三自由度體系覆冰導線舞動激發機理分析的矩陣攝動法①

姜 雄， 樓文娟

(浙江大學結構工程研究所， 浙江 杭州 310058)

三自由度體系覆冰導線舞動激發機理分析的矩陣攝動法①

姜 雄， 樓文娟

(浙江大學結構工程研究所， 浙江 杭州 310058)

應用矩陣攝動法推導了三自由度體系覆冰輸電導線離散自振頻率下特征值實部一階攝動解，在此基礎上分析了舞動機理。相較于Den Hartog和Nigol機理所得到特征值實部單自由度解，一階攝動解將分別多出一或二個附加項。由特征值實部攝動解結合模態振型可劃分三種舞動激發類型。通過簡化分析表明，當附加項主要對豎向起作用時，可將氣動力類型分成六類用以分析附加項作用。以JD型六分裂覆冰導線為例，對Den Hartog系數均為負值的兩類不同氣動力類型下舞動激發特性進行了分析。結果表明，攝動解能較好反應實部真實變化。對于一、二類氣動力，當附加項足夠大時，舞動激發特性將表現出與按照Den Hartog機理所得完全不同的結果；與此同時亦將由于扭轉氣動力導數正負號的不同而產生巨大差異。

覆冰導線； 舞動； 特征值實部； 三自由度； 氣動力

1 概 述

覆冰輸電導線低頻、大振幅、跨內一至多個標準弦波形狀的運動通常被稱之為舞動。一旦發生舞動，將有可能導致輸電線路相間閃絡、金具損壞、跳閘、桿塔破壞等各種危害。為了防治舞動，首要需弄清其激發機理。自20世紀20年代以來，Den Hartog,O Nigol等學者先后提出了幾類舞動機理[1-2]。然而這些機理并不能很好地解釋舞動產生的原因，相應設計的防舞措施亦不盡有效。

覆冰輸電導線運動方程通?？杀硎緸?/p>

(1)

式中 M，C分別為N×N質量、阻尼矩陣；C為結構阻尼Cξ和氣動阻尼Ca之和；Fs為結構反力，FW為風荷載，二者一般為非線性。

對非線性荷載項進行泰勒展開取至一階項并去除平均風荷載項以后，通?？杀硎緸槿缦露A常微分方程

(2)

式中 K為結構剛度Ks和氣動剛度Ka之和。

利用Ляпунов(李雅普諾夫)一次近似理論[3]，通過特征值實部正負可用來判斷舞動是否激發，即對于方程有：

(1)如果其特征方程所有特征根λ均具負實部，則認為該輸電線路是穩定的，進行輕微擾動后，將依舊回到原平衡位置，不產生舞動；

(2)如果特征方程至少具有一個正實部的根，則認為該輸電線路是不穩定的，進行輕微擾動后，將產生舞動。

式(2)特征值問題將轉化為關于λ的一元2N次方程進行求根。若只關心是否存在特征值實部為正，可采用Hurwitz判據等間接方法[4-5]。該類方法問題在于無法知道各特征值具體數值。而若能獲得特征值數值，則能獲知舞動激發振型和頻率，借此判斷舞動形態。數值方法能輕松求解出特征值[6]，然而，其不利于了解舞動激發機理，更為關鍵的是，常規的基于局部基函數的導線舞動有限元方法[7]通常無法求出氣動剛度和氣動阻尼項簡潔表達式，使之無法應用。采用解析解，對于方程階數高至一元四次方程，即相應于二自由度問題，均可以利用求根公式給出其確切的解的形式。然而一元四次方程代數解相較而言極為復雜，對于實際應用已沒有多少價值。

綜合上述對于特征值求解的局限，使現今對于舞動機理的認識依舊主要停留在Den Hartog機理和Nigol機理。當然，如果一元四次方程的各階系數足夠巧合以至于求根公式能夠得到簡化，則也可以加以利用。Kathleen F Jone[8]利用軟件包“Mathematica”計算了二維豎向和水平向平動耦合下自振頻率相同時的特征根，據此判斷出各氣動力參數的影響。然而，當研究對象變為豎向與扭轉耦合或是水平向與扭轉耦合時，求根公式所得結果將變得極為復雜。

