分析，研究結果對于分析加筋板結構具有一定的指導意義。

動態子結構法；固定界面模態綜合法；加筋板；自由振動；復合材料

在工程應用領域，有限元法在結構性能分析方面具有很強的通用性，但對于比較復雜且細致的大型結構，在進行有限元劃分時，需對結構進行較為稠密的網格離散，此時對結構進行分析所需計算量大，尤其是求解頻率和振型的特征值問題，因此有必要引入動態子結構法（DSM，dynamic substructure method），以降低結構分析時所需龐大的計算量。該方法是對大型復雜結構系統進行動力分析的有效方法，且已成為一種常規方法[1-2]。

動態子結構法具有大幅降低計算成本的優勢，因此在航空運載器、核反應裝置、地面建筑以及復雜機械設備等設計和分析方面得到廣泛應用[3]。按照子結構低階模態參數的不同，動態子結構法可分為自由界面、固定界面和混合界面等3類模態綜合法。固定界面模態綜合法在用子結構中低階模態信息表示高階模態信息時，不存在因剛體模態所導致的奇異剛度陣求逆問題，計算過程簡單，應用較廣泛[4]。Hurty[5]首先提出模態坐標和模態綜合的概念，然后基于動力學原理建立固定界面模態綜合法。Craig等[6]進一步改進，提出常用的固定界面模態綜合法，即Craig-Bampton固定界面模態綜合法。宋景濤[7-8]研究了舵機基座系統的子結構建模方法，運用ANSYS提供的固定界面模態綜合法對舵機基座系統建模，并求出結構的固定頻率，并且和有限元方法分析結果相比較，研究結果表明：固定界面模態綜合法與常規有限元法分析出來的結果非常吻合，同時還提高前后處理的效率。王菲[9]采用約束模態綜合法分析土-高層框架結構，并與有限元軟件的仿真結果對比，發現兩者得到的前8階頻率值非常接近，約束模態綜合法可達到有限元軟件的求解精度，表明該方法適用于土-高層框架結構的模態分析。王燕華[10]采用動態子結構法分析異形橋梁的自由振動特性，并將界面位移綜合法、模態綜合法與ANSYS有限元仿真結果分別進行對比，結果表明：界面位移綜合法分析自由振動特性時，隨著模態階數遞增，其分析與仿真結果的偏離越大。對于模態綜合法，固定界面模態綜合法的求解精度非常好，低階模態頻率值及振型幾乎接近真實值，隨著模態階數的遞增，誤差增大，但可通過增加選取的主模態階數來控制高階誤差。自由界面模態綜合法的求解精度同樣非常好，但在分析過程中需對各個子結構作特殊處理，且其坐標變換過程比較復雜。因此采用固定界面模態綜合法不僅可保證求解精度，而且操作過程相對簡單，是比較適合的方法。

加筋板結構在航空航天、海洋船舶、土木工程等領域應用廣泛，其振動特性對結構有至關重要的影響，如設計人員需要在船舶設計階段對船體振動響應作出準確預報，同時滿足頻率儲備要求，以達到實際應用要求[11-12]。但實際應用中的加筋板結構多為大型結構，考慮到固有模態綜合法適用于大型復雜結構分析，能夠保證計算精度、操作簡單，故選擇該方法對加筋板結構進行振動特性分析。在分析結構之前，將結構按照一定的原則分成若干個子結構，接著分析這些子結構的動力特性，保留其低階主要的模態信息，然后根據子結構相互連接區域的協調關系，組裝成總體控制方程，從而可分析整個結構的振動特性。

1 固定界面模態綜合法

在固定界面模態綜合法中，首先將整體結構分為若干個子結構。對于加筋板結構，將其劃分為板和加強筋兩個子結構，如圖1所示。

圖1 加筋板結構及其劃分的子結構Fig.1 Stiffened plate structure and its substructure

加筋板結構采用逐層/實體元[13]建模分析。分析過程中，板采用逐層法建立其控制方程，加強筋采用三維實體有限元法建立其控制方程，分別對兩個子結構分析如下：

首先，分析加強筋結構。基于三維實體有限元法，利用六面體實體單元離散加強筋結構，建立運動方程

其中：Ms、Ks和Fs分別為加強筋的質量矩陣、剛度矩陣和載荷向量；和Us分別為節點的加速度矩陣和位移矩陣。將加強筋所有節點位移的位移自由度分成兩類：板和加強筋接觸部位的節點劃分為外部自由度；非接觸部位的節點稱之為內部自由度。依據這樣的劃分，加強筋的控制方程可重新整理為

