基礎俯仰運動對風力機行星齒輪動力學特性的影響分析①

邱星輝， 韓勤鍇, 褚福磊

(1.清華大學機械工程系， 北京 100084; 2.北京航天發射技術研究所， 北京 100076)

基礎俯仰運動對風力機行星齒輪動力學特性的影響分析①

邱星輝1,2， 韓勤鍇1, 褚福磊1

(1.清華大學機械工程系， 北京 100084; 2.北京航天發射技術研究所， 北京 100076)

由于塔架在風力作用下的彎曲振動，機艙會產生俯仰運動，進而對行星齒輪產生基礎激勵。從能量角度出發，考慮基礎俯仰運動、輪齒脫嚙和齒背嚙合，通過第二類拉格朗日方程建立了基礎俯仰運動下行星齒輪傳動非線性彎-扭-軸耦合模型。與現有基礎固定情況下的耦合模型相比，基礎俯仰運動將引起附加阻尼、附加剛度和附加外激勵，同時引起直齒輪平面運動與軸向運動的耦合。采用數值積分獲得系統動態響應，評估軸向運動對系統動力學特性影響的大小，分析基礎俯仰運動和齒圈支承剛度對行星齒輪動力學響應和均載特性的影響。結果表明，基礎俯仰運動顯著增大中心輪(行星架、齒圈和太陽輪)的橫向振動；行星輪所受附加作用力不相同，運動對稱性被破壞，系統出現不均載現象。當系統存在輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度能顯著改善均載特性，沒有輪齒脫嚙和齒背嚙合時，均載系數隨著齒圈支承剛度的增大而小幅增大。

行星齒輪； 基礎俯仰運動； 能量法； 均載特性； 支承剛度

引 言

行星齒輪傳動在結構上采用多個行星輪來分擔載荷，形成功率分流，具有結構緊湊、體積小、傳動比大和傳動效率高等特點，在工程中得到廣泛應用。關于行星齒輪的動力學建模和分析的研究較為廣泛和深入[1]，模型類型不斷發展，系統自由度和考慮因素不斷增多，期望通過動力學分析為設計和振動控制提供理論依據。王世宇等[2]建立行星齒輪純扭轉集中參數模型研究了行星齒輪的固有特性。由于在齒輪運轉過程中參與嚙合的齒數發生變化，輪齒嚙合剛度是周期時變的，成為齒輪傳動的主要激勵源。Wang[3]研究了時變剛度引起的行星齒輪參數穩定性。Parker等采用有限元法分析了輪齒脫嚙引起的非線性現象，得到了抑制特定模態響應的相位調諧準則[4]，并對相位調諧的有效性進行了物理解釋[5]。李同杰等[6]研究了行星齒輪間隙非線性引起的多值解及其穩定性。陸俊華[7]和Kahraman[8]分別研究了誤差對行星齒輪均載特性的影響。Guo和Parker[9]考慮重力引起的輪齒雙面嚙合現象，研究了雙面嚙合與行星輪軸承載荷間的關系。Qiu等[10]研究了重力引起的不均載，著重分析了齒圈支承剛度對行星齒輪均載特性的影響。

上述研究在建模和分析過程中，沒有考慮基礎運動，即認為基礎是不動的，僅關注行星齒輪傳動本身的振動特性。但在實際運用中，基礎運動是常見且不可避免的，例如風力機塔架彎曲振動產生的機艙運動。從單轉子系統的研究可以發現，基礎運動引起附加阻尼、附加剛度和附加外激勵，顯著改變單轉子系統的動力學特性[11-12]。對風力機行星齒輪傳動而言，風力機塔架在風載作用下的振動已有廣泛研究，但相應基礎運動對行星齒輪動態特性的影響及機理還不明了。因此，十分有必要建立適用于基礎運動作用下行星齒輪傳動的動力學模型，分析基礎俯仰運動作用下行星齒輪的動態特性，進而評估基礎俯仰運動對行星齒輪傳動的影響。

本文從能量角度出發，考慮輪齒脫嚙和齒背嚙合，提出了基礎俯仰運動下行星齒輪傳動非線性彎-扭-軸耦合模型，并與基礎固定情況下的模型進行對比，從模型上反映基礎俯仰運動的影響。采用數值積分獲得系統動態響應，評估齒輪軸向運動對系統的影響，細致分析基礎俯仰運動和齒圈支撐剛度對行星齒輪傳動動態響應、均載特性的影響。