對于N>2的高階方程，精確解析解無法求得，則更合理的方法是獲取近似解析解。對于舞動的一般認識是，導線舞動頻率將接近于低階自振頻率，即結構阻尼、氣動阻尼和氣動剛度項對特征頻率的影響很小，若能全部或部分視為小量，則應能采用小參數攝動理論加以求解，此方法即矩陣特征值攝動方法[9-12]。通常此方法用于大型復雜結構以節省計算機存儲、加快運算，如在非比例阻尼時的結構復模態計算[13]、結構參數小幅變化時的固有模態計算[14]等方面。A Luongo 和G Piccardo[15]利用該方法對豎向和水平順風向二維平動耦合體系給出了特征值非共振解和共振解，據此得到起舞風速關于氣動力參數的表達式。對于準共振情形，則依氣動力系數劃分給出了起舞風速隨頻率比的變化規律。其問題在于：依舊停留在兩自由度體系的討論，忽略了通常被認為對導線舞動具有極其重要作用的扭轉向。

本文將采用矩陣特征值攝動法用以研究覆冰輸電導線舞動問題，推導出包含豎向、水平向(順風向)和扭轉向的三自由度體系特征值實部一階攝動解，在此基礎上分析舞動激發機理和相關舞動特性。

2 矩陣特征值攝動法

對于某結構，若初始質量矩陣M=M0，阻尼矩陣C=C0，剛度矩陣K=K0，則當其參數發生微小變化時，相應新矩陣可分別記為：

(3)

這里ε為小參數。記λi為第i個特征值，vi，ui為相對應左、右特征向量，滿足：

(4)

對于λi，其可表示為按ε展開的冪級數

λi=λi,0+ελi,1+ε2λi,2+o(ε2)

(5)

vi和ui亦可作相同形式的展開。將冪級數代入式(4)并比較至ε的一階同次冪可得下述等式：

(6)

利用上述式(6)中前兩式可求得零階特征項λi，0,vi，0和ui,0，繼而利用后兩式并結合左、右特征向量正交性條件[16]可得特征值一階攝動解為

(7)

(8)

通過合理的將舞動運動方程中參數視為微小變化參數項，求出所有特征值實部，便可基于Ляпунов一次近似理論判斷舞動是否激發。值得注意的是，當λi,0為重根時，式(7)不再適用。

3 三自由度體系實部攝動解

圖1 三自由度體系示意圖Fig.1 3 DOF system

3.1 一次線性方程各矩陣項

(1)質量矩陣

(9)

(2)結構剛度矩陣

(10)

(3)氣動阻尼矩陣

Ca=

(11)

(4)氣動剛度矩陣

(12)

上述矩陣中各參數項含義如下所述：

(1)m為分裂導線單位長度質量，I為單位長度轉動慣量，Sy0和Sz0為單位長度靜質量矩；R為分裂導線外接圓半徑。

對于結構阻尼矩陣，在廣義位移方程下可表示為

(13)

相應結構阻尼矩陣應為

(14)

3.2 離散頻率時攝動解

在覆冰偏心對自振模態亦影響很小下，可取零階質量矩陣為單位矩陣。通常認為舞動時周期接近于導線自振周期，可認為阻尼項為小量。氣動剛度矩陣項中涉及到風速平方項，則在高風速下不能視為小量，故統一將其納入零階剛度部分。綜上各階矩陣表示如下：

(1)零階項

M0=E3×3，C0=O3×3，K0=K+Ka

(15)

(2)一階項

M1=(M-E3×3)/ε，K1=O3×3/ε

C1=C/ε=(Cξ+Ca)/ε

(16)

利用式(6)可求得相應零階特征值：

可以看出扭轉頻率零階解隨風速增大而發生改變。

對于λ1,0，其左、右特征向量可表示為：

(17)

且滿足關系式

(18)

將上述特征向量代入式(7)得

(19)

進一步應用范化條件式(8)和關系式(18)可求得λ1實部一階攝動解

(20)

同理可求得其余攝動解：

Re(λ2)=Re(λ1)

(21)

