雙氣球氣體交換現象分析

徐延治

大連市第二十三中學

雙氣球氣體交換現象分析

徐延治

大連市第二十三中學

兩個不完全充滿氣的橡膠氣球被一根帶閥門的塑料軟管連接，根據日常經驗，較大氣球中的氣體會流向較小氣球，并在兩球等大時達到平衡。而實際實驗中發現，空氣會由于初始氣球體積不同而流向不同方向這樣的現象。本文基于非理想氣球橡膠彈性的基礎上研究此現象，并對此現象做簡單定性分析。

一、現象描述及模型假設

兩個普通的充著氣體的橡膠氣球，被一根帶閥門的塑料軟管連接。為簡化模型，假設兩個氣球材料完全相同，并都視為球體。

1 物理量描述

1.1 初始狀態下，較大氣球半徑Rb，較小氣球半徑Rs(Rb＞Rs)

1.2 臨界狀態下，臨界狀態一：半徑R1，臨界狀態二：半徑R2(R2＞R1)。

R1，R2，是在實驗中歸納出的出現狀態變化的臨界點，記為R1﹑R2，具體數值大約為

1.3 P為縮回力，T﹑σ(R)為表面張力，終狀態表示為R’.

2 現象描述

(1) Rs＜Rb≤R1

此時較大氣球中的氣體會流向較小氣球中，并在等大時平衡。

(2) Rs＜R1, R1＜Rb＜R1

此時較大氣球中的氣體會流向較小氣球中，但并不在等大處平衡，終狀態時，較大氣球依然會比較小氣球大(Rb＞Rs)。

(3) Rs≈R1, Rb＞R2

此時，較小氣球中的氣體會流向較大氣球中，并最終達到平衡。

(4) Rs＞R1, Rb＞R1(包括大于R2)

此時，較大氣球中的氣體流向較小氣球，并在等大時達到平衡。

二、現象分析

軟管閘門開啟后，氣體流動方向由熱力學的兩個定律決定。

假設有dn=-dnb=dns摩爾的氣體從大氣球流向小氣球，由熱力學第一定律得，

S0﹑E﹑P0﹑T為環境的熵﹑能量﹑壓力和溫度。

此式中E，對氣體有

dE=TdS-pdV+μdn

其中μ為化學勢，

對氣球有，

dE'=TdS'-pdV'+σdA

其中σ為表面張力，dA為面積微小量，V'為氣球體積，在此處可視氣球橡膠體積未變，即dV'為0。

由熱力學第二定律可知總熵增加，將以上代入(1)公式可得到，

對于一個球型氣球，氣體體積和氣球表面積有關系

氣球內外壓力由拉普拉斯定律可得

代入(2)公式可以得到

對于一個混合溫度下的氣體系統而言，根據吉布斯杜亥姆方程可知

-VdP+ndμ=0

得到

所以有

如果氣體交換在沒有外力作用下自發發生，則說明dW=0。在這里應該適用于高氣壓部分氣體流向低氣壓部分的情況。

通過以上熱力學計算結果(3)﹑(4)可知，氣體流動方向不取決于特定形狀。如果氣球中填充的是更重的氣體，或者將氣球放置在地球上其他大氣壓較低或者大氣壓較高的地方則實驗現象也將不同。

因為有

所以

又因為為氣球膨脹到剛好不受力時的半徑，R是氣球半徑，r*為氣球材料(橡膠)剛表現為非理想狀態是氣球半徑。

當F=0時，系統達到平衡。

[1] Two rubber balloons: Phase diagram of air transfer, Yan Levin and Fernando. L. da. Silverira. Physical Review. E 69.05110812004

其中