在高中數學中如何進行微積分教學

◆周建設

(山東省東營市第二中學)

在高中數學中如何進行微積分教學

◆周建設

(山東省東營市第二中學)

微積分的創立是數學發展中的里程碑，他的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法和手段。進入新世紀，我們把微積分的內容引入到了中學，為以后進一步學習微積分打下基礎。正因為是剛剛引進的新內容，所以如何進行課堂教學，本人認為應該進行一些探討。本文就新課標對這部分內容的要求與特點以及如何在課堂教學中講授這一章知識進行了探討，以期獲得一些較為可行的教學方法。

教學大綱 微積分 數學教學

我國近20年間高中數學課程內容一直相對穩定，盡管教學大綱和教材也經過了幾次修訂，但教學內容仍然是代數、三角、立體幾何、解析幾何四大部分。然而，從2001年起，全國所有省市都已開始使用依照新大綱思想編寫的教材，在新教材中微積分、概率統計和向量這些在大學中重點學習的知識走進了高中，這無疑給高中數學教師提出了新的課題。在新的形勢下，采用合理的教學策略有效地組織新內容的教學，變得十分迫切。本文將探討一下，在高中數學中如何進行微積分教學，如何貫徹微積分思想，以期獲得一些較為可行的教學方法。

微積分學可以說是博大精深，高中學生不可能像大學生那樣來學習它，那么對我們的高中生來說應該怎樣學呢？高中教師又應該怎樣教呢？我們的高考對這部分內容又是怎樣要求的呢？下面我們就來討論一下這些問題。

一、微積分進入高中課堂并納入高考范圍的原由

微積分從本世紀初開始進入中學并作為高考的重點，那么新世紀制訂并使用的新大綱，為什么要打破二十多年的穩定局面，在課程設置上做如此大的改革呢？

這是由微積分學在數學以至整個自然科學中的重要地位所決定的。微積分學是人類思維的偉大成果之一，它的產生和發展被譽為“近代技術文明所產生的關鍵事件之一，它引入了若干極其成功的、對以后數學的發展起決定性作用的思想”。微積分的思想方法是17世紀產生的關鍵性的數學思想方法，不僅是學生以后學習高等數學以及許多數學分支的基礎，而且對于培養學生的數學思維，增強學生的解題能力也有很大的促進作用。微積分作為一個強大的工具，也可以幫助我們解決一些用初等數學思想處理比較繁瑣的數學問題，如變速運動的瞬時速度、變力作功、曲線的切線與長度、封閉曲線形的面積、立體體積等。從微積分學的創立至現在的三百年中，微積分學不僅對數學，而且對整個人類文明產生了不可估量的影響。而且我國進行了二十多年的改革開放，教育也得到了很大發展，當今不論教師的整體素質還是學生的數學能力，與二十年前相比已有了很大提高。所以學習微積分的初步知識，決不是高不可攀的，微積分知識進入中學是可行的。

二、教學大綱對“微積分”部分的要求與特點

雖然新大綱仍然將微積分作為選修內容，但卻是廣大希望進入高校繼續深造的學生的“必修”功課。新大綱對這部分的要求總體上看，有如下幾個特點：

1.對微積分的定位比較好，充分考慮到學生的實際水平。沒有過多地涉及極限的理論知識，也沒有要求嚴格的論證，只需直觀認識。例如選修Ⅱ只需讓學生借助幾何直觀理解連續函數有最大最小值的性質，這樣既能對極限的一些重要性質有所認識，也不會因嚴格的論證望而卻步。但涉及到核心內容“變化率的思想”，即引入導數時，大綱則沒有一味降低難度。因為變化率的思想是人類思維進步的里程碑，是高中生學習微積分的價值所在——既為大學作鋪墊，也為日后不學微積分的學生提供理解變化率思想的機會。

2.重視微積分在中學階段的應用。盡管選修Ⅰ和選修Ⅱ課時相差很大，但都用了足夠的課時講授導數的應用(選修Ⅱ還有定積分的應用)。因為如果不談應用，學生不僅學習該內容無甚興趣，而且也不能對微積分有一個全面的了解。況且，在講授微積分的應用時，也能加深學生對中學數學其他知識的理解。比如，講導數的應用有助于進一步理解函數的變化狀態，從觀察基本函數的斜率開始，判斷它的單調性，下降、上升區間和極值。

3.教學大綱要求“通過微積分初步的學習，了解微積分學的文化價值”，說明教師不僅應講授微積分的基本知識和原理，還應該讓學生了解微積分發展的社會背景及有關人物的資料，體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。形成一定的數學思維并能上升到哲學的高度。

三、高中數學課堂中組織微積分教學應遵循的一些原則和策略

中學生與大學生的認知水平不同，高中教師與大學教師的教學水平不同，所以微積分在高中課堂中的教學與大學中的教學是有很大區別的。本人結合在教學中學生學習微積分出現的困難，探索了一些較為可行的教學方案，總結起來有一下幾點：

1.不斷加強變量概念的教學，樹立以變量為思維對象的數學觀

由于學生在長期的數學學習中接觸的均為常量，即使在高中階段系統學習函數、自變量，并研究了一些基本函數的性質和圖像，但其思維和認識方式仍然比較習慣于常量，常量數學在頭腦中已根深蒂固，缺乏變量思維。但在學習極限、連續、導數、微分等概念時，沒有變量的思維是不行的。所以在組織教學時，需加強變量概念的教學，讓學生逐步熟悉和適應變量，并能思考變化過程。

中學數學引入導數的內容使教學內容增添了更多的變量數學，拓展了學習和研究的領域。增加這部分內容，可以加強對考生的辯證思維的教育，使考生能以導數為工具研究函數的變化率，為解決函數極值問題提供更有效的途徑、更簡便的手段，加強對函數及其性質的深刻理解和直觀認識。同時，使學生掌握一種科學的語言和工具，學習一種理性的思維模式。

2.要以直觀描述為主，鼓勵“合情推理”和“合情猜想”

3.防止微積分教學退化成僅讓學生記住一些公式和結論

考慮到高中生的實際水平，不需要在理論上過分要求嚴格。但無論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理，都應讓學生主動的參與，引導學生觀察和發現圖形的“變化趨勢”或親自動手進行推導，這樣才有利于培養學生的“變量思維”，感受微積分的內涵和與初等數學的差異。否則，如果為了純粹的“應試心理”，微積分教學變成了讓學生在不理解的狀況下死記一些公式和結論，那么在高中教授微積分就失去了意義和價值，學生的能力也不會提高。

4.加強對復合函數求導的訓練

復合函數是高中學生學習的難點，所以復合函數的導數也將是學生容易出錯的地方，關鍵是有一些學生不會合理地引入中間變量，函數的復合過程中各個環節分別是什么樣的函數關系沒有搞清楚。對此，本人認為應先讓學生多做一些分解函數復合過程的練習，然后按照復合過程逐步計算出復合函數的導數，待分步動作熟練之后再省略中間過程。

總之，如何進行微積分教學在高中數學是一個全新的課題，相對于代數和幾何等經典內容已經臻于完善的教學研究，微積分的教學研究還不成熟，處于摸索的階段。但也正因為如此，探討微積分的教學才更有價值和意義。微積分從新世紀已正式進入中學，它作為人類文化的寶貴財富，正在武裝一代又一代的新人，終將成為世人皆知的常識。它那閃耀著智慧光芒的深刻思想，一定會哺育人類走向更高的歷史階段。