三元Logit模型的Bayesian推斷及應用

朱善維

(上海海事大學 經濟管理學院，上海 浦東 201306)

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三元Logit模型的Bayesian推斷及應用

朱善維

(上海海事大學 經濟管理學院，上海 浦東 201306)

離散選擇模型，特別是Logit模型在各領域均有廣泛應用，Logit模型的建立難點在效用函數的確定及參數估計.借助隨機游走M-H抽樣方法對三元Logit模型進行Bayesian分析，得到模型參數的后驗條件分布.在最小后驗均方誤差準則下對中小樣本的模擬實驗顯示參數估計值十分接近真實值，其標準偏差也很小.對我國2000-2016年的外匯風險分析顯示：目前一些經濟基本面指標表現良好， 外匯風險發生的可能性較小.

三元Logit模型；Bayesian分析；M-H抽樣；外匯風險

1 引言

作為定量分析實際問題的主要研究方法，線性回歸模型已得到廣泛應用和完善.然而，許多實際問題的觀察變量都是非連續的，如個體出行交通方式的選擇、是否加入工會及銀行信貸分配等.當因變量是此類分類變量時，線性回歸模型便不再適用.Logit模型是最早提出的離散選擇模型，自Luce(1959)導出Logit模型以來，尤其在Marschark(1960)，Marley(1965)和McFadden(1974)證明了Logit模型的合理性后，該模型在經濟學、心理學、社會學和交通領域均得到廣泛應用.何新華等(2008)[1]在對船舶營運組織方式進行選擇時引入Logit模型，通過與四級航道船舶營運組織方式的實際數據相比較肯定了Logit模型的實用性.曲秋實等(2010)[2]利用Logit模型對我國某商業銀行510個客戶的財務數據進行實證分析，結論表明Logit模型在商業銀行個人信用風險評估中有效.丁友剛等(2011)[3]以1997-2008年間的300家國有控股上市公司為例，采用多元Logit模型研究了政府控制下的高管變更決策機制及其經濟后果.

已有研究充分證實了Logit模型在實際應用中的重要地位，然而由于其似然函數的一階導數是非線性的，似然函數極值不存在解析解，只能用數值方法求解.文獻[4]在利用三元Logit模型對我國外匯風險進行預警分析時，便使用了牛頓迭代法求解似然函數的最大值以得到模型參數的估計值.已有文獻多利用數值分析方法求解模型參數，缺乏運用MCMC算法的Bayesian推斷對模型參數進行估計.鑒于此，本文對三元Logit模型參數取合理的先驗分布，得出模型參數的后驗條件分布，通過建議分布取為二元正態分布的隨機游走M-H算法實現了從后驗條件分布中抽樣，得到一系列Markov鏈模擬值，且該鏈的平穩分布收斂到模型參數的后驗條件分布.M-H算法的難點在于建議分布協方差陣的確定，本文取樣本下參數向量的逆Fisher信息陣作為建議分布的協方差陣，此方法大大提高了模型參數的估計效果.

2 模型介紹

對于Logit模型，假設理論上存在一連續反應變y*，當該變量的值跨越某一臨界值c時，y的某一事件發生.同時，假設反應變量y*與自變量x間存在簡單線性關系，即有

其中，誤差項ε服從Logit分布.

以上模型的離散被解釋變量值有兩個，其屬二元Logit模型.當被解釋變量值有N個，就可得到N元Logit模型，其基本表述如下

i=0,1,2,…,N-1

(1)

其中，y為離散被解釋變量，代表某一可能發生的事件，x是解釋變量；βi是待估計參數，且β0=0；P(y=i|x)是在給定解釋變量的條件下事件{y=i}發生的可能性.

為考察三元Logit模型，可令式(1)中N=3，且參數β1，β2R，則其基本表述如下

(2)

由此，給定自變量x之下y的條件概率密度可歸納為

k=0,1,2.

在獲得樣本觀測值，即樣本信息{(y1，x1)，(y2，x2)，…，(yn，xn)}后，模型的似然函數可表述為

l(y1,y2,…,yn|x1,x2,…,xn,β1,β2)

其對數似然函數為

為了進行Bayesian分析，需要給參數取合理先驗分布.由于模型參數的先驗信息很難確定，而不恰當先驗設定會對模擬結果產生深刻影響，因此，參數β1，β2的先驗均選為無信息先驗.由Bayesian公式，可得參數β1，β2的條件后驗分布為

π(β1,β2|ψ)

∝f(y1,y2,…,yn|x1,x2,…,xn,β1,β2)π(β1,β2)

(3)

其中，ψ={y1，y2，…，yn，x1，x2，…，xn}.

3 模型參數的M-H抽樣

本節利用M-H算法對三元Logit模型的參數進行后驗抽樣.考慮到(3)式特點，如文獻[5]，可取M-H算法的建議分布為二元正態分布.為確定建議分布的參數，參見文獻[6]中定理，給出如下引理.

引理1 若樣本所得參數的極大似然估計量為，則滿足：

其中，l(θ|Ψ)為在樣本下關于參數的似然函數.