Re(λ3)=Re(λ4)=

(22)

(23)

3.3 舞動機理

上述Re(λ1)和Re(λ2)對應于ωy，可記為Re(λy)，若為正，則由零階右特征向量可以看到此時豎向為主振型舞動將得到激發。Re(λ3)和Re(λ4)對應于ωz，可記為Re(λz)，若為正，則水平為主振型舞動將得到激發。Re(λ5)和Re(λ6)對應于ωθ，可記為Re(λθ)，若為正，則扭轉為主振型舞動將得到激發。相應豎向、水平、扭轉零階特征值可分別記為λy,0，λz,0，λθ,0。

Den Hartog機理針對豎向運動單自由度體系，相應豎向特征值實部為

(24)

則Re(λy)可表示單自由度項Re(λDen)與附加項Re(λy,add)之和。

Nigol機理可視為針對扭轉向運動單自由度體系，相應扭轉向特征值實部為

(25)

則Re(λθ)可表示為Re(λNig)與兩附加項Re(λθ,add1)，Re(λθ,add2)之和。

對于水平項，單自由度體系下相應特征值實部解為

Re(λH)=-ξzω2

(26)

則Re(λz)可表示為Re(λH)與附加項Re(λz,add)之和。

上述式(24)～(26)可統一稱之為單自由度解。

就舞動形態而言，豎向激發可視為對應于以豎向為主的Den Hartog機理，扭轉激發可視為對應于同時存在扭轉和豎向的Nigol機理。不過由實部解式(20)～(23)可以看出，由于相應分別多出了一或兩個附加項，當其影響較大時，采用Den Hartog機理和Nigol機理將并不能用于準確判斷上述兩種形態什么條件下得到激發，乃至有可能得到截然相反的論斷。Nigol機理同時還需要豎向與扭轉自振頻率相接近這一條件，而由于扭轉向頻率受氣動剛度的影響，故更本質的而言如上所述應是當λθ,0與λy,0接近時。與此同時可以看出由于CD恒大于零，單自由度解亦忽略了水平向激發舞動的可能性。

4 附加項分析方法

4.1 簡化

一階攝動解附加項涉及到覆冰導線自身物理特性、自振頻率和氣動力等諸多參數，若取Re(λi)=0，則理論上將得到關于風速U的一元三次方程。引言中提及盡管有解析解，不過非常復雜，并不利于分析。為此需要采用更合適的處理方法用以分析附加項對舞動激發的影響。

對于附加項，由于具有下列關系式：

(27)

其相當于對三個單自由度解之間做了相互調劑，實際上只需考慮Re(λθ,add1)和Re(λθ,add2)兩項。不過若兩者同時考慮，牽扯參數仍舊過多，為此有必要進一步簡化分析。

Re(λθ)可進一步表示為

(28)

其中：

(29)

此時假定可近似忽略ζθ2，考慮ζθ1起主要作用，即近似取ζθ=ζθ1。附加項將主要對豎向和扭轉向起作用。

此時假定可近似忽略ζθ1，考慮ζθ2起主要作用，即近似取ζθ=ζθ2。附加項將主要對水平向和扭轉向起作用。

前述三自由度方程若忽略水平向，求得包含豎向和扭轉向的二自由度體系一階攝動特征值解，可以發現與上述忽略ζθ2時等效；同樣的，若忽略豎向，求得包含水平向和扭轉向的二自由度體系特征值，可以發現與上述忽略ζθ1時等效；即上述兩種分類實質上是能將三自由度體系拆解成一個二自由度體系和一個單自由度體系來分別考慮。

4.2 舞動激發判別

對于Re(λy)，類似于前述扭轉向可進一步表示為

(30)

為判斷何時豎向舞動激發，令Re(λy)>0，則有：

(31)

(32)

