橢球變換法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的變形研究

尹　暉,李小祥,甘喆淵

(1.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079;2.中國(guó)電力科學(xué)研究院高壓研究所,湖北 武漢 430074)

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橢球變換法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的變形研究

尹暉1,李小祥1,甘喆淵2

(1.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079;2.中國(guó)電力科學(xué)研究院高壓研究所,湖北 武漢 430074)

隨著我國(guó)城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的迅速發(fā)展，對(duì)大比例地圖測(cè)繪的精度要求越來(lái)越高。而采用已有橢球參數(shù)來(lái)進(jìn)行高斯平面投影卻不能滿足具體項(xiàng)目的高精度要求，必須使用新的橢球參數(shù)來(lái)建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。一般的做法是平移中央子午線和改變投影高程面來(lái)滿足城市測(cè)量中要求邊長(zhǎng)變形小于2.5 cm/km的限值。過(guò)去大部分的研究主要集中在從理論上探討如何改變橢球參數(shù)來(lái)建立獨(dú)立坐標(biāo)系，缺少應(yīng)用實(shí)際算例對(duì)橢球參數(shù)選擇的對(duì)比和適用范圍分析。本文針對(duì)3種不同方法：橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法進(jìn)行實(shí)例分析，選擇不同橢球參數(shù)進(jìn)行計(jì)算得到的新坐標(biāo)系統(tǒng)，并進(jìn)行變形分析，最后給出不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍，為不同工程實(shí)踐提供適宜的參考方案。

1高斯投影變形分析

由于地球是一個(gè)近似的大地橢球體，在地圖投影的過(guò)程中就不可避免地產(chǎn)生投影變形。投影變形是指將橢球面上的元素(距離、角度、圖形)投影到平面上產(chǎn)生的長(zhǎng)度、角度和面積的變形。高斯投影是正形投影，角度不產(chǎn)生變形[1]，投影后的中央子午線是一條沒(méi)有變形的直線。在中央子午線附近區(qū)域變形很小，但自中央子午線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大處在投影帶內(nèi)赤道的兩端[2]。

通常用高斯投影長(zhǎng)度比m來(lái)表示高斯投影平面上的微分長(zhǎng)度與地球橢球面上相應(yīng)長(zhǎng)度之比。用m-1表示投影變形的變形量大小。

設(shè)高斯平面上的某點(diǎn)K，用其大地坐標(biāo)(B,L)和平面坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示的高斯投影長(zhǎng)度比的計(jì)算公式[1]分別為式(1)和式(2)。

(1)

(2)

其中：u2=e′2cos2B，B,L為K點(diǎn)的經(jīng)緯度，e′為橢球體的第二偏心率，y為K點(diǎn)的橫坐標(biāo)，R為該點(diǎn)處橢球的平均曲率半徑，l為K點(diǎn)的經(jīng)度差，l=L-L0，L0為選擇的中央子午線經(jīng)度。根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]可知，在l≤3.5°時(shí)，高斯投影的長(zhǎng)度比精度優(yōu)于1×10-7。表1給出了不同經(jīng)差l和緯度B下的投影變形量的數(shù)值。

表1　不同經(jīng)差l和緯度B的變形量　mm/km

從表1計(jì)算的投影變形量結(jié)果可見：由于我國(guó)地理位置位于緯度3°51′N至53°33′N的區(qū)域，在采用3°分帶，最大經(jīng)差1°30′的情況下，靠近投影帶邊緣的變形達(dá)到了200~350 mm/km，這種投影產(chǎn)生的長(zhǎng)度變形遠(yuǎn)大于目前城市測(cè)量中要求長(zhǎng)度變形小于2.5 cm/km的限值規(guī)定；從式(2)計(jì)算可以得到在橫坐標(biāo)y大于45 km之后，長(zhǎng)度變形將超過(guò)1/40 000，大于工程測(cè)量中所要求的小于2.5 cm/km的長(zhǎng)度變形誤差，需要對(duì)橢球參數(shù)和投影參數(shù)進(jìn)行控制。

2橢球變換法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系

2.1建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的常規(guī)方法

建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的目的就是為了控制長(zhǎng)度變形，且保持角度不發(fā)生改變。即實(shí)際地面測(cè)得的距離轉(zhuǎn)換到平面坐標(biāo)系中的兩者距離之差要滿足實(shí)際工程的精度要求。

把地面距離觀測(cè)值歸算到橢球面需要?dú)w算方向(方位角)改正和距離(長(zhǎng)度)改正。由于地面測(cè)量距離的觀測(cè)值是兩控制點(diǎn)之間的直線長(zhǎng)度，空間直線的長(zhǎng)度與點(diǎn)的鉛垂線沒(méi)有關(guān)系，故可以直接沿端點(diǎn)的法線歸算致橢球面上，產(chǎn)生的變形為

