探析高校自主招考試題中函數方程的求解策略

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探析高校自主招考試題中函數方程的求解策略

浙江省紹興魯迅中學(312000)洪建松虞關壽

函數方程是指含有未知函數的等式，即方程兩邊含有不確定的函數.函數方程與其他知識結合以綜合題的形式常出現在近幾年的高校自主招考試卷和各級各類競賽試卷中.函數方程的形式特點雖然較多，但解函數方程沒有系統的理論和方法，所以如何求解成為其難點.所謂解函數方程就是求這個方程的所有的解，它實際上是一個探求函數解析式的過程，它盡管沒有理論上的指導，但還是可以根據函數方程的特征給出一些基本的求解策略和常用的方法.本文試想通過具體的例子，探析這些方法和策略，供參考.

一、賦值法

所謂賦值法就是根據所給條件，在函數定義域內適當地對自變量賦予某些特殊值或特殊的式子，從而使問題清楚明了.通過賦值簡化了函數方程式，抓住了問題的本質，達到了解決問題的目的.

例1函數f(x)對于任意實數x,y，滿足f(x+y2)=f(x)+2f2(y)且f(1)≠0，則f(2012)=.

試求：(1)函數y=f(x)的解析式；

(2)常數a的取值范圍.

二、換元法

將函數方程中的自變量適當地以別的變量代換，以得到一個新的易解的函數方程.在換元的過程中，不可忽視換元之前與換元之后的等價性，同時要隨時注意消元，以減少運算量.

例4已知f(x)是定義在N*上的函數，且滿足f(1)=1,f(2)=3,f(x+2)+2f(x)=3f(x+1)，求f(2012)的值.

三、待定系數法

此法適合于當函數方程中的未知函數是多項式時的情形.首先寫出多項式的一般表達式，代入函數方程，然而根據兩個多項式相等的條件，確定多項式的系數和次數.此法的依據是所給函數方程是未知函數定義域上的恒等式.在解題過程中要充分利用函數的單調性、奇偶性、對稱性等函數的性質.

四、“猜想、歸納、證明”法

此法應用于函數迭代問題.將給定的函數先迭代幾次，觀察得到的規律，加以歸納、總結，然后猜想迭代結論，運用數學歸納法證實猜想結論.應用此法在計算函數值時，應注意周期性規律的變化.

解：根據題設，易求得f(1000)=997,

f(999)=f[f(1006)]=f(1003)=1000,

f(998)=f[f(1005)]=f(1002)=999,

f(997)=f[f(1004)]=f(1001)=998,

f(996)=f[f(1003)]=f(1000)=997,

f(995)=f[f(1002)]=f(999)=1000

f(994)=f[f(1001)]=f(998)=999,

f(993)=f[f(1000)]=f(997)=998,

f(992)=f[f(999)]=f(1000)=997,

f(991)=f[f(998)]=f(999)=1000,

f(990)=f[f(997)]=f(998)=999；…

由此可猜測

解：由條件易得f(1)(2004)=2003,f(2)(2004)=2002,……,f(2004)(2004)=0,f(2005)(2004)=0,f(2006)(2004)=0,…，由此歸納可知當n<2004時，f(n)(2004)>0；當n≥2004時，f(n)(2004)=0.

∴關于n的方程f(n)(2004)=0的最小正整數解為2004.

五、特殊函數法

該法先根據所給函數的結構特點，尋找一些初等函數模型，通過這些特殊函數的性質去解決問題.例如設f(x)是R上的連續函數，且對所有x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),根據這個方程的特征可知這個函數方程的解f(x)=kx(k為常數).

(1)問f(xn)與f(x)有怎樣的關系，并說明理由；

(2)如果f-1(x)存在，則f-1(x)具有怎樣的性質？并說明理由；

分析：由已知性質馬上可與對數函數掛鉤，用對數函數的性質即可解決問題.

解：(1)聯想對數函數可得f(xn)=nf(x).現說明如下：f(xn)=f(x·xn-1)=f(x)+f(xn-1)=f(x)+f(x·xn-2)=2f(x)+f(xn-2)=…=nf(x).

(2)由于對數函數的反函數是指數函數，故可得這樣的性質f-1(x+y)=f-1(x)f-1(y).現說明如下：∵f(ab)=f(a)+f(b)，設t=f(ab)，x=f(a)，y=f(b)，則t=x+y，且ab=f-1(t)，a=f-1(x)，b=f-1(y)，于是得f-1(t)=ab=f-1(x)f-1(y)，f-1(x+y)=f-1(x)f-1(y).

試問：(1)f(x)的奇偶性如何？說明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的單調性如何？說明理由.

綜上，f(x)在(0,4a)上是增函數.