1 系統動力學模型

圖1所示為行星齒輪傳動動力學模型的示意圖，系統各構件均視為剛體，質量分別為mc,mr,ms,mj，轉動慣量分別為Ic,Ir,Is,Ij，其中下標c,r,s,j(j=1,2,…,N，N為行星輪個數)分別代表行星架、太陽輪、齒圈和第j個行星輪。假定齒輪嚙合變形用沿嚙合線方向的等效彈簧表示，其中ksj為太陽輪與第j個行星輪嚙合剛度，krj為齒圈與第j個行星輪嚙合剛度。行星架、齒圈、太陽輪和行星輪橫向支承剛度分別為kc,kr,ks,kp，軸向支承剛度為kcz,krz,ksz,kpz。中心構件扭轉剛度為kcu,kru,ksu。作用在行星架和太陽輪上的轉矩分別用Tc,Ts表示。

圖1 基礎運動下行星齒輪傳動的動力學模型Fig.1 Dynamic model of the planetary gear under base motions

中心構件在局部坐標系oxyz中的運動為xl,yl,zl(l=c，r，s), 該坐標系以行星齒輪中心o為原點，其中心與第一個行星輪中心連線為x軸，齒輪平面內垂直于x方向為y軸。行星輪在局部坐標系ojξjηjzj中的運動用ξj,ηj和zj表示。這些局部坐標系以各行星輪中心oj為原點，ooj為ξ軸，齒輪平面內垂直于ξ方向為η軸。所有隨體坐標系以行星架轉速Ωc繞z軸勻速旋轉。各構件的轉動位移為uh=rh?h(h=c,r,s,1,2,…,N)，其中?h為各構件轉動角位移，rh為齒輪基圓半徑。坐標系oxbybzb固定在基礎上來描述基礎運動，OXYZ為慣性坐標系。隨體坐標系oxbybzb相對慣性坐標系的轉動分別用α,β,γ表示，平動用ub表示。文中只考慮基礎在慣性坐標系內的俯仰運動α，即β=0，γ=0，ub=0。

為統一坐標系的平移變換和旋轉變換，引入齊次坐標表征構件在隨體坐標系中的位置

(1)

(2)

通過齊次變換矩陣得到各構件質心在慣性坐標系中的位置ChR(h=c,r,s,1,2,…,N)：

ChR=Rot(x,α)Tran(uh)Rot(z,θh)Ch

(3)

(4)

(5)

(6)

由于行星輪同時存在自轉和公轉運動，中心輪和行星輪的具體表達式略有不同：

θj=Ωct+φj

(7)

系統動能為

(8)

系統彈性勢能包括輪齒嚙合變形和支承彈性變形，基礎運動不影響系統彈性勢能的計算。輪齒傳動面嚙合變形為[9, 14]：

(13)

式中ba為齒側間隙。行星輪軸承徑向變形δjr和切向變形δjt為

(14)

2 動力學微分方程

取系統廣義坐標為

(15)

通過第二類拉格朗日方程[13]，即可得到系統運動微分方程

(16)

行星架運動微分方程為：

(17)

齒圈運動微分方程為：

(18)

太陽輪運動微分方程為：

(19)

行星輪運動微分方程為：

(20)

引入阻尼項，將以上4(N+3)個方程寫成矩陣形式為

(21)

其中M為質量矩陣，G為反對稱陀螺矩陣，KΩ為向心剛度矩陣，Kmd為傳動面嚙合剛度矩陣，Kmb為齒背嚙合剛度矩陣，KB為軸承剛度矩陣，F為作用在行星齒輪上的扭矩載荷，Fmb為齒背嚙合產生的非線性外激勵力。C=(V-1)Tdiag(2ξnωn)V-1為通過模態阻尼比引入的阻尼矩陣，其中ξn(n=1,2,…,4(N+3))為模態阻尼比，ωn為不考慮基礎俯仰運動和嚙合剛度變化時的系統固有頻率，V為正則振型矩陣。上述矩陣均與基礎固定情況下行星齒輪模型[10]一致。

基礎俯仰運動的影響為引起附加阻尼Cb、附加剛度Kb和附加外激勵Fb，具體表達式如下：

(22)

Kbh=mh·

(23)

(24)

3 算例分析

圖1所示的行星傳動采用不同的固聯模式和自由度分配可以有完全不同的傳動模式，但其動力學建模與分析方法相同，只是存在動力學參數取值差異。本節動力學分析以美國可再生能源實驗室(NREL)550 kW風力機行星齒輪參數為基礎[16]，主要模擬參數如表1所示。風力機行星齒輪傳動是增速齒輪傳動，以行星架為輸入端，太陽輪為輸出端，齒輪箱采用柔性支承與機艙底座相連。假定基礎俯仰運動的形式為α=Bsin2πfbt。由表1可知，示例行星齒輪系統有N=3個行星輪且均勻分布，中心輪齒數能被行星輪個數整除，故各行星輪同相嚙合，嚙合剛度完全相同，其傅里葉級數展開式為

