橢圓內(nèi)接梯形的一個(gè)性質(zhì)

?

橢圓內(nèi)接梯形的一個(gè)性質(zhì)

江蘇省興化市戴南高級(jí)中學(xué)(225721)朱傳美江蘇省興化市戴南中心小學(xué)(225721)李曉芳

文[1]就2013年湖北省的一道解幾競(jìng)賽題做了很有意義的思考，得到了很好的性質(zhì)，筆者讀后深有感觸，繼續(xù)做了一點(diǎn)思考，發(fā)現(xiàn)文[1]的證明略顯繁瑣，并且還發(fā)現(xiàn)了橢圓內(nèi)接梯形的一個(gè)性質(zhì)，整理如下，與徐老師共勉.

在證明此定理前，需要用到以下兩個(gè)引理：

引理1在梯形ABCD中，AB∥CD，AD交BC于M， AC交BD于N，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，則M、N、E、F四點(diǎn)共線.

這兩個(gè)引理的證明就留給讀者.

由引理1和引理2很快能證得O、G、M、N四點(diǎn)共線，文[1]的證明略顯復(fù)雜一點(diǎn).

下面給出定理的證明：

圖1

(2)當(dāng)AB∥CD，且斜率存在時(shí)(如圖2)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，直線CD的方程為y=kx+n(|m|≠|(zhì)n|).

圖2

綜合(1)和(2)可得OM·ON=OG2.

當(dāng)然，上述結(jié)論也可以類比到雙曲線和拋物線，這里不再說明，更進(jìn)一步的探究就留給讀者去完成.

參考文獻(xiàn)

[1]徐全德.2013年湖北省高中競(jìng)賽解幾題的簡(jiǎn)證、推廣和引申[J]，數(shù)學(xué)通訊(上)，2013(11、12):85-86.