曲線組合梁畸變效應的彈性地基梁有限元解法

劉玉玲，張彥玲，張德瑩

(石家莊鐵道大學土木工程學院， 河北石家莊050043)

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曲線組合梁畸變效應的彈性地基梁有限元解法

劉玉玲，張彥玲，張德瑩

(石家莊鐵道大學土木工程學院， 河北石家莊050043)

摘要：為了對曲線組合梁的畸變效應進行研究，針對鋼—混凝土曲線組合梁，首先采用M/r法將曲線轉化為直梁，然后基于能量變分原理，并考慮鋼梁與混凝土板的材料差異，推導了畸變荷載作用下組合梁的畸變控制微分方程。以哈大線某曲線組合梁為計算模型，根據彈性地基梁比擬法，分別采用初參數法和Midas有限元模型對跨中截面的畸變角和畸變雙力矩進行了計算。結果表明，在彈性地基梁原理基礎上，初參數法和有限元法均可很好地模擬曲線組合梁的畸變效應。

關鍵詞：曲線組合梁；畸變效應；彈性地基梁比擬法；初參數法；有限元法

0引言

鋼—混凝土曲線組合梁由于梁體本身曲率的影響，即使在僅承受豎向荷載的作用下也會產生彎、剪、扭耦合作用。由于混凝土翼板下方的鋼梁板厚較薄，截面會產生明顯的畸變效應。

對設有橫隔板的箱梁，畸變效應的分析方法包括解析法、數值法和彈性地基梁比擬法等[1]。解析法一般采用廣義坐標法[2-4]，其概念明確，但不能考慮截面的具體形狀尺寸；數值法有有限元法和有限板條法等，其計算費用較高[5-8]；彈性地基梁比擬法計算簡便，且有助于設計人員更明確地了解箱形梁的結構性能[9-10]，其使用較為廣泛。

目前采用彈性地基梁比擬法分析箱梁畸變效應，以直線梁和單一材料梁居多，對鋼—混凝土曲線組合梁的研究較少。為此，本文以鋼—混凝土曲線組合箱梁為研究對象，采用M/r法將曲梁轉化為等效直梁，以畸變角為基本未知量，考慮鋼梁與混凝土板的材料差異，采用能量變分法推導常截面曲線組合箱梁的畸變控制微分方程，并基于彈性地基梁比擬法，分別采用初參數法和有限元法對曲線組合箱梁的畸變效應進行了計算，旨在為曲線組合梁畸變效應的分析提供一種方便可行的計算方法。

1基于M/r法的模型簡化

本文研究跨中集中荷載作用下簡支曲線組合梁的畸變效應，曲梁平面及截面見圖1所示，兩側簡支端均設置抗扭支座。沿梁軸方向設置若干橫隔板，橫隔板上方設上翼緣，與鋼梁腹板上方的上翼緣同樣焊接圓柱頭栓釘，以便待混凝土結硬后與混凝土板結合成為組合截面。

(a) 平面

(b) Ⅰ-Ⅰ截面

圖1曲線組合梁模型

Fig.1Model of the curved composite beam

跨中集中荷載作用下簡支超靜定曲梁的彎矩和扭矩可采用結構力學的方法直接獲得，但不便于分析橫隔板對曲梁畸變效應產生的影響。1970年，Tung 等[11]給出了一種對曲梁進行扭轉分析的實用簡便的近似方法——M/r法，具體步驟如下。

圖2　M/r法等效直梁Fig.2　Equivalent straight beam

①將曲梁按中心線弧長展開為直梁，支承條件與原來的曲梁相同，計算此直梁在豎向荷載作用下的彎矩M。

②將梁的彎矩值除以曲線半徑r，得到M/r值。

③把兩個抗扭支座間的弧長l作為計算扭矩時的跨徑，并假定直梁為簡支支承，把M/r值作為此直梁上的分布扭矩，求出直梁的扭矩，則直梁的扭矩即為曲梁的扭矩。

根據M/r法，將圖1所示的曲梁展開為直梁(圖2)后，跨中集中荷載Q作用下的彎矩M(z)為：

(1)

式中，z為沿梁軸向的縱坐標；l為曲梁的跨度。

M/r法中施加于直梁上的分布扭矩m(z)為：

(2)

2組合箱梁畸變控制微分方程的推導

根據符拉索夫理論[12-13]，假定組合箱梁截面上只有1個變形自由度，即以圖1中角點1的畸變角γ1為基本未知量，其他各角的畸變角用γ1的函數來表示。圖1中頂板為混凝土，腹板及底板為鋼梁。

