例析高考數列中的不等式問題四招求法

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例析高考數列中的不等式問題四招求法

江西師大附中高三(1)班(330046)洪欣鵬

在高考數列問題中，我們經常會遇到不等式問題．對于不等式，很多同學會覺得這類問題很難應對，無從下手．經過思考研究，我覺得數列中的不等式問題實際上并不難處理，只要我們把握解決問題的方法，就能輕松搞定高考數列中的不等式問題．

1比較法

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法．

例1(2015年陜西理科21)設fn(x)是等比數列1,x,x2,…,xn的各項和，其中x>0，n∈N，n≥2．

(2)設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明．

解析：(1)略.

(2)(法一)由題設，

(1)若λ=0,μ=-2,求數列{an}的通項公式；

評注：數列與不等式的綜合題一般考查數列通項與前n項和的求法及最值等問題，如果涉及遞推數列，且與不等式證明相結合，那么試題難度會大大加強，解答時常常利用轉化與化歸思想、分類討論思想分散題目的難度，同時需注意不等式的證明常常要利用放縮法．但放縮時，必須時刻注意放縮的跨度，做到“放不能過頭，縮不能不及” ．本小題只是簡單的放大或縮小了分式中的分母，放縮有度．現在高考中只要求能進行簡單的放縮．常用的簡單放縮技巧有(1)刪掉(或添加)一些項；(2)在分式中放大或縮小分子或分母；(3)應用均值不等式進行放縮等．

3數學歸納法

數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法，在數列證明中常常用到．

評注：本小題是關于正整數n的一個命題，可考慮用數學歸納法予以證明．解題中往往還會使用不完全歸納法，既要歸納發現結論，又要能證明結論的正確性．因此，初步形成“觀察——歸納——猜想——證明”的思維模式，就顯得特別重要．

4構造法

當解決某些數學問題使用常規方法按照定向思維難以解決問題時，應根據題設條件和結論的特征、性質，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結論之間的內在聯系，運用問題的數據、外形、坐標等特征，使用題中的已知條件為原材料，運用已知數學關系式和理論為工具，在思維中構造出滿足條件或結論的數學對象，從而使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助該數學對象方便快捷地解決數學問題．在不等式的證明中，構造法就是特別重要的方法，尤其要注意函數的構造．

(1)求a3的值；

(2)求數列{an}前n項和Tn；

當n=1時，S1=1<2+2ln1=2，成立;

綜上可知，Sn<2+2lnn．