一類強耗散非線性波動方程的慣性流形

郭亞梅，李華慧

(1.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000；2.安陽學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 安陽 455000)

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一類強耗散非線性波動方程的慣性流形

郭亞梅1，李華慧2

(1.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000；2.安陽學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 安陽 455000)

要證明慣性流形的存在性，需要證明方程滿足譜間隔條件，而這存在一定的困難，為了克服這種困難，利用Hadamard的圖變換方法來證明一類強耗散非線性波動方程的慣性流形的存在性．

慣性流形；強耗散；圖變換

Foias 和Temam提出了慣性流形的概念，有限維不變的Lipschiz流形就是慣性流形，它將無窮維動力系統(tǒng)和有限維動力系統(tǒng)聯(lián)系起來，也就是說若一個無窮維動力系統(tǒng)存在慣性流形，那么這個系統(tǒng)在慣性流形上完全由一個有限維的動力系統(tǒng)所確定。對于慣性流形的研究，到目前為止已有很多結(jié)果。朱鍵民等在文獻[2]中利用斜積半流方法證明了擬周期半線性時滯波方程慣性流形的存在性，并在文獻[3]中利用Lyapunov-Perron方法在適當?shù)淖V間隔和適當小的時滯假設(shè)下，證明了一類非自半算子情形下半線性時滯拋物方程慣性流形的存在性。殷朝陽等在文獻[4]中利用譜間隔和廣義錐性質(zhì)證明了具有擬周期外力的非自治發(fā)展方程的慣性流形的存在性。李建平等在文獻[6]中利用截斷技巧討論了一類非線性演化方程的慣性流形。李華慧等在文獻[7]中證明了以下一類帶有強耗散項的非線性波動方程的整體吸引子的存在性。本文利用Hadamard圖變換方法來研究以下一類帶有四階強耗散項的非線性波動方程的慣性流形的存在性。

(1)

其中u=u(x,t)是Ω×[0,+∞)上的實值函數(shù)，Ω是Rn(n∈N)上具有光滑邊界的有界的開集，g(u)是非線性項，f(x)是外力項．

1 預(yù)備知識

引理1 設(shè)A:X→X，F(xiàn)∈Cb(X,X)滿足Lipschiytz條件：

‖F(xiàn)(u)-F(v)‖X≤l‖u-v‖X，u∈X,v∈X

且算子A滿足與F相關(guān)的譜間隔條件，若算子A的點譜可以分成兩部分σ1和σ2，且σ1是有限的，

∧1=sup{Reλ|λ∈σ1}，

∧2=inf{Reλ|λ∈σ2}，

且

Xt=Span{wj|j∈σi}，i=1,2

則

∧1-∧2>4lF

(2)

X=X1⊕X2

具有連續(xù)投影P1:X→X1，P2:X→X2．

為了方便引入下面記號：

2 主要結(jié)論

考慮方程

utt-αΔut+Δ2ut-Δu+Δ2u+Δg(u)=f(x)

(3)

令

U=(u,v),v=ut

則方程(3)等價于下列一階發(fā)展方程

Ut+AU=F(U),U=(u,v)∈X

(4)

考慮X中由內(nèi)積產(chǎn)生的圖模

則

(AU,U)

=α(v,

=α‖Δv‖2+‖Δv‖2

≥0

即算子A是單調(diào)遞增的，且(AU,U)X是非負實數(shù)．

為了定義算子A的特征值，考慮下面的特征方程

AU=λU,U=(u,v)∈X

(5)

即

從而u滿足特征值問題

對任意的正整數(shù)k，方程(5)都有成對的特征根

(6)

其中μk是-Δ在V中的特征根，則

若

(αμk+μk2)2≥4μk(1+μk)

即

(α+μk)2≥4

即μk≥2-α，則算子A的特征根均為實數(shù)，其相應(yīng)的特征函數(shù)形式為

為了方便，記對任意k≥1，有

‖Δuk‖=μk,‖uk‖,

假設(shè)g：H1→H1是一致有界且Lipschitz連續(xù)的，下面我們將證明算子A的特征值滿足滿足譜間隔條件．

定理1:設(shè)α是正常數(shù)，且μk≥2-α，l是g的Lipschitz常數(shù)，令N1∈N+充分大，若當N≥N1時，有下面不等式成立

則稱算子A滿足定引理1的譜間隔條件．

下面分四個步驟來證明：

㈡相應(yīng)X可分解為

(7)

