執行器飽和時滯系統的狀態反饋控制

姚合軍，袁 野，喬 玥，袁付順

(安陽師范學院 數學與統計學院，河南 安陽 455000)

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執行器飽和時滯系統的狀態反饋控制

姚合軍，袁 野，喬 玥，袁付順

(安陽師范學院 數學與統計學院，河南 安陽 455000)

研究了一類執行器飽和時滯系統的狀態反饋控制問題。基于Lyapunov穩定性理論，利用線性矩陣不等式方法，給出了系統全局漸近穩定的充分條件和狀態反饋控制器設計方法。通過在Lyapunov函數中引入參數矩陣，降低了所得穩定條件的保守性。

執行器飽和；時滯系統；線性矩陣不等式

1 引言

飽和現象廣泛地存在于各種動力系統中，如果不考慮飽和限制，那么嚴重情況下將導致系統性能下降甚至不穩定。在實際工程控制過程中，控制輸入往往需要滿足一定的條件，而執行器飽和是一種最為常見的約束控制，因此有關于執行器飽和的研究具有非常重要的實際意義。自上世紀60年代Fuller[1]首次提出飽和系統以來，執行器飽和控制問題得到了眾多學者的廣泛關注[2-3]。Hu等人在文獻[4]中針對帶有執行器飽和的離散系統，利用飽和非線性特性，提出了凸組合的處理方法，通過引入輔助矩陣將穩定條件轉化為線性矩陣不等式，得到了系統穩定性條件和控制器設計方法。隨后Zhou等人把飽和系統的設計方法引入到飽和網絡控制系統中來，如文獻[5]，研究了飽和網絡系統的輸出反饋鎮定問題。接著，又有一部分學者對帶有飽和約束的時滯系統進行了研究。張美玉等人對具有非線性執行器飽和的時滯切換系統進行研究，結合線性矩陣不等式方法設計了系統狀態反饋控制器[6]。陳東彥，司玉琴等人研究了多輸入多輸出飽和時滯系統的全局漸近穩定性問題，通過迭代算法進行吸引域估計。然而上述文獻對飽和時滯系統的研究過程中所設計的Lyanpunov函數缺少恰當的參數矩陣，所得結果具有較大的保守性。正因為此，本文就是在前人研究的基礎上，針對一類具有執行器飽和的時滯系統，基于Lyapunov穩定性理論，利用線性矩陣不等式方法，通過在Lyapunov函數中引入參數矩陣，得到了保守性較小的系統漸近穩定的充分條件和狀態反饋控制器設計方案。

2 問題描述

考慮下面具有輸入飽和的時滯系統：

x(t)=φ(t)t∈[-d,0]

(1)

其中x(t)∈Rn是狀態向量，u(t)∈Rm是控制輸入向量，A,Ad∈Rn×n是系統矩陣，B∈Rn×m是控制輸入矩陣，φ(t)=[φ1(t)φ2(t)…φn(t)]T∈Rn是給定的系統初始狀態，d是系統狀態時滯，飽和函數sat(u(t))=[sat(u1(t)),sat(u2(t)),…,sat(um(t))]，具有如下形式：

本文旨在設計系統(1)的狀態反饋控制器：

u(t)=2Kx(t)

(2)

其中K∈Rm×n是待定的常數矩陣。把(2)代入系統(1)中得到閉環系統：

x(t)=φ(t)t∈[-d,0]

(3)

ηT(t)η(t)≤xT(t)KTKx(t)

(4)

設計目的是確定形如(2)的控制器，使閉環系統(3)是漸近穩定的。

(1)S<0

3 主要結果

定理1：如果存在常數ε>0，對稱正定矩陣P,Q∈Rn×n和矩陣K∈Rm×n使得下面矩陣不等式

Θ=[ ATP+P A+Q+εKTKPAdPB?-Q0??-εI]<0

(5)

成立，則閉環系統(3)是漸近穩定的。

證明：選取Lyapunov函數

P,Q∈Rn×n是待定的對稱正定矩陣。

V(t)沿系統(3)求導得到

+2xT(t)PBη(t)+xT(t)Qx(t)

