關于“模m剩余類群”的教學探究

楊波

【摘 要】主要針對模m剩余類加群和模m剩余類乘群的講授方法作了探討，在加群部分重點對加群中負元的求法作了說明；在乘群部分重點對模m剩余類中的非零元可以作成群的條件作了解釋。

【關鍵詞】群；模m剩余類；逆元；負元

0 引言

近世代數是一門研究不同的代數系統的學科，其中會涉及許多抽象的定義和性質，這就使初學者很難正確理解這些抽象的定義與性質。為了提高學生的學習興趣，我們可采用不同的教學方法來提高近世代數的教學效果。例如，對模m剩余類加群的同態關系的探究[3]；對模m剩余類加群的性質進行了分析[4]。本文就針對有關模m剩余類的教學方法作一些初步探究。

1 模m剩余類

為了講清楚什么是模m剩余類，需要給出一些預備知識。

定理1[1]：設R是A上的一個等價關系，對a∈A，令：

[a]={xx∈A，xRa}

則A的子集族：

S={[a]a∈A}

是A的一個分類。其中，[a]稱為A的一個包含a的R等價類，a稱為代表。

定理2[2]：對任一整數a，b（b≠0），存在一對整數q和r滿足：

a=bq+r，0≤r

而這樣的q和r是唯一的。r稱為a被b除的余數。

有關模m剩余類定義的引入，我們采用以下方法。首先，設A=Z，

m∈N，令：

Rm={（a，b）a，b∈Z，ma-b}

由等價關系Rm的規定知：

[a]=[b]？圳ma-b

下面，我們用m分別與a，b作除法，由定理2知，存在q1，r1和q2，r2滿足：

a=mq1+r1，0≤r1

a=mq2+r2，0≤r2

當r1>r2時，a-b=（q1-q2）m+（r1-r2），0

當r1

由以上的討論可知，當a與b分別與m作除法它們的余數相等時，就有[a]=[b]。我們把模m剩余類組成的集族記為Zm，即：

Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}

2 模m剩余類作成的加群

在這一部分的教學中，我們首先要解釋一下，模m剩余類加群是怎么構造的，其次，還要重點說明模m剩余類加群中負元的求法。為了討論清楚模m剩余類作成的加群，我們首先需要引入群的定義。

定義1[1]：設（G，0）是一個有單位元的半群，若G的每一個元素都是可逆元，則稱G是一個群。

下面，我們通過例題來解釋一下模m剩余類作成的加群。

例1：在Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}中規定：

[a]+[b]=[a+b]，？坌a，b∈Z

則（Zm，+）作成加群。

針對上例等價類[-a]中所含元素的特征，可作如下解釋：設存在q1，r1滿足：

a=mq1+r1，0

所以：

-a=-mq1-r1=-（q+1）m+（m-r），0

這說明，用m分別與a和-a作除法，它們的余數之和恰好等于m。

3 模m剩余類作成的乘群

這一部分主要討論Zm中的元素滿足什么條件才能作成乘群。

定理3[1]：在Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}中規定：

[a]·[b]=[ab]，？坌a，b∈Z

設[0]≠[a]∈Zm，則[a]是可逆元？圳（a，m）=1。

此定理說明，Zm中的非零元素[a]是否為可逆元，取決于代表a和m是否互素，可以看出，當m是素數時，就能保證Zm中的非零元素都是可逆元，因此，利用Zm中所以的非零元素就可以作成群。比如：

例2：在Z7中，規定：

[a]·[b]=[ab]，？坌a，b∈Z

則所有非零元構成的集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}作成一個群。

證明：易知，集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}按給定的代數運算作成一個半群，[1]是單位元，并且在Z7中有下式：

[2]·[4]=[1]

[3]·[5]=[1]

[6]·[6]=[1]

成立。進而[2]，[3]，[4]，[5]，[6]都是可逆元，因此命題得證。

而當m是合數時，就不能保證Zm中的非零元素都是可逆元?？聪吕?/p>

例3：在Z6中，以非零元構成的集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，不能作成一個群。

證明：因為：

[2]·[3]=[6]=[0]

而[0]不在{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}中，所以不能作成一個群。

4 結束語

本文主要針對模m剩余類的定義和模m剩余類群的教授方法作了討論，并對模m剩余類加群中的負元和模m剩余類乘群中逆元的存在性與求法作了重點說明。近幾年來，筆者按上述方法講解模m剩余類群，學生反映，對模m剩余類群理解的很透徹，在后面對環和域的學習中，再遇到與模m剩余類有關的問題，都感到簡單易懂，不再恐懼了。當然筆者還會在此基礎上進一步探索更簡單、直觀的授課方法，調動學生對近世代數課程的學習興趣。

【參考文獻】

[1]朱平天，李伯葓，鄒園.近世代數[M].北京：科學出版社，2011：19-76.

[2]聶靈沼，丁石孫.代數學引論[M].北京：高等教育出版社，2007：8-11.

[3]李曉毅，黃鳳琴.循環群中剩余類加群的討論[J].遼寧師范大學學報，2003.7，21（3）：169-171.

[4]齊蓮敏.模n剩余類加群的性質分析[J].襄樊職業技術學院學報，2009，8（4）：30-31.

[責任編輯：王楠]