一類不確定混沌系統的自適應到達同步控制

陳秀琴,陳利艷

(1.信陽職業技術學院 數學與計算機科學學院, 河南 信陽 464000；2.安陽幼兒師范高等專科學校 學前教育系，河南 安陽 456150)

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一類不確定混沌系統的自適應到達同步控制

陳秀琴1,陳利艷2

(1.信陽職業技術學院 數學與計算機科學學院, 河南 信陽 464000；2.安陽幼兒師范高等專科學校 學前教育系，河南 安陽 456150)

研究了一類結構不同，且含有未知參數的混沌系統自適應達到同步控制.基于李雅普諾夫穩定性理論,給出了一個自適應同步控制器,并給出了參數的自適應率.本文設計的控制器能保證兩種不同結構的混沌系統輸出漸近同步，在實踐中也容易實現.最后,基于Matlab軟件進行數值模擬, 驗證了該自適應控制方法的有效性.

混沌系統；自適應到達同步；未知參數

混沌系統是一種特殊的非線性系統，由于它對初值具有極度敏感性，混沌系統的同步曾一度被認為是控制界的難點.自從Pecora和Carrol[1,2]于20世紀90年代初首先提出用PC方法實現混沌系統同步后，混沌同步已經引起了學者們的廣泛關注，并隨之出現了多種同步方法[3-9].但這些研究都屬于相同結構相同參數的狀態同步問題，在實際中是難以應用的，因為許多系統不僅部分狀態是不可測的，而且系統的參數隨環境的改變常常是不相同的(比如保密通信)，因此，考慮不同結構，不同參數的混沌系統的輸出同步問題更有實際意義.另外，在許多場合，需要考慮到達同步問題.

本文針對一類結構不同，且具有未知參數的混沌系統，基于李雅普諾夫穩定性理論，給出了一種自適應同步控制器，可實現M-S系統廣義輸出到達同步.最后的數值模擬也證明了所提方法的有效性.

1 問題描述

我們知道很多混沌系統,如Lorenz系統, Chen系統, Chua′s電路, R?ssler系統,超混沌R?ssler 系統和Lü系統,都可以描述成

(1)

其中g(y)為系統的非線性部分,α=[α1(1),…,α1(q1),…,αn(1),…,αn(qn)]T為未知參數

(2)

以Lorenz系統為例

(3)

假設α和c是未知參數，b是已知常數，則系統(3)可寫成

其中

α2=α,α2(1)=c-α,α2(2)=c.

耦合混沌系統為:

(3)

(4)

其中x∈Rn,g:Rn→Rn和f:Rp→Rp是連續向量函數,z∈Rm和y∈Rm是狀態向量;C=[c1,…,cp] ,ci∈Rm,u(y,x)∈Rm是控制器,且r(CB)=m.

定義1 如果存在一個控制器u(y,x)∈Rm,使得系統(3)和(4)滿足:

則系統(1)廣義同步.

則系統(1)廣義輸出到達同步.

為了研究系統(1)的廣義到達同步,我們定義廣義同步錯誤e=y-γ(x),γ:Rn→Rm是一個連續可微的函數.則誤差系統為

=Cf(y)+CBu(y,x)-Dr[A(α)x+g(x)]

(5)

其中

2 自適應同步控制器設計

定理 取控制器

(6)

其中(CB)-g=(CB)T[CB(CB)T]-1

自適應律

(7)

則可實現M-S系統廣義輸出漸近同步.

證明 定義

eTDrA(α)

=[eTDr1,…,eTDrn]

(8)

將控制律(6)和(8)式代入(5)得

取Lyapunov函數

(10)

則

=-k‖e‖2-ε‖e‖

(11)

將自適應律(7)代入(11)

(12)

3 數值算例

下面利用Matlab軟件中Simulink工具箱對以上同步問題進行仿真:

設驅動系統為,

z=r(x)=x1

(14)

其中d(t)=5sin(t),當d(t)=0時, 其相平面圖如圖1所示, 設其初值為(x1(0),x2(0)x3(0)) =(1.00, -1.00, -1.01)

響應系統為

q=y2

(15)

圖1 Lorenz系統的相平面圖

(16)

圖2 系統同步誤差 Fig.2. Synchronization error of Lorenz

圖和α1(1)誤差估計Fig.3.

圖和α2(1)的誤差估計Fig.4.

圖和α2(2)的誤差估計

和自適應率

(17)

仿真結果如圖1-5所示，其中仿真初值設為: 仿真結果也反映了本文所設計控制器的可行性和有效性.

4 結論

本文提出一種方法來設計一個自適應控制器實現一類混沌系統的同步與未知參數.利用李雅普諾夫理論,提出了一種新型控制器保證廣義漸近同步的發生.仿真結果驗證了該控制器的有效性.

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[責任編輯：張懷濤]

Adaptive Reaching Synchronization Control for a Class of Chaotic Systems with Unknown Parameters

CHEN Xiu-qin1, CHEN Li-yan2

(1.School of Mathematics and Computer Science，Xinyang Vocational and Technical College, Xinyang 464000，China;2.Preschool education department, Anyang Preschool Education College, Anyang 456150，China)

The adaptive reaching synchronization for a class of chaotic systems with unknown parameters is presented. Based on Lyapunov stability theory, an adaptive synchronization controller is developed; the adaptive laws of parameters are also given. The designed controller is easily implemented in practice to guarantee the output asymptotic synchronization of the two different chaotic systems. An illustrative example shows the effectiveness of the presented method.

Chaotic systems; Adaptive reaching synchronization; Unknown parameters

2016-04-20

國家自然科學基金( 61203293)；河南省重點科技攻關計劃(122102210131)

陳秀琴(1981-),女,河南信陽人,講師，主要從事高等數學的教學和混沌控制理論方面的研究;陳利艷(1980-)，女，河南安陽人，講師，主要從事高等數學的教學和概率論與數理統計方面的研究。

TN278

A

1671-5330(2016)05-0049-04