從簡單做起 例談“截距式”推導中的類比法

左學武 毛自森 丁健

摘要：本文從二維平面的截距式直線方程的證明思想，聯想到三維空間中平面的截距式方程，從兩種不同的角度揭示了截距式公式形成的緣由，深化對截距式幾何意義的理解。同時，呈現出從低維空間概念向高維空間拓展的“類比聯想”式數學學習方法。

關鍵詞：截距式;相似性;等積法

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）07-0169-02

一、引言

伴隨著“互聯網+”時代的到來，對于教育教學課題的研究出現了多元化的思考，這其中很多學者開始關注新的網絡平臺，如MOOC，SPOC等資源平臺的建設和發展應用問題，的確這是一個全新的挑戰，然而，受到新模式的沖擊，傳統教學，特別是基礎學科中最重要的思維能力培養出現了一定的弱化，如數理學科體現更多的就是對于創新思維能力根基的培養，這需要我們不能只注重于形式的多樣，更要夯實能力的基石，近年來，我們一直關注于如何“還原”數學發現的過程，這是一種思維能力的訓練和養成，我們開始關注如何在特殊中需找一般的規律，如何將規律進行科學的總結和歸納，進而升華為成熟的理論或拓展應用，我們堅信這些能力的培養必須融入到課程教學之中。

截距式方程[1]是我們在中學經常運用的解析幾何方法，但是當時大多數同學并不知道它的推導過程，尤其是“1”的意義，更是同學們疑惑的地方。一直以來，“從簡單做起”[2]的數學思想貫穿著整個數學發展的脈絡，本文首先分析了二維平面的截距式直線方程，并由此聯想到三維空間中截距式平面方程。希望通過“簡化問題”的數學思想幫助大家認識問題的本質，同時利用“類比聯想”的數學方法升華問題的表征。

透過不同的解題視角，揭示不同的思維模式，啟發大家在解題過程中要注重多角度思考問題、結合發散思維拓寬視野。

二、從相似性的視角探究截距式

數學問題的解決應該遵循從簡單做起的原則，所以不妨先從二維平面直角坐標系入手。

如圖（1）所示，D點和E點為C點在坐標軸上的投影，顯然有△BDC∶△BOA，即 = ，

其中DC=x，BD=b-y，OA=a且OB=b，

代入得， =

化簡可知， + =1，

得證。

拓展到三維空間坐標系中，截距式將不再表示一條直線，而是一個平面。如下頁圖（2）由△EFD∶△EOC得

= = = =1- ，

同理得 = ， =

且與二維平面中結論所得 + =1，

兩式聯立解得 + = ，

代入上式消去

+ + =1。

三、以等積法的觀點推導截距式

截距式的數學表達形式 + =1類似于 + =1，很容易令人聯想到等積法。對等積法，尤其式中“1”的理解，對于數學思維有極大的啟發作用。

如圖（3）所示：

S =S +S 且S = ab，S = bx，

S = ay，

聯立有 ab= ay+ bx，

化簡得 + =1。

同理類比到三維空間里，如圖（4）有

V =V +V +V 且V = abc，

V = abz，V = acy，V = bcx，

聯立得abc=abz+acy+bcx，

化簡得 + + =1。

四、小結

由二維到三維，由簡單到復雜，本文從兩種不同的角度揭示出截距式公式形成的緣由，深化同學們對截距式幾何意義的理解。同時，本文在兩個角度的逐層遞進中，呈現出一種從低維空間概念向高維空間概念拓展的“類比聯想”式數學學習方法。

本文在截距式推導過程中體現出的“簡化問題”和“類比”思想，對大學生的思維方式轉變和有效學習具有啟迪性的作用。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].第六版.北京：高等教育出版，2007.

[2]王在華，姚澤清.理解與發現：數學學習方法漫談[M].北京：科學出版社，2011.