其中：上標s、p分別代表加強筋和板，下標1和2分別代表外部自由度和內部自由度；分別代表加強筋的外部加速度向量和內部加速度向量和分別代表加強筋的外部位移向量和內部位移向量和分別是加強筋的外載荷向量和板與加強筋相互作用力向量。令接觸界面固定，即由式（2）可得固定界面子結構的自由振動方程為

式（5）可擴展為

式（8）為固定界面模態下的結構自由振動方程，具體形式如下：

質量矩陣的表達式為

剛度矩陣的表達式為

在此基礎上，將式（9）、式（10）代入式（8）中，得到模態坐標空間下加強筋的自由振動方程為

然后，采用逐層法分析板結構，建立運動方程。逐層法是先假設位移模式，厚度方向上的位移插值點位于層合板殼的表面和層間界面上，用拉格朗日插值函數將假設位移模式離散為平面位移和厚度方向位移

其中：α表示x、y和z方向上的位移分量；φk為厚度方向上的一維拉格朗日插值函數；N為數學層數量；uαk為位移函數在厚度方向上的節點值；k為厚度方向上插值點的編號。根據Hamilton原理得到板逐層理論的運動方程，接著采用形函數再次對平面位移進行數值離散，板逐層理論的運動方程進一步分析，最終得到板的逐層理論運動方程的有限元列式，即板逐層理論的控制方程，其形式為

其中：Mp、Kp和Fp分別是板的質量矩陣、剛度矩陣和載荷向量為結點的加速度矩陣和位移矩陣。

在得到板的控制方程后，對其控制方程進行重新整理，將板所有節點位移的自由度分成兩類：板和加強筋接觸部位的節點劃分為外部自由度；非接觸部位的節點劃分為內部自由度。依據這樣的劃分，重新整理板的控制方程。進一步將控制方程轉換為固定界面模態下的控制方程，該過程與加強筋的類似。從而得到板的固定界面模態下的自由振動方程為

最后，將加強筋和板在固定界面模態下的控制方程拼裝在一起。根據所得到的加強筋和板的控制方程以及接觸部位的位移連續條件及內力平衡條件，即將式（11）第一行和式（14）第一行相加，得

將式（11）第二行、式（14）第二行和式（15）聯立，得到整體結構系統的自由運動方程為

其中，整體結構的結點位移為

質量矩陣為

剛度矩陣為

根據式（16）可對加筋板結構進行自由振動分析，得到結構的固有頻率和振型，其中振型為固定界面模態下的振型，需要經過如下轉換

2 數值算例

2.1 各向同性板的加筋板結構

本文利用固定界面模態綜合法對加筋板結構進行自由振動特性分析。將該方法寫成Matlab程序，并得出結構的固有頻率。

加筋板結構采用逐層/實體元建模分析：加強筋采用三維有限元法建模，板采用逐層法建模，建立各自的控制方程。界面固定情況下分別取板和加強筋的前10、20和30階模態組成模態集，將板和加強筋的控制方程轉換為各自模態集下的控制方程，在基于板和加強筋連接處的內力平衡和位移協調，進一步拼裝成結構在模態集下的總體控制方程。

本算例中，加筋板結構對邊固支，結構的幾何尺寸和有限元網格劃分如圖2所示。板和加強筋的材料參數相同：E=6.8×104Pa，μ=0.3，ρ=2.7×103kg/m3。為驗證模態綜合法的結果，基于有限元分析軟件MSC. Patran建立加筋板結構的有限元模型，并利用Nastran軟件求解，板采用四結點Quad4單元離散，加強筋采用八結點六面體單元離散。將固定界面模態綜合法和有限元軟件分析結果對比，其結果如表1和圖3所示。

圖2 結構幾何模型和有限元模型Fig.2 Structural geometry and finite element model

圖3 k=10時固定界面模態綜合法與三維有限元模型的前20階固有頻率Fig.3 First twenty natural frequencies obtained by DSM and MSC at k=10

從表1可看出，k=10時在前8階頻率中，固定界面模態綜合法與三維有限元模型分析結果接近，其相對誤差不超過1%，當k=20和k=30時，本文方法的分析結果精度更高，說明當所取模態個數增加時，分析結果會更加準確。同時，隨著頻率階次增加，分析結果精度降低，尤其從第9階頻率開始，固定界面模態綜合法分析結果的相對誤差有變大的趨勢。

表1 固定界面模態綜合法與三維有限元模型的前10階固有頻率Tab.1 First ten natural frequencies obtained by DSM and MSC

2.2 各向異性板的加筋板結構

本算例中，板為層合板結構，加筋板結構的邊界條件、幾何尺寸和有限元網格與上例相同。板采用各向異性材料，其材料參數如表2所示。板采用[0/90/0]和[90/0/0]鋪設方式的復合材料，用固定界面模態綜合法分析加筋板結構的自由振動特性。在界面固定情況下分別取板和加強筋的前k=10、k=20和k=30階模態組成模態集，其分析結果如表3所示。