(j=1,2,…,N)

(25)

對動力學方程(21)采用變步長龍格庫塔數值積分求得系統動態響應。圖2為基礎俯仰運動B=15°，fb=5 Hz情況下行星架和行星輪1的振動響應。與不考慮基礎俯仰運動時中心輪橫向振動響應可忽略不計的情況相比，基礎俯仰運動顯著增大中心輪的橫向振動，齒輪軸向存在穩定的周期振動。

表1 示例行星齒輪傳動主要模擬參數

圖2 存在基礎俯仰運動B=15°，fb=5 Hz情況下行星架和行星輪1的振動位移Fig.2 Vibration displacements of the carrier and planet 1 with pitching base motion B=15°，fb=5 Hz

基礎俯仰運動增大中心輪橫向振動這一現象可以從行星齒輪的模態進行很好的解釋。由于行星齒輪結構對稱性，其固有特性具有很好的規律性[10, 14, 17]。表1中示例行星齒輪的模態可以分為扭轉模態、平移模態和軸向模態：扭轉模態中，中心輪只有扭轉運動，各行星輪運動相同；平移模態中，中心輪只有平動，行星輪運動不相同；軸向模態中，行星齒輪只有軸向運動。當不考慮基礎俯仰運動時，系統激勵源為剛度激勵和外部扭矩；當行星輪均布且同相嚙合時，只有扭轉模態被激起，平移模態響應被抑制[4-5]，因而中心輪幾乎沒有橫向振動?？紤]基礎俯仰運動后，由于附加剛度和附加外激勵力的作用，平移模態被激起，中心輪橫向振動響應顯著增大。

對于直齒輪，輪齒動態嚙合力作用在齒輪平面內，在軸向方向并無分量，因而在分析直齒輪動態響應時通常不考慮齒輪軸向運動[8-10]?；A俯仰運動引起的平面運動與軸向運動耦合效應的強弱可以通過對比考不考慮軸向運動情況下的振動幅度來衡量。如圖3所示，當基礎運動頻率fb從0增大到10 Hz時，齒輪橫向、軸向運動和輪齒嚙合變形均隨之增大，但軸向運動遠小于橫向運動。兩種情況下得到的齒輪橫向振動和齒輪嚙合變形差別可忽略不計，因此當基礎俯仰運動頻率較低或幅度較小時，可以忽略齒輪軸向運動。

圖3 軸向運動對系統振動特性的影響Fig.3 Influence of axial motions on the dynamic behaviors of the planetary gear

4 參數影響分析

不同基礎運動頻率下太陽輪-行星輪嚙合變形如圖4所示。無基礎運動時，各行星輪結構對稱且承受相同的激勵，示例行星齒輪的扭轉模態被激起，而在扭轉模態中各行星輪運動完全相同，此時系統完全均載(圖4(a))。當B=15°，fb=5 Hz時，基礎俯仰運動引起的附加剛度和附加外激勵不相同，且各行星輪附加外激勵不關于行星齒輪中心對稱，行星齒輪受力對稱性被破壞，各行星輪運動出現差異，但差異不大(圖4(b))，且輪齒嚙合未出現輪齒脫嚙和齒背嚙合現象。當fb增大到13 Hz時，如圖4(c),(d)所示，系統出現輪齒脫嚙和齒背嚙合現象，行星輪運動差異明顯，不均載現象嚴重。

行星齒輪的均載情況可采用均載系數來定量衡量[10]

KLS(t)= max{fpj(t)}|j/mean{mean[fpj(t)]|j}|t

(26)

式中fpj(t)為行星輪軸承承受的動態載荷。由于式(26)為時間函數，本文取max[KLS(t)]作為均載指標。理想情況下，載荷在行星輪間均勻分布，均載系數為1。

在圖4所示的三種基礎俯仰運動條件下，隨著基礎運動頻率的增大，行星齒輪會出現輪齒脫嚙和齒背嚙合，系統從線性時變系統轉變為非線性時變系統，中心輪的運動軌跡同樣會發生顯著變化。如圖5(a)所示，當沒有基礎運動時，行星架無橫向振動，質心運動軌跡為一點；當基礎運動頻率較小時(fb=5 Hz)，行星架橫向振動增大，質心運動軌跡為花瓣形，如圖5(b)所示；當基礎運動頻率增大到13 Hz時，行星架橫向振動顯著增大，且其質心運動軌跡變得十分復雜。