(3)

要求投影的長(zhǎng)度變形小于等于2.5cm/km，在常規(guī)方法中只控制投影參數(shù)：改變投影面的中央子午線；改變投影面大地高；同時(shí)改變投影面的中央子午線與投影面大地高。距離控制時(shí)往往并未控制投影方向的距離改化，引起角度畸變，理論上不夠嚴(yán)密。

對(duì)于改變投影面的中央子午線和大地高進(jìn)行高斯3°帶投影仍然變形超限的項(xiàng)目測(cè)區(qū)(如長(zhǎng)距離道路建設(shè)、管道建設(shè)、城市級(jí)區(qū)域工程建設(shè)等)，就無(wú)法采用這種方法，需要采用橢球變換的方法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系。

2.2幾種常見的橢球變換方法

2.2.1橢球膨脹法

橢球膨脹法的基本思想是保持橢球中心和橢球定向在膨脹前后不發(fā)生變動(dòng)，對(duì)橢球進(jìn)行縮放，縮放后的橢球面與獨(dú)立坐標(biāo)系所選的平面相切[4-5]。新橢球的長(zhǎng)半軸會(huì)發(fā)生改變，橢球原點(diǎn)位置不發(fā)生改變(見圖1)。

圖1　橢球膨脹法變換示意圖

在實(shí)際的工程使用中一般改變長(zhǎng)半軸有3種方法，產(chǎn)生3種不同的結(jié)果，但都是改變橢球長(zhǎng)半軸a而不改變橢球第一偏心率e。橢球參數(shù)變化有如下3種：

1)新橢球的長(zhǎng)半軸增加的量為項(xiàng)目區(qū)域現(xiàn)選擇的投影面大地高H。

(4)

2)新橢球的長(zhǎng)半軸增加的量為原投影面沿法線方向膨脹到現(xiàn)選擇的投影面的增加量。

(5)

3)新橢球的長(zhǎng)半軸增加的量為現(xiàn)選擇的投影面的平均曲率半徑。

(6)

式中：H0為現(xiàn)選擇的投影面的大地高，e為橢球第一偏心率(保持不變)，B0為目標(biāo)區(qū)域基準(zhǔn)緯度，L0為目標(biāo)區(qū)域基準(zhǔn)經(jīng)度。

采用橢球膨脹法得到的控制點(diǎn)大地坐標(biāo)換算到獨(dú)立坐標(biāo)系的計(jì)算公式為

(7)

式中：

(8)

式中：dBx,dLx,dHx為待定控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)變化量;Nx為待定點(diǎn)在原橢球參數(shù)下的子午圈曲率半徑;Mx為待定點(diǎn)在原橢球參數(shù)下的卯酉圈曲率半徑;Lx,Bx,Hx為待定控制點(diǎn)在原坐標(biāo)系下的大地坐標(biāo)。

經(jīng)過(guò)橢球膨脹法的變換，待定控制點(diǎn)經(jīng)度L不發(fā)生改變，而緯度B和大地高H發(fā)生改變。

2.2.2橢球平移法

相對(duì)于橢球膨脹法改變橢球長(zhǎng)半軸，橢球平移法是通過(guò)移動(dòng)橢球中心位置來(lái)達(dá)到效果的。其基本思想是將原橢球沿著項(xiàng)目區(qū)域獨(dú)立坐標(biāo)系的基準(zhǔn)點(diǎn)所在的法線方向進(jìn)行平移，使得移動(dòng)后橢球面平移到現(xiàn)選擇的投影面(見圖2)。橢球的其余參數(shù)不發(fā)生改變da=0，de2=0。

圖2　橢球平移法變換示意圖

橢球參數(shù)變化相應(yīng)的公式為

(9)

式中：(dX0，dY0，dZ0)表示橢球中心的變化量;B0,L0,M0,N0,H0定義同橢球膨脹法。

采用橢球平移法得到的控制點(diǎn)大地坐標(biāo)換算到獨(dú)立坐標(biāo)系的計(jì)算公式為

(10)

式中：dBx,dLx,dHx為待定控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)變化量;Mx,Nx,Hx,Lx,Bx,Hx定義同橢球膨脹法。

可見經(jīng)過(guò)橢球平移法，點(diǎn)的經(jīng)緯度和大地高都發(fā)生改變。

2.2.3橢球變形法

橢球變形的思想是保持橢球中心不發(fā)生改變，改變橢球的扁率α。具體做法是：先將橢球沿基準(zhǔn)點(diǎn)的法線膨脹到所定義的參考面，變化扁率α,使得基準(zhǔn)點(diǎn)處的法線方向與變換前后重合(見圖3)。

