關于帶參數多項式曲線的討論

邢慶丹，陳雪嬌，潘晶

（遼寧師范大學數學學院，大連 116029）

關于帶參數多項式曲線的討論

邢慶丹，陳雪嬌，潘晶

（遼寧師范大學數學學院，大連 116029）

通過對帶參數的多項式基函數構造原理的分析，得到新的基函數構造方法。利用此法構造控制點可調整的三次帶參數的多項式曲線，同時給出曲線在拼接點處達到一定連續性的條件。

參數；多項式曲線；基函數；連續性

0 引言

為了調整Bézier曲線和均勻B樣條曲線的形狀，在它們的生成基中引入了參數。文獻[4]、[7]中的基函數是在二次Bernstein基函數中融入帶兩個或多個形狀參數的函數，將二次Bernstein基函數擴展為高次基函數；文獻[6]給出一種n次Bernstein基函數的擴展；文獻[2]是先構造帶形狀參數的三階B樣條基函數，再利用積分方法推廣至高階；文獻[5]是在最優規范全正基的基礎上乘以全正的轉化矩陣，得到新的含參數的規范全正基。基于n次Bernstein基與冪基的關系，本文研究發現這類帶參數的基函數[2-8]均可轉換成Bernstein基的組合形式，從而產生新的可調整的控制點，新的控制點可由原控制點線性組合得到。

基于以上研究，本文進一步得到了新的基函數構造方法，并構造了帶參數的三次多項式曲線，此曲線在滿足一定條件下達到G1連續。

1 基函數構造原理

零的下三角矩陣。有如下定理。

定理1對定義在[0，1]區間上的由帶參數的基函數生成的n次多項式曲線均可由n次Bernstein基生成，轉變為控制點帶參數的n次Bézier曲線，其中原控制點為m+1個，新控制點為n+1個（m≤n）。

通過上述定理，帶參數的多項式基函數的構造方法是由n次Bernstein基乘以矩陣H得到。由b0，n（t），b1，n（t），…，bm，n（t）滿足非負性和單位分解性，H需滿足如下要求：

（1）H是（n+1）×（m+1）矩陣；

（2）0≤{H}ij≤1;即矩陣里的每個元都是大于等于0小于等于1的；

矩陣H可有下述情形：

可得到m次Bernstein基的n次擴展；

有對稱性；

（3）H是非奇異全正矩陣或全正矩陣，得到的基函數具有全正性。

文獻[2]中的基函數

可以看成由3次Bernstein基乘以矩陣H1生成的，其中：

文獻[5]中的λ-B樣條基可以看成由4次Bernstein基乘以矩陣H2生成的，其中：

2 基函數的定義及其性質

性質1非負性，單位分解性；即bi，2（t）≥0（i=

性質2擬對稱性；即當α=β，μ=ν時，（1）式具有對稱性；當α≠β，μ≠ν時，（1）式不具有對稱性。

性質3退化性；當μ=ν=1，α=λ1，β=λ2時，（1）式退化為文獻[2]中當k=2時的基；當μ=ν=1，α=β=0時，（1）式退化為2次均勻B樣條基；當μ=ν=1，α=β=λ時，（1）式退化為文獻[3]中的基；當μ=ν=-1，α=2（αi-1），β=2（βi-1）時，（1）式退化為文獻[4]中的基。

3 曲線的構造及其連續性

給定控制點P0，P1，P2∈Rd（d=2，3），記（1）式中的矩陣為H，令（Q0，Q1，Q2，Q3）=（P0，P1，P2）H'，得到4個新的控制點。則有如下曲線定義。

圖1給出了當α，β固定時，μ，ν對曲線的影響，其中α=β=-3，曲線由外到內μ，ν的值分別為μ=ν=1，μ= ν=2，μ=ν=3，曲線從不封閉曲線變成了封閉曲線。

圖2給出了當μ，ν固定時，α，β對曲線的影響，其中μ=ν=3，曲線由外到內α，β的值分別為α=β=-3，α= β=-2，α=β=-1，α=β=0，隨著α，β值增大，封閉曲線所圍成的圖形面積變小。

圖3給出了當μ=ν=-1時，P0=Q0，P2=Q3，曲線插值于首末端點。圖3中曲線1、2、3、4、5分別對應α=β= -3，α=β=-2，α=β=-1，α=β=。其中曲線5中Q1，Q2的取值方式如圖4中所示，可見它的逼近效果更好[1]。

圖1

圖2

圖3

接下來討論兩段曲線的拼接問題。給定4個控制點P0，P1，P2，P3，設2條曲線分別為其中（Q0，Q1，Q2，Q3）=（P0，P1，P2）H'；p2（t）=P0，P1，P2，其中（Q4，Q5，Q6，Q7）=（P1，P2，P3）H'。

圖4

證明：通過計算可得：

將ν=2-μ代入p1（1）得p1（1）=p2（0）；（0）=kp1'（1）。證畢。

以下是曲線拼接的實例。

圖5 μ=ν=1，α=β=-1

圖6 μ=ν=3，α=β=0；μ=ν=3，α=β=-1；μ=ν=3，α=β=-2；μ=ν= 2，α=β=-3

圖7 μ=v=3,α=β=0

4 結語

利用本文的基函數構造方法，即能定義Bézier曲線擴展基，又能定義均勻B樣條曲線基。利用此法構造的三次帶參數的多項式曲線在拼接點處可達到G1連續。

[1]王晶昕，張春梅.調節參數對三角域上Bézier曲面形狀的影響[J].遼寧師范大學學報（自然科學版），2011，34（1）:6-9.

[2]張莉，鄔弘毅.多形狀參數的均勻B樣條曲線[J].合肥工業大學學報（自然科學版），2007，30（2）:252-256.

[3]劉長明，檀結慶.二次均勻B樣條曲線的擴展[J].合肥工業大學學報（自然科學版），2004，27（5）:459-462.

[4]嚴蘭蘭，宋來忠.帶兩個形狀參數的曲Bézier線[J].工程圖學學報，2008（3）:88-92.

[5]嚴蘭蘭，韓旭里.基于全正基的三次均勻B樣條曲線的擴展[J].圖學學報，2016，37（3）:329-336.

[6]X.A.Han，Y.C.Ma，X.L.Huang.A Novel Generalization of Bezier Curve and Surface[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，217:180-193.

[7]范菊嫻，檀結慶.帶多個形狀參數的Bézier曲線和曲面[J].合肥工業大學學報（自然科學版），2011，34（1）:149-152.

[8]Han Xuli.Piecewise Quartic Polynomial Curves with a Local Shape Parameter[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2006，23（1）:34-45.

Discussion of Polynomial Curve with Parameters

XING Qing-dan，CHEN Xue-jiao，PAN Jing

（School of mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029）

Based on the analysis of the structure principle of the polynomial basis functions with parameters,obtains a new method for the construction of the basis functions.This method is used to construct the three degree polynomial curves with parameters which can be adjusted by the control point,and presents the continuity condition of the curve at the joint point.

Parameter;Polynomial Curve;Basis Function;Continuity

1007-1423（2016）35-0038-05

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.35.008

邢慶丹（1991-），女，遼寧東港人，在讀碩士，研究方向為函數逼近

2016-11-08

2016-11-28

陳雪嬌（1991-），女，遼寧朝陽人，在讀碩士，研究方向為計算機輔助幾何設計

潘晶（1991-），女，遼寧東港人，在讀碩士，研究方向為計算機輔助幾何設計