即有滿足上式時激發豎向舞動。這里μDen即在μ1中風速項用UDen替代，UDen為Den Hartog起舞風速。

(1)Ⅰ類：Uyθ>U>0時，ζy由零遞增至正無窮。U>Uyθ時，ζy由負無窮遞增至某一極限值。

(2)Ⅱ類：與Ⅰ類恰好相反。

(3)Ⅲ類：ζy由零遞增至某一極限值。

(4)Ⅳ類：ζy則由零遞減至某一極限值。

記ηy=UDen/U-1，則可以通過兩條曲線ηy=ηy(U)和ζy=ζy(U)位置關系判斷Re(λy) 正負情況繼而得知豎向舞動是否激發。曲線ηy其為經豎向平移的反比例函數曲線，根據UDen正負有兩種形式：

(1)由正無窮遞減至某一極限值。

(2)由負無窮遞增至某一極限值。

表1 六類氣動力

5 氣動力一、二類舞動激發特性

圖2 JD-6覆冰Fig.2 Ice accretion of JD-6

表2 JD-6覆冰子導線參數

圖3 氣動力系數Fig.3 Coefficient of aerodynamic forces

圖4 不同時ζκ隨風速增長曲線s. ζκ

表3 174°和74°風攻角氣動力參數

5.1 174°風攻角

τ小于1時，U

圖5 174°風攻角豎向特征值實部解比較Fig.5 Comparison of vertical real part for 174°

圖6 174°風攻角起舞風速比較Fig.6 Comparison of critical wind velocity for 174°

圖7 174°風攻角起舞頻率Fig.7 Comparison of critical frequency for 174°

圖8 174°風攻角τ=1.30，風速為10 m/s時豎向運動時程Fig.8 Vertical vibration for 174°,τ=1.30,U=10 m/s

圖9 174°風攻角水平向特征值實部比較Fig.9 Comparison of horizontal real part for 174°

圖9給出了174°風攻角水平向不同頻率比下特征值實部數值解與單自由度解(圖中“S”曲線指代單自由度解)，由各條曲線幾乎完全重合可以看出，此時Re(λz,add)近乎于零，表明確實可忽略ζθ2。

上圖中各條線符號所指代特征值實部意義分別為：y為豎向數值解；yp為豎向一階攝動解；ys為豎向單自由度解；θ為扭轉數值解；θp為扭轉一階攝動解；θs為扭轉單自由度解。

5.2 74°風攻角

圖10 74°風攻角豎向特征值實部解比較Fig.10 Comparison of vertical real part for 174°

6 結 論

(1)相較于Den Hartog和Nigol機理所得到相應特征值單自由度解，一階攝動解將分別多出一或二個附加項。附加項數值大小取決于覆冰模型物理參數、結構動力特性以及氣動力參數。

(2)由特征向量零階解可知舞動位移激發主要可分為三類：豎向、水平向、扭轉伴隨平動(豎向或水平向)。Den Hartog和Nigol機理體現出了上述第一和第三種激發位移形態，但由于附加項的存在單純應用上述兩機理相應系數將無法準確判斷舞動激發特性。

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Matrix perturbation method for analysis of 3 DOF iced
transmission line galloping mechanism

JIANGXiong，LOUWen-juan

(Institute of Structural Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

A three degree-of-freedom lumped model of iced transmission line conductors with discrete frequencies subjected to galloping is analyzed. Through a matrix perturbation method，the approximate analytical solution of the eigenvalue real parts is determined. Different from the expressions by Den Hartog and Nigol mechanism, there comes one or two additional terms. Galloping mechanisms are then discussed based on the eigenvalue solutions and are grouped according to their modal shapes into three classes. Aerodynamic forces can be classified into 6 types when additional terms mainly affect the vertical real part. Take JD-6 iced bundle conductors for example, the perturbation solution has a satisfactory precision in comparison with numerical results. For the first two types with a negative Den Hartog coefficient, galloping excitation characteristics can be totally different compared with analyses according to the Den Hartog mechanism when the additional terms are large enough; meanwhile, galloping also differs a lot depend on the plus or minus characteristic of derivation of the torsional aerodynamic coefficient.

iced transmission line; galloping; eigenvalue real part; 3 DOF; aerodynamic force

2015-11-04；

2016-04-27

國家自然科學基金資助項目(51178424，51378468)

TU311.3; TM751

1004-4523(2016)06-1070-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.017

姜雄(1987—)，男，博士研究生。電話：13429105502；E-mail：11012014@zju.edu.cn