圖3　橢球變形法變換示意圖

這樣變換的結(jié)果是保證了基準(zhǔn)點(diǎn)的經(jīng)度和緯度不發(fā)生改變。橢球參數(shù)相應(yīng)的公式為

(11)

式中：e′2為變換后的橢球第一偏心率的平方;N0為基準(zhǔn)點(diǎn)在原橢球參數(shù)下的子午圈曲率半徑;da為橢球長(zhǎng)半軸改變量;B0,N0,H0,a,e定義同橢球膨脹法。

采用橢球變形法得到的控制點(diǎn)大地坐標(biāo)換算到獨(dú)立坐標(biāo)系的計(jì)算公式為

(12)

式中：dBx,dLx,dHx為待定控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)變化量;Mx,Nx,Hx,Lx,Bx定義同橢球膨脹法;α為原橢球扁率;dα為橢球扁率變化量;α′為新橢球扁率。

橢球平移法的變換前后可以發(fā)現(xiàn)待定控制點(diǎn)的經(jīng)度L不發(fā)生改變，而緯度B和大地高H發(fā)生改變。

2.3算法流程

首先，不管采用哪種橢球變換法，需要確定目標(biāo)區(qū)域基準(zhǔn)量：基準(zhǔn)緯度B0、基準(zhǔn)經(jīng)度L0和現(xiàn)選擇的投影面大地高H0，B0、L0和H0可以采用項(xiàng)目區(qū)域已有資料中的基準(zhǔn)點(diǎn)經(jīng)緯度和目標(biāo)投影面大地高來(lái)確定，也采用待定控制點(diǎn)經(jīng)緯度和大地高平均值的方法計(jì)算得到。

其次是確定橢球變換參數(shù)：①橢球膨脹法是確定橢球長(zhǎng)半軸的變化量da；②橢球平移法是確定橢球中心變化量(dX0，dY0，dZ0)；③橢球變形是確定橢球的長(zhǎng)半軸的變化量da、新橢球偏心率e′和新橢球扁率α′。

最后是根據(jù)不同的橢球變換方法待定控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)改變量dBx,dLx,dHx，從而獲得新橢球下的控制點(diǎn)大地坐標(biāo)，如需要再投影成高斯平面坐標(biāo)。

HDS2003和TGO是GPS數(shù)據(jù)處理的常用軟件，功能強(qiáng)且應(yīng)用面廣。但這兩種軟件只采用了橢球膨脹法來(lái)確定橢球變換參數(shù)[6]，缺乏3種方法的效果對(duì)比。本文基于C#重新設(shè)計(jì)了建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系計(jì)算軟件，如圖4所示。

圖4　橢球變換法建立獨(dú)立坐標(biāo)系軟件界面

3數(shù)據(jù)分析

測(cè)區(qū)為南方某市級(jí)區(qū)域，面積約1萬(wàn)km2，平均緯度23°30′，平均經(jīng)度114°30′。現(xiàn)有WGS-84坐標(biāo)系起算點(diǎn)68個(gè)。橢球變換法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系可以采用平均經(jīng)緯度和大地高作為基準(zhǔn)量，也可以采用控制點(diǎn)的平均經(jīng)緯度和大地高作為基準(zhǔn)量[7]。在軟件設(shè)計(jì)中既設(shè)計(jì)了以區(qū)域平均經(jīng)緯度和大地高作為基準(zhǔn)量也設(shè)計(jì)了使用控制點(diǎn)的平均經(jīng)緯度和大地高作為基準(zhǔn)量進(jìn)行計(jì)算。GPS控制點(diǎn)一般在山頂或者樓頂，其大地高比項(xiàng)目區(qū)域平均大地高偏高，故采用區(qū)域平均經(jīng)緯度和大地高作為基準(zhǔn)量，來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析[8]。

根據(jù)不同橢球變換法計(jì)算得到的橢球參數(shù)成果如表2所示。

表2　不同方法橢球參數(shù)　m

限于篇幅選擇其中3個(gè)控制點(diǎn)(其中3號(hào)控制點(diǎn)為偏離中央子午線最遠(yuǎn)的點(diǎn))，計(jì)算結(jié)果如表3所示(橢球膨脹法展示第一種參數(shù)下的結(jié)果)。

表3　不同方法計(jì)算得到的大地坐標(biāo)