在風力機齒輪傳動中，箱體與機艙的連接通常采用柔性支承，在基礎存在俯仰運動時齒圈支承剛度kr對行星齒輪動態響應影響如圖6所示。顯然，增大齒圈支承剛度能顯著減小中心輪的橫向振動，但對中心輪扭轉振動的影響與基礎俯仰運動導致的齒輪嚙合狀態有關：如圖6(a)所示，當系統未出現輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度對中心輪扭轉振動的影響非常?。淮嬖谳嘄X脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度能顯著減小中心輪的扭轉振動，如圖6(b)所示。

圖4 不同基礎運動頻率下太陽輪-行星輪嚙合變形Fig.4 Sun-planet mesh deflections with different pitching base motion frequency

圖5 不同基礎運動頻率下行星架相圖Fig.5 Phase diagram of the carrier under different base frequency

齒圈支承剛度對行星齒輪均載特性的影響如圖7所示。同樣，齒圈支承剛度對均載特性的影響也與基礎俯仰運動造成的嚙合狀態有關：如圖7(a)所示，基礎俯仰運動未引起脫嚙和齒背嚙合時，隨著支承剛度的增大，均載系數增大，但增幅很??；如圖7(b)所示，當基礎俯仰運動引起脫嚙和齒背嚙合時，增大該支承剛度能顯著減小均載系數，當其增大到一定值后，輪齒脫嚙和齒背嚙合被抑制，均載系數又呈現小幅增大的趨勢。

圖6 齒圈支承剛度kr對太陽輪扭轉振動的影響Fig.6 Influence of ring support stiffness kr on rotational vibration of the sun

圖7 基礎俯仰運動下齒圈支承剛度kr對均載系數的影響Fig.7 Influence of ring support stiffness kr on load sharing factor with pitching base motion

5 結 論

本文從能量角度出發，通過拉格朗日方程建立了基礎俯仰運動下行星齒輪傳動彎-扭-軸非線性耦合模型，并與基礎固定情況下的行星齒輪傳動模型進行了對比。通過變步長龍格庫塔數值積分獲得系統動態響應，評估了齒輪軸向運動對系統動態特性的影響，分析了基礎俯仰運動參數和齒圈橫向支承剛度對行星齒輪動態響應和均載特性的影響規律。主要結論如下：

(1) 動態基礎俯仰運動會產生附加阻尼、附加剛度和附加外激勵力，并引起齒輪軸向運動和平面運動的耦合。

(2) 基礎俯仰運動顯著增大中心輪的橫向振動，破壞行星齒輪的受力對稱性，各行星輪運動出現差異，導致系統出現不均載。

(3) 當基礎俯仰運動引起輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度能顯著改善系統均載特性；當未出現輪齒脫嚙和齒背嚙合時，不均載隨著齒圈支承剛度的增大而小幅增大。

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Influence of pitching base motion on the planetary gear in wind turbines

QIUXing-hui1,2,HANQin-kai1,CHUFu-lei1

(1.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Beijing Institute of Space Launch Technology, Beijing 100076, China)

Because of the tower vibration induced by wind load, the cabin will experience pitching motion, which causes pitching base motion to the planetary gear. Considering pitching base motion, tooth separation and back-side contact, a rotational-translational-axial model of the planetary gear under pitching base motion is presented through the Lagrange equation of the second kind. Compared with the traditional model, pitching base motion induces additional damping, stiffness and external excitation, and coupling between axial motion and in-plane motions of the gear. Through numerical integration, the dynamic response is obtained. The influence of axial motions on the planetary gear is evaluated, and the influence of base motion and ring support stiffness on the dynamic response and load sharing is investigated. Pitching base motion significantly increases the transverse vibrations of the central components (carrier, ring, sun). Additional forces on planets are not identical, and thus the movement symmetry is destroyed. With the existence of tooth separation and back-side contact, increasing the ring support stiffness can significantly improve the load sharing condition. Without tooth separation and back-side contact, load sharing factor increases slightly with the ring support stiffness.

planetary gear; pitching base motion; energy method; load sharing; support stiffness

2015-11-11；

2016-04-09

國家自然科學基金資助項目(51335006); 北京市自然科學基金資助項目(3131002)

TH132.425； TH113

1004-4523(2016)06-0945-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.001

邱星輝(1988—)，女，博士。電話：18810644220；E-mail：qxhtt123@sina.com