(8)

進一步分解X2=XC⊕XR，其中

且定義

XN=X1⊕XC．

設(shè)函數(shù)

φ:XN→R，Ψ:XR→R

φ(U,V)= (2α-2)(u,,u)

(9)

Ψ(U,V)= (,,u)

(10)

定義了函數(shù)，下面證明函數(shù)φ,ψ是正定的：

首先令U=(u,v)∈XN，則

φ(U,U)

=(2α-2)‖u‖2+2(-1v,u)+(2

-α)‖-1v‖2-(2-α)‖u‖2+‖Δu‖2

≥(2α-2)‖u‖2-(2-α)‖-1v‖2

-α‖u‖2+(2-α)‖-1v‖2

-(2-α)‖u‖2

≥(2α-2)‖u‖2-(2α+3)‖u‖2

-(2-α)‖u‖2

≥[μ1-(2-α)]‖u‖2

(11)

又對任意k有μk≥2-α，得：

φ(U,U)≥0,U=(u,v)∈XN，

即φ是正定的．

同理任意對U=(u,v)∈XR

ψ(U,U)

≥2‖u‖2

(12)

即ψ(U,U)≥0,U=(u,v)∈XR

即ψ也是正定的．

規(guī)定X的內(nèi)積：

其中PN，PR分別是X到XN和XR的投影，簡記為：

在X的內(nèi)積下，要證X1與X2正交，只要證XN與XC正交即可，即只要證

其中

由(11)、(12)

=(2α-2)(uj,-1uj,uj)

=(2α-2)‖(-1uj,uj)

+‖Δuj‖2-(2-α)‖uj‖2

(13)

又

則(12)式等價于

=φ(P1U,P1U)+ψ(P2U,P2U)

≥[μ1-(2-α)]‖u‖2+2‖u‖2

≥(μ1+α)‖u‖2

≥μ1‖u‖2

給定U=(u,v)，V=(u,v)∈X

‖F(xiàn)(U)-F(V)‖X

=‖Δg(u)-Δg(v)‖

則有

則

(14)

令

則 (14)式等價于

(15)

令

則(15)式等價于

(16)

令

則(16)式等價于

(17)

令

則

R2(N+1)-R2(N)+(μN-μN+1)

=μNR3(N)-μN+1R3(N+1)

(18)

由(18)式易得

即

+μN-μN+1<2

從而有

∧2-∧1

定理1得證．

定理2:在定理1的假設(shè)下，初邊值問題(1)存在慣性流形μ，μ?X，有形式

μ=graph(m):={ξ+m(ξ):ξ∈X1}

m:X1→X2是Lipschitz連續(xù)的，有Lipschitz常數(shù)l，graph表示圖，其中X1,X2如(7)、(8)式所示.

[1]FoiasC,TemamR,Inertialmanifoldsfornonlinearevolutionaryequation,J.Diff.Equ.1988,73:309-353.

[2]朱健民，李祥等.擬周期時滯耗散半線性波方程的慣性流形[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，20(2)：263-269.

[3]朱建民，李祥等.非自半情形下時滯拋物方程的慣性流形[J].國防科技大學(xué)學(xué)報，2006，28(3)：120-123.

[4]殷朝陽，趙怡等.具有擬周期外力的非自治發(fā)展方程的慣性流形[J].數(shù)學(xué)年刊，2000，21(4)，457-470.

[5]李建平，丑紀范.大氣方程組的慣性流形[J].中國科學(xué)，1999.29(3)：271-278.

[6]戴正德，郭柏靈.慣性流形與近似慣性流形[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[7]李華慧，楊永燕.帶有強耗散項的一類非線性波動方程的整體吸引子[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報，2016, (06) 4-6.

[責任編輯：張懷濤]

2016-07-06

郭亞梅(1963-)，女，河南安陽人，副教授，主要從事代數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。

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A

1671-5330(2016)05-0062-04