計(jì)算得到1、2、3號(hào)控制點(diǎn)和全部控制點(diǎn)處平均的微分長(zhǎng)度投影變形如表4所示。

表4　3種方法每千米邊長(zhǎng)變形對(duì)比　cm/km

數(shù)據(jù)分析顯示：①3種橢球變換法都對(duì)長(zhǎng)度投影變形進(jìn)行了很好的控制，滿足在整個(gè)市級(jí)區(qū)域2.5 cm/km邊長(zhǎng)變形要求。橢球平移法變形較為平均，且最大變形比另外兩種方法小。②在程序設(shè)計(jì)過(guò)程中因橢球平移法變換后橢球形狀參數(shù)不發(fā)生改變，大地坐標(biāo)投影成高斯平面坐標(biāo)可以采用現(xiàn)有電算公式或軟件，復(fù)雜性大為降低。③橢球變換法與常規(guī)方法相比，在滿足城市測(cè)量2.5 cm/km的變形要求下，其控制面積達(dá)到了1萬(wàn)km2，大大拓展了獨(dú)立坐標(biāo)系的使用范圍。

4結(jié)論

高斯投影變形是高斯投影的關(guān)注熱點(diǎn)，尤其在大比例尺地形圖應(yīng)用中，由于精度要求較高，采用原有橢球參數(shù)進(jìn)行投影就達(dá)不到實(shí)際工程的高精度要求。

1)常規(guī)方法控制投影變形控制的面積較小，計(jì)算復(fù)雜，且不具有理論嚴(yán)密性。橢球變換法建立獨(dú)立坐標(biāo)系控制面積大為增加，計(jì)算簡(jiǎn)單，具有理論嚴(yán)密性。

2)根據(jù)《建立相對(duì)獨(dú)立的平面坐標(biāo)系統(tǒng)管理辦法》的規(guī)定：為避免重復(fù)建設(shè)，一個(gè)城市只能建立一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的平面坐標(biāo)系統(tǒng)。因此對(duì)于基準(zhǔn)經(jīng)緯度和投影面的選擇顯得尤為重要。對(duì)基準(zhǔn)的確定可以采用平均的方法，利用GPS技術(shù)快速地獲取項(xiàng)目區(qū)域均勻分布的多個(gè)控制點(diǎn)，加以平均來(lái)獲得基準(zhǔn)參數(shù)，也可以根據(jù)已有資料來(lái)確定。計(jì)算得到新的橢球參數(shù)，再把新的控制點(diǎn)大地坐標(biāo)投影到平面坐標(biāo)應(yīng)使用橢球變換的中央子午線，才能更好地控制投影變形。

3)在算法設(shè)計(jì)正對(duì)3種橢球變換的方法進(jìn)行了程序設(shè)計(jì)。經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析橢球平移法對(duì)投影變形的控制效果最好，也在算法上最簡(jiǎn)單。特別是進(jìn)行高斯投影時(shí)，無(wú)需改變橢球參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了快速計(jì)算。

4)根據(jù)以上分析建議使用橢球變換法中的橢球平移法來(lái)建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

摘要：在分析高斯投影變形的基礎(chǔ)上，針對(duì)工程測(cè)量中的投影變形精度要求，闡述了3種橢球變換法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的方法，給出具體的計(jì)算公式和參數(shù)選取原則。對(duì)3種橢球變換法進(jìn)行軟件設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)化計(jì)算的工作量。并詳細(xì)介紹如何求解這些參數(shù)和控制點(diǎn)坐標(biāo)值，結(jié)合實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到不同方法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。

關(guān)鍵詞：高斯投影；橢球變換；橢球大地測(cè)量；獨(dú)立坐標(biāo)系

Deformation of local independent coordinate established with ellipsoid transform method YIN Hui1,LI Xiaoxiang1,GAN Zheyuan2

(1.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China;2.High Voltage Department,China Electric Power Research Institute,Wuhan 430074,China)

Abstract：Based on the deformation of Gauss-Kruger projection and the requirement of projection deformation,this paper presents three different ellipsoid-transform metods to establish the independent coordinate system,specific formula and parameter selection principles.A new software is designed to avoid the shortages of current program and the calculation has been simplified.The details to solve these parameters and control point coordinates value date are analyzed with examples,and some meaningful conclusions based on different methods are drawn to show the strengths and weaknesses as well as the scope of local independent coordinate system.

Key words：Gauss-Kruger projection;ellipsoid transform;geodetic ellipsoid;independent coordinate system

作者簡(jiǎn)介：尹暉(1962-)，女，教授，博士.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51077105)；國(guó)家電網(wǎng)公司科技攻關(guān)團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目(SG11013)；大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(SKLGED2013-3-6-E)

收稿日期：2014-12-01

中圖分類號(hào)：P226+.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)02-0001-05