2.1組合梁畸變荷載的分解

通過M/r法分析，將曲梁展成直梁后，扭矩效應可轉化為作用在直梁上的水平反對稱荷載，并可繼續分解成剛性周邊不變形的純扭轉荷載和自相平衡的畸變荷載。由于鋼梁短上翼緣對組合箱梁畸變的影響較小，可以忽略不計，在下面的畸變控制微分方程的推導中不考慮鋼梁短上翼緣對畸變效應的影響。圖3為扭轉荷載的分解(圖中箱型截面的上翼緣是指混凝土板)。

(a) 總荷載(b) 剛性扭轉荷載(c) 畸變荷載

圖3扭轉荷載分解圖

Fig.3Decomposition of the total torque loads

2.2組合箱梁畸變應變能的推導

組合箱梁畸變應變能包括三部分：橫截面框架畸變應變能U1、畸變翹曲應變能U2和荷載勢能U3。文獻[14]中對于單一材料單室箱梁(混凝土或鋼梁)的畸變應變能進行了推導，但組合梁截面是由混凝土和鋼材兩種材料組成，不能直接應用其結果。因此，本文以文獻[14]的推導為基礎，對組合箱梁的畸變應變能進行推導。

2.2.1橫截面框架畸變應變能U1

在對組合箱梁橫截面框架畸變應變能的推導中，考慮混凝土板和鋼梁兩種材料彈性模量的不同，但不考慮二者之間的滑移。

取沿跨徑方向單位長度dz=1的一段組合箱梁進行分析，并設角點1處的畸變角為γ1(z)，此時梁板發生的水平位移為γ1h。由于組合箱梁結構對稱，外部影響因素反對稱，因此，水平位移作用下框架中引起的橫向彎矩為反對稱，如圖4(b)所示。

根據對稱原理，取半個框架，支承條件如圖4(c)所示。首先設外部水平荷載P=1，則根據超靜定力法方程δ11X1+Δ1P=0可求得A點的多余約束反力X1為：

(3)

當X1=2X與P同時作用在半個框架上時，彎矩圖如圖4(f)所示，由內力圖自乘可求得A點的水平位移δh為：

(4)

(a) 橫向框架變形(b) 橫向彎矩c) 半個框架計算圖

(d) 單位約束力下的彎矩(e) 外荷載彎矩(f) 半個框架總彎矩

圖4組合梁橫向框架與橫向彎矩圖

Fig.4The transverse frame and transverse bending moment of the composite box beam

在單位荷載P=1作用時，產生的水平位移為δh，那么當水平位移為γ1h時，作用的力為P4=γ1h/δh，則由圖4(f)及橫向彎矩的反對稱性可得：

(5)

(6)

其中，K1=-bXh/δh，K2=-(bX-h)h/δh。

橫向框架畸變應變能U1為：

(7)

(8)

2.2.2畸變翹曲應變能U2

當組合箱梁發生畸變時，箱壁各板在自身平面內發生翹曲，產生翹曲應變能。組合箱梁產生的翹曲應變如圖5(a)所示；在各板平面內產生彎矩，如圖5(b)所示；各板在自身平面內的畸變變位如圖5(c)所示。

(a) 畸變翹曲應變

(b) 畸變翹曲彎矩

(c) 畸變引起的變位

如圖5(a)所示，令β=ε4/ε1，由于畸變引起的翹曲彎矩之和為零，即M1+M2+M3+M4=0，可得

(9)

式中，d為兩邊懸臂長度之和；ε4為角點4處的翹曲應變；ε1為角點1處的翹曲應變。

在角點處，混凝土頂板與腹板以及鋼梁腹板與鋼梁底板均存在翹曲應力。根據圖5，畸變翹曲彎矩可由畸變翹曲應力得到。需要注意的是，在角點4處雖然混凝土與鋼梁的應變相同，但由于兩者的彈性模量不同，所以應力也不同。M3、M1、M4、M2的關系式如式(10)～(12)，即：

(10)

(11)

(12)

設組合箱梁各板塊沿周向的變位為ν1，ν2，ν3，ν4，將這些位移看作是組合箱梁翹曲時自身平面內的撓度，根據初等梁的彎曲理論，可得：

(13)

將畸變角γ1用x，y方向的位移表示，如圖5(c)所示，則：

(14)