表2 板和加強筋材料參數Tab.2 Material parameters of plate and stiffener

從表3和圖3可以看出，加筋板結構在對邊固支情況下，對于[0/90/0]和[90/0/0]鋪設方式，固定界面模態綜合法與三維有限元模型法的前10階固有頻率都比較吻合；k=20和k=30，即選取的模態個數增加時，本文方法結果的精度進一步提高；隨著頻率階次增加，本文方法分析結果與三維有限元模型法的結果差異有變大的趨勢。此外，不同的鋪設方式對結構的頻率有較小影響，使頻率在一定范圍內波動，但變化趨勢一致。總體上，固定界面模態綜合法在分析復合材料結構的低階頻率時同樣具有較高的精度。

然后對比本文方法與三維有限元模型法所得總體控制方程的自由度，如表4所示。在表4中，板的節點數為441個，加強筋的節點數為351個，板與加強筋相互連接區域的節點是117個，選取前10階模態組成模態集，即k=10。

從表4可以發現，固定界面模態綜合法在分析結構的自由振動特性時，相比于三維有限元模型法確實能夠減少總體控制方程的自由度，降低算法對內存需求。在劃分子結構時，應注意子結構間的節點盡可能少，這樣有益于降低總體控制方程的自由度。需明確的是，本文方法雖然降低了總體控制方程的階數，但是計算量并沒有顯著減少，主要原因是增加子結構動力特性分析及原物理坐標下與固定界面模態空間下控制方程的轉換過程。當分析比較復雜的結構時，本文方法得到的總體控制方程階數相對于三維有限元模型法來說會明顯降低，這會大大減少自由振動特性分析時計算機使用內存，同時也說明動態子結構法在分析大型復雜結構方面具有獨特優勢。

表3 固定界面模態綜合法與三維有限元模型前10階固有頻率Tab.3 First ten natural frequencies obtained by DSM and MSC

表4 固定界面模態法與三維有限元總控制方程自由度Fig.4 Freedoms degrees of governing equations obtained by DSM and MSC

3 結語

本文分析加筋板結構在對邊固支條件下的振動特性，采用固定界面模態綜合法，將整個結構劃分為兩個子結構，將其控制方程轉換為各自模態集下的控制方程，結合連接界面的內力平衡和位移協調，組成加筋板結構的總體控制方程，進而分析結構的固有頻率，并與三維有限元法結果相比，證明固定界面模態綜合法在分析低階頻率時確實有較高精度。在此基礎上，分析采用復合材料板加筋板結構的振動特性，得出以下結論：

1）固定界面模態綜合法與有限元法的前10階固有頻率都比較吻合，精度比較高；選取的模態個數增加時，本文方法分析結果的精度進一步提高；隨著階次增加，其分析結果與三維有限元法的分析結果相差越來越大；

2）不同的鋪設方式對結構的頻率有較小影響，使得頻率在一定范圍內波動，但變化趨勢一致；

3）固定界面模態綜合法能夠降低計算量。在子結構劃分過程中，應盡量選擇較少聯系界面，這樣可降低總體控制方程的階數。

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（責任編輯：黨亞茹）

Free vibration analysis of stiffened composite plate structure based on dynamic substructure method

QIAN Ruoli,WANG Ruipeng,LI Dinghe
（College of Aeronautical Engineering,CAUC,Tianjin 300300,China）

Fixed-interface modal synthesis technique based on dynamic substructure method is used to analyze free vibration performance of stiffened plate structure.First of all,governing equations of plate and stiffeners are established based on layerwise/solid element.And then,substructures’modal space is established and governing equations are converted into equations under modal space.Finally,basing on governing equations of plate and stiffeners, the finial governing equation of stiffened plate is assembled by using compatibility conditions,which is used to ensure the compatibility of displacements at the interface between plate and stiffeners.Numercal results of the proposed method are compared with those obtained from finite element software MSC,and good agreements are achieved.In addition,a series of numerical analyses are conducted to further explore free vibration analysis of composite stiffened plate structure.Conclusion derived from this study is expected to be useful for stiffened plate structure aralysis.

dynamic substructure method;fixed-interface modal synthesis technique;stiffened plate;free vibration;composite material

TB332

：A

：1674－5590（2016）06－0038－05

2016-03-01；

：2016-03-31

國家自然科學基金青年基金（11502286）；中國民航大學“藍天青年學者”培養計劃（205003110307）；中國民航大學科研基金項目（2011kyE03）

錢若力（1959—），男，天津人，副教授，博士，研究方向為復合材料結構分析.