由引理1，建議分布協方差陣可取為

∑(t)

于是，參數β=[β1,β2]T抽樣方法的具體步驟見算法1

算法 1(產生β)步1抽β′～N2(β(t),∑(t))

步2 抽c～U(0,1)

步3 若c≤α(β(t),β′),則β(t+1)=β′，否則，β(t+1)=β(t)；其中

4 模擬實驗

為驗證M-H抽樣方法的效果，這里進行了模擬實驗.取參數真值β1=1，β2=1，初始值為β1(0)=0，β2(0)=0.分別取N=100，200，500組模擬數據，{x1，x2，…，xn}取自標準正態分布，{y1，y2，…，yn}取自(2)式分布律.運用以上分析的M-H算法對模擬數據進行迭代計算，迭代計算30000次，截取后5000次.并繪出N=200的迭代過程，如下圖

圖1 模擬數據β1(左)，β2(右)的迭代過程

利用截取的后5000次迭代進行參數估計，估計結果見表1

表1 參數后驗均值估計結果

由估計結果可知，它對真實值的估計比較理想，且隨著N的增大，估計量的標準差逐漸縮小.

5 實證分析

將本文模型應用于外匯風險預警，樣本數據來自國際貨幣基金組織.其中對外匯危機的定義參考文獻[4]中的外匯風險預警指數EMP(Exchange Market Pressure).EMP綜合考慮了利率上升，匯率急劇貶值和外匯儲備減少，其為實際匯率，利率以及外匯儲備變化的加權平均，EMP的算式如下：

(4)

其中，Ht為第t時段實際有效匯率，它是本幣與各主要貿易國貨幣實際匯率的加權平均， 權數是與該國的貿易額占總貿易額的比重.因此，實際有效匯率能較全面反映一國貨幣的實際情況;Lt為第t時段的利率;Rt為第t時段的外匯儲備;ωH，ωL和ωR分別為權數.為使實際有效匯率，利率和外匯儲備三部分的條件方差相等，ωH，ωL和ωR分別取為每個變量方差的倒數.

在外匯危機的研究中，EMP越大，實際發生危機的可能性就越大，當EMP超過一定臨界值就認為發生了外匯危機.這里定義這一臨界值(CV)為EMP均值加上其k倍標準差，即：

(5)

其中，表示外匯風險預警指數的均值；SD(EMP)表示外匯風險預警指數的標準差.當一國外匯風險預警指數超過臨界值時就認為發生了外匯危機.

圖2 我國外匯風險預警指數

采用2000年1月至2015年12月的月度數據，按公式(4)計算出我國的EMP， 結果如上圖.圖中虛線分別表示k =2和k =3時的外匯危機臨界線.k =2時， CV=0.7271683，此時2002年2月，2009年9月，10月和11月超過了臨界值;k=3 時，CV= 0.9962162，此時，僅2009年11月超過了臨界值.2009年的幾次危機發生時間間距較短，可認為是一次危機導致.

利用模型(2)，在外匯風險預警分析時，選擇先行期為12個月，則危機發生前的12個月為危機前期(y =1)，危機發生和危機結束后的12個月是危機后期或恢復期(y =2)，其它時段是平靜期(y =0).在外匯預警系統中，解釋變量的選取有很多指標，效果較好的如外匯儲備，實際有效匯率，實際利率，名義利率，出口與進口之差以及貨幣供應量等.這里我們將外匯儲備作為解釋變量，且(5)式中k=2.對2000年1月至2015年12月間的外匯狀況進行分析，運用M-H算法對(2)式進行參數估計. 得到的迭代過程如下圖所示

圖3 實際數據β1(左)，β2(右)的迭代過程

我們將所得結果列表如下

表2 參數后驗均值估計結果

由此我們可以得到外匯風險預警的模型.可以看到標準差較小，模擬效果比較理想.

將所得參數值代入模型，以2016年1月至2016年5月的外匯儲備作為解釋變量對模型進行計算，發現所得y值為2的概率較小.即發生危機的概率較小，考察我國外匯儲備在此期間數值穩定，此間確實沒有發生危機，也說明該模型較為理想.

[1]何新華, 胡文發, 霍佳震. 選擇船舶營運組織方式的Logit模型及應用研究[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2008, 36(6):760-763.

[2]曲秋實, 李莉. 基于logit模型的商業銀行個人信用風險評估[J]. 商業經濟, 2010(12):72-73.

[3]丁友剛, 宋獻中. 基于多元logit模型的國有企業高管更換決策機理研究[J]. 統計研究, 2011, 28(6):35-40.

[4]石柱鮮, 牟曉云. 關于中國外匯風險預警研究——利用三元Logit模型[J]. 金融研究, 2005(7):24-32.

[5]Altaleb,Anas,etal.BayesiananalysisoftheLogitmodelandcomparisonoftwoMetropolis-Hastingsstrategies.ComputationalStatisticsandDataAnalysis, 2002, 39(2):137-152.

[6]茆詩松, 王靜龍, 濮曉龍. 高等數理統計,第2版[M]. 北京: 高等教育出版社,2006，120-121.

[責任編輯：張懷濤]

Bayesian Inference and Application for the Temary Logit Model

ZHU Shan-wei

(College of Economics and Management, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

Disaggregate choice model, especially Logit model, have been used widely in various fields. However, for the establish ment of the Logit model, it is difficult to confirm the utility function and estimated parameter. By aid of M-H sampling, the Bayesian inference of the model parameter is put into effect, and the Conditional posterior distribution of the parameter is obtained. For small and medium sized samples, a simulation study shows that according to the rule of least posterior mean squared error, the Bayesian estimates are close to the true values,as well as with small standnard deviations. The model is applied to the foreign exchange risk analysis during 2000 to 2016 in China. The results show that the indexs of the economic fundamentals perform better, and the possibility of foreign exchange risk is small.

Temary logit model;Bayesian analysis;M-H sampling;Foreign exchange risk

2016-06-26

朱善維(1990- )，男，研究方向為Bayesian統計與隨機過程。

O212.8；F830.99

A

1671-5330(2016)05-0075-04