將式(14)求導，并將式(13)代入，整理后可得：

(15)

將角點1處的正應變ε1乘以鋼材彈性模量，可得角點1處的正應力為：

(16)

翹曲應變能U2為：

(17)

(18)

2.2.3荷載勢能U3

荷載勢能U3為：

(19)

2.2.4常截面組合箱梁畸變總勢能U及控制微分方程

在不考慮剪切變形引起的應變能時，在畸變荷載作用下，組合箱梁的總勢能U由橫截面框架畸變應變能U1、畸變翹曲應變能U2和荷載勢能U3三部分組成，即：

(20)

根據歐拉—拉格朗日(Euler-Lagrange)條件式，可得常截面組合箱梁畸變控制微分方程為：

(21)

式中，Ω由式(18)得到，K3由式(8)得到。

畸變雙力矩BA則可定義為：

BA=-2Ωγ″1。

(22)

3彈性地基梁比擬法求解曲線組合箱梁的畸變效應

由式(22)得到的組合箱梁畸變控制微分方程與彈性地基梁撓曲控制微分方程EIby(4)+Ky=q在形式上完全相似，其中，彈性地基梁抗彎剛度EIb與組合箱梁畸變翹曲慣矩2Ω相對應；彈性地基梁模數K與組合箱梁的畸變框架剛度2K3相對應；彈性地基梁均布荷載集度q與組合箱梁受到的畸變水平分力M/2r相對應；彈性地基梁的撓度y與組合箱梁畸變角γ1相對應；彈性地基梁的彎矩M與組合箱梁受到的畸變雙力矩BA相對應。因此，求解組合箱梁的畸變角γ1與畸變雙力矩BA可以轉化為求解彈性地基梁的撓度y與彎矩M的問題。組合箱梁的橫隔板可簡化為簡支支承[15]。

3.1彈性地基梁有限元模型的建立

3.1.1定義彈性地基梁的材料及截面

(23)

3.1.2彈性地基梁模數的模擬

組合箱梁畸變控制微分方程中的畸變框架剛度2K3相當于彈性地基梁地基模數K，因此，畸變框架剛度2K3可模擬為彈性地基梁僅在豎向受壓的分布彈性支承，橫隔板用鉸支承來代替。在有限元模型中，將分布彈性支承簡化為單元節點處僅在豎向受壓的集中彈性支承Kij，其計算式[15]為：

(24)

式(24)中，ΔSi-1、ΔSi為相鄰兩單元的長度；2K3為組合箱梁畸變框架剛度。

3.2模型驗證及算例分析

以哈大客運專線某簡支曲線組合梁為例進行計算。該組合梁計算跨度l=24 m，曲線半徑r=120 m，截面為圖1所示的單箱單室截面。鋼梁采用Q345qE鋼，上翼緣寬度bt=600 mm，厚度tt=30 mm；腹板高度hw=2 340 mm，厚度tw=16 mm；下翼緣寬度bb=3 000 mm，厚度tb=30 mm。橋面板采用C50混凝土，寬度bc=6 500 mm，厚度hc=400 mm。具有兩個端橫隔板，跨中作用一集中荷載Q=50 kN，求跨中的畸變角和雙力矩。

圖6　作用在等效直梁上的水平畸變荷載分量Fig.6　Horizontal distortional load appliedon the equivalent straight beam

首先根據M/r法將曲梁展成直梁，根據式(2)和圖3可得，作用在直梁上的水平畸變荷載分量為三角形荷載，其與彈性地基梁上的分布荷載集度q相對應，如圖6所示。

3.2.1初參數法計算

直接求解圖6所示的三角形畸變荷載作用下組合梁的跨中畸變角和雙力矩比較困難，可首先求出跨中截面畸變角和畸變雙力矩的影響線，然后將圖6中的荷載與影響線函數積分，即可得到跨中的畸變角和畸變雙力矩。

由式(21)兩邊同時除以2Ω可得：

(25)

(26)

(27)

由組合梁參數，按式(18)和式(8)分別得到2Ω=3.811×107kN·m4，2K3=6.080×102kN·m4，λ=0.0447 m-1。將式(27)代入邊界條件γl/2=0(yl/2=0)，Bl/2=0(Ml/2=0)，可得γ0=7.173×10-6rad，B0=5.749 kN·m2。

將γ0，B0代入式(27)可得：

(28)

