突破相互制約　實現(xiàn)成功解脫——例談多參數問題的處理策略

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突破相互制約實現(xiàn)成功解脫——例談多參數問題的處理策略

江蘇省丹陽高級中學(212300)劉少卿

近幾年的高考題不僅重視了對含參數問題的考查，而且似有參變因素多元化的趨勢，這些參數之間相互制約，相互影響，“牽一發(fā)而動全身”.此類問題分析要求高、思維難度大，學生常陷于盤根錯節(jié)的參數關系中而無法理清頭緒，或者難以確定突破方向而無從下手，或者盲目下手，因繁復不堪而后繼乏力.如何引導學生從多重變化因素中解脫出來？應引起人們的思考、探索與關注.筆者對此作了初步的探討.

一、從諸多變化因素中恰當消去參數

解決含有多重變化因素問題的主導思想是善于洞察具體問題的特點，盡量減少參變因素.其途徑之一就是恰當消參.

例1設a>b>c，且a+b+c=0，求拋物線y=ax2+2bx+c被x軸截得弦長l的取值范圍.

二、從諸多變化因素中剔除假變因素

有些問題中變化因素紛繁復雜，但只要靜心考察，便可發(fā)現(xiàn)有時某些似乎變化的因素只是“湊湊熱鬧”而已.其中有的是利用題設條件便可剝去變量的“外衣”而轉化為可以待定的常數(即為假變數)；有的盡管變化不定，而實質上對問題的研究沒有絲毫的影響.如能排除這些“假變因素”，便能減少參變因素，揭開問題的本質，有利于問題的解決.

例2已知直線l1⊥平面M于定點B，l2是平面M內過定點A而不過點B的任一直線，AB=a.在l1,l2上分別有動線段PQ=p,RS=q(p,q為定值).試問在什么情況下，四面體PQRS取得最大體積？其最大體積是多少？

三、從諸多變化因素中窺探不變因素

動中求靜、變中求定是解決數學問題的重要思想方法.這在解決含有多重變化因素的問題中更有其特殊的功效.

例3當實數a,b變化時，直線l1:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0與直線l2:m2x+2y+n=0恒有一個相同的公共點.問點(m,n)應在怎樣的曲線上？

四、從諸多變化因素中挖掘直觀因素

對于“含參”問題一般較為抽象，解題中應充分運用函數的圖像、善于根據數式構造圖形、借助幾何知識或抓住某些參數的幾何意義等手段，力求使抽象問題具體化、直觀化.

五、從諸多變化因素中分清主變因素

多參數問題含有兩個或兩個以上變元，我們在解題進程中，可視其中一個為主元，其余視為參數，便可降低思維難度，化多元問題為一元問題.

(1)求實數a的值所組成的集合A；

分析：本題含有3個參數a,m,t，可在不同解題階段確立不同的主元，隱去另兩個參數，即可化為單參數問題.

∵對x∈[-1,1]，f′(x)是連續(xù)函數，且只有當a=1時，f′(-1)=0，以及當a=-1時f′(1)=0.

∴A=[-1,1].

六、從諸多變化因素中尋求制約因素

在諸多變化因素之間，往往滿足某種特定的條件或存在某些隱含的制約因素，如能理順有關變元之間的關系并且充分地加以運用，就可在“多參”、“多變”中穿梭自如，不至于迷失方向.

例6(2007高考江蘇題)已知{an}是等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，a1=b1,a2=b2≠a1，記Sn為數列{bn}的前n項和.

(1)若bk=am(m,k是大于2的正整數)，求證：Sk-1=(m-1)a1；

(2)若b3=ai(i是某一正整數)，求證：q是整數，且數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項；

(3)(略).

分析：題中涉及的參數較多，有等差數列的公差d，等比數列的公比q以及m,k，令人眼花繚亂，無從下手.但如果考慮到⑴⑵所要證明的結論都僅與等比數列有關，而在已知首項的前提下，等比數列的關鍵制約因素是其公比q，因此可以認為q是眾多變化因素中的制約因素，解題思路可緊緊圍繞q展開.

證明：設{an}的公差為d，由a1=b1,a2=b2≠a1，知d≠0,q≠1，d=a1(q-1)(a1≠0).

(2)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1)，由b3=ai，所以q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因為i是正整數，所以i-2是整數，即q是整數.

設數列{bn}中任意一項為bn=a1qn-1(n∈N+)，設數列{an}中的某一項am=a1+(m-1)a1(q-1)(m∈N+).

(3)(略)

綜上所述，解多參數問題的著眼點在于減少變元個數，化繁為簡，變難為易，由此出發(fā)，就可產生諸多解題策略.只要我們在減元轉化上下功夫，就能突破多重參數之間的相互制約，實現(xiàn)成功解脫.