橢球變換法建立地方獨立坐標系的變形研究

尹　暉,李小祥,甘喆淵

(1.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079;2.中國電力科學研究院高壓研究所,湖北 武漢 430074)

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橢球變換法建立地方獨立坐標系的變形研究

尹暉1,李小祥1,甘喆淵2

(1.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079;2.中國電力科學研究院高壓研究所,湖北 武漢 430074)

隨著我國城市基礎設施建設的迅速發展，對大比例地圖測繪的精度要求越來越高。而采用已有橢球參數來進行高斯平面投影卻不能滿足具體項目的高精度要求，必須使用新的橢球參數來建立地方獨立坐標系統。一般的做法是平移中央子午線和改變投影高程面來滿足城市測量中要求邊長變形小于2.5 cm/km的限值。過去大部分的研究主要集中在從理論上探討如何改變橢球參數來建立獨立坐標系，缺少應用實際算例對橢球參數選擇的對比和適用范圍分析。本文針對3種不同方法：橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法進行實例分析，選擇不同橢球參數進行計算得到的新坐標系統，并進行變形分析，最后給出不同方法的優缺點及適用范圍，為不同工程實踐提供適宜的參考方案。

1高斯投影變形分析

由于地球是一個近似的大地橢球體，在地圖投影的過程中就不可避免地產生投影變形。投影變形是指將橢球面上的元素(距離、角度、圖形)投影到平面上產生的長度、角度和面積的變形。高斯投影是正形投影，角度不產生變形[1]，投影后的中央子午線是一條沒有變形的直線。在中央子午線附近區域變形很小，但自中央子午線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大處在投影帶內赤道的兩端[2]。

通常用高斯投影長度比m來表示高斯投影平面上的微分長度與地球橢球面上相應長度之比。用m-1表示投影變形的變形量大小。

設高斯平面上的某點K，用其大地坐標(B,L)和平面坐標(x,y)來表示的高斯投影長度比的計算公式[1]分別為式(1)和式(2)。

(1)

(2)

其中：u2=e′2cos2B，B,L為K點的經緯度，e′為橢球體的第二偏心率，y為K點的橫坐標，R為該點處橢球的平均曲率半徑，l為K點的經度差，l=L-L0，L0為選擇的中央子午線經度。根據參考文獻[3]可知，在l≤3.5°時，高斯投影的長度比精度優于1×10-7。表1給出了不同經差l和緯度B下的投影變形量的數值。

表1　不同經差l和緯度B的變形量　mm/km

從表1計算的投影變形量結果可見：由于我國地理位置位于緯度3°51′N至53°33′N的區域，在采用3°分帶，最大經差1°30′的情況下，靠近投影帶邊緣的變形達到了200~350 mm/km，這種投影產生的長度變形遠大于目前城市測量中要求長度變形小于2.5 cm/km的限值規定；從式(2)計算可以得到在橫坐標y大于45 km之后，長度變形將超過1/40 000，大于工程測量中所要求的小于2.5 cm/km的長度變形誤差，需要對橢球參數和投影參數進行控制。

2橢球變換法建立地方獨立坐標系

2.1建立地方獨立坐標系的常規方法

建立地方獨立坐標系的目的就是為了控制長度變形，且保持角度不發生改變。即實際地面測得的距離轉換到平面坐標系中的兩者距離之差要滿足實際工程的精度要求。

把地面距離觀測值歸算到橢球面需要歸算方向(方位角)改正和距離(長度)改正。由于地面測量距離的觀測值是兩控制點之間的直線長度，空間直線的長度與點的鉛垂線沒有關系，故可以直接沿端點的法線歸算致橢球面上，產生的變形為

(3)

要求投影的長度變形小于等于2.5cm/km，在常規方法中只控制投影參數：改變投影面的中央子午線；改變投影面大地高；同時改變投影面的中央子午線與投影面大地高。距離控制時往往并未控制投影方向的距離改化，引起角度畸變，理論上不夠嚴密。

對于改變投影面的中央子午線和大地高進行高斯3°帶投影仍然變形超限的項目測區(如長距離道路建設、管道建設、城市級區域工程建設等)，就無法采用這種方法，需要采用橢球變換的方法建立地方獨立坐標系。

2.2幾種常見的橢球變換方法

2.2.1橢球膨脹法

橢球膨脹法的基本思想是保持橢球中心和橢球定向在膨脹前后不發生變動，對橢球進行縮放，縮放后的橢球面與獨立坐標系所選的平面相切[4-5]。新橢球的長半軸會發生改變，橢球原點位置不發生改變(見圖1)。

圖1　橢球膨脹法變換示意圖

在實際的工程使用中一般改變長半軸有3種方法，產生3種