根據互等定理，式(28)即為組合梁跨中截面畸變角和畸變雙力矩的影響線函數。將畸變荷載函數與之積分，即可得到三角形畸變荷載作用下跨中截面的畸變角γA和畸變雙力矩BA分別為：

3.2.2有限元解法

以上為理論分析所得的跨中截面畸變角和畸變雙力矩。下面采用Midas/civil軟件建立彈性地基比擬梁的有限元模型，求解彈性地基梁在圖6所示的荷載下(相當于集中荷載Q=50 kN作用在曲梁跨中時的畸變荷載)跨中截面的畸變角和畸變雙力矩。

①跨中截面畸變角和畸變雙力矩影響線

首先使彈性地基梁模型承受跨中單位集中荷載(即單位畸變荷載)，有限元模型見圖7，計算后得到沿跨度方向彈性地基梁各截面的撓度和彎矩，其數值對應實際組合梁各截面的畸變角和畸變雙力矩，見圖8和圖9。根據互等定理，圖8和圖9即為跨中截面畸變角和畸變雙力矩的影響線圖形，圖中同時示出了采用初參數法得到的結果。

由圖8和圖9可知，采用初參數法得到的理論結果與Midas有限元計算結果非常吻合，說明所建立Midas/civil模型是正確的。

圖7　單位畸變荷載下的有限元模型

圖8跨中畸變角影響線對比圖

Fig.8The influence line of the mid-span

distortional angel

圖9跨中畸變雙力矩影響線對比圖

Fig.9The influence line of the mid-span

distortional bimoment

② 三角形畸變荷載下跨中截面的畸變角和畸變雙力矩

仍采用①中的有限元模型，將跨中集中荷載改變為圖6所示的三角形分布荷載，見圖10。計算后得到彈性地基梁跨中截面的撓度，實際組合梁跨中截面的畸變角γA=8.790×10-6rad，比理論計算值大2.04%；彈性地基梁跨中截面彎矩即實際組合梁跨中截面畸變雙力矩BA=56.886 kN·m2，比理論計算值小0.01%，結果吻合良好，再次證明了有限元計算方法的正確性。

圖10　三角形荷載作用下的有限元模型

4結論

在M/r法基礎上，將鋼—混凝土曲線組合梁轉化為等效直梁，得到由梁軸曲率引起的扭轉荷載，并由荷載分解法分離出畸變荷載，施加在等效直線組合梁上，根據彈性地基梁比擬法，采用初參數法和Midas有限元模型計算得到的組合箱梁跨中截面的畸變角和畸變雙力矩結果吻合良好，說明在M/r法基礎上，初參數法和彈性地基梁有限元法都可以很好地計算曲線組合梁的畸變效應。彈性地基梁有限元法則可更方便地用于進一步的參數分析。

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(責任編輯唐漢民裴潤梅)

Finite element solution for curved composite beams with distortional effect based on elastic foundation beam method

LIU Yu-ling, ZHANG Yan-ling, ZHANG De-ying

(School of Civil Engineering,Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043,China)

Abstract:In order to analyze the distortion effect of curved composite beams, a curved steel-concrete composite beam was simulated as an equivalent straight one by theM/rmethod. Based on the energy-variational principle, and considering material difference between the concrete slab and steel girder, the distortional governing differential equation for the composite beam was deduced. A curved composite beam in Harbin-Dalian railway was selected as a computational example. Based on the elastic foundation beam analogy method, the distortional angle and bi-moment were obtained by the initial parameter method and the finite element method, respectively. The results indicate that, based on the elastic foundation beam analogy method, and simulating the curved composite beam to an equivalent straight one by theM/rmethod, both the initial parameter method and the finite element method can satisfyingly deduce the distortion effect of the curved composed beam.

Key words:curve composite beam; distortion effect; elastic foundation beam analogy method；initial parameter method; finite element method

中圖分類號：TU391

文獻標識碼：A

文章編號：1001-7445(2016)01-0203-09

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0203

通訊作者：張彥玲(1973—)，女，河北吳橋人，石家莊鐵道大學教授，博士；E-mail: 06mzhang@163.com。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51108281)；河北省自然科學基金資助項目(E2014210038)；河北省高等學校科學技術研究項目(ZD2014025)

收稿日期：2015-11-15；

修訂日期：2015-12-28

引文格式：劉玉玲，張彥玲，張德瑩.曲線組合梁畸變效應的彈性地基梁有限元解法[J].廣西大學學報(自然科學版)，2016，41(1)：203-211.