-xT(t-d)Qx(t-d)

=φT(t)[P A+ ATP+QPAdPB?-Q0??0]Φ(t)

(6)

其中

由(4)式得到：

0≤ΦT(t)[εKTK00?00??-εI]Φ(t)

其中ε是任意小的一個正數。

把上式帶入(6)式得到

其中

Θ=[ ATP+P A+Q+εKTKPAdPB?-Q0??-εI]

由Lyapunov穩定性理論知道當條件(5)成立時，閉環系統(3)是漸近穩定的。

[AX+B K+XTAT+ KTBT+ QAdX εB KT?- Q00??- εI0???- εI]<0

(7)

證明：由引理1知道不等式(5)等價于

[P A+ ATP+QPAdPBεKT?-Q00??-εI0???-εI]<0

上式左右兩邊分別乘以分塊對角矩陣diag{P-1,P-1,ε-1,ε-1I}得到：

[ AP-1+P-1 AT+P-1QP-1AdP-1ε-1BP-1KT?-P-1QP-100??-ε-1I0???-ε-1I]<0

[(A+BK)P-1+P-1(A+BK)T+P-1QP-1AdP-1ε-1BP-1KT?-P-1QP-100??-ε-1I0???-ε-1I]<0

4 結論

本文給出了一類帶有執行器飽和的時滯系統的漸近穩定條件和狀態反饋控制設計方法，通過在Lyapunov函數中引入參數矩陣，降低了系統穩定條件的保守性。

[1]A.T.Fuller.Inthelargestabilityofrelayandsaturatingcontrolsystemswithlinearcontrollers[J].InternationalJournalofControl, 1969，10(4):457-480.

[2]WangCL.Semi-globalpracticalstabilizationofnonholonomicwheeledmobilerobotswithsaturatedinputs[J].Automatica, 2008,44(3): 816 - 822.

[3]HuTingshu,LinZongli,ChenBenM.Ananalysisanddesignmethodforlinearsystemssubjecttoactuatorsaturationanddisturbance[J].Automatica, 2002,38(2):351-359.

[4]HuTingshu,LinZongli,ChenBM.Analysisanddesignfordiscrete-timelinearsystemssubjecttoactuatorsaturation[J].Systems&ControlLetters, 2002,45(2):97-112.

[5]ZhouRujuan,ZhangXiaomei,ShiGuiyin.Outputfeedbackstabilizationofnetworkedsystemssubjecttoactuatorsaturationandpacketdropout[J],LectureNotesinElectricalEngineering, 2012,136:149-154.

[6]張美玉, 劉玉忠. 具有非線性執行器飽和的時滯切換系統的控制器設計[J]. 沈陽師范大學學報, 2009,27(2):144-147.

[7]陳東彥，司玉琴.具有飽和狀態反饋離散時滯系統的漸近穩定性[J].自動化學報，2008,34(11)：1445-1448.

[8]俞立. 魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法[M]. 北京:清華大學出版社,2002.

[責任編輯：張懷濤]

State Feedback Control for a Class of Time-delay Systems with Actuator Saturation

YAO He-jun, YUAN Ye, QIAO Yue, YUAN Fu-shun

(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang 455000,China)

The problem of state feedback control for a class of time-delay systems with actuator saturation is considered in this paper. Based on the Lyapunov stability theory, the stability condition and the state feedback controller design method are obtained by using the linear matrix inequality approach. By introducing the matrix into Lyapunov functional, the proposed conditions are less conservative than the previous results.

Actuator Saturation; Time-delay Systems; Linear matrix inequality

2016-08-26

國家自然科學基金項目(61073065)；國家級大學生創新創業訓練項目(201610479045)；安陽師范學院大學生創新基金項目(ASCX/2016-Z113)

姚合軍(1980-)，男，副教授，主要從事網絡控制系統、飽和系統、變結構控制等方面的研究。

TP273

A

1671-5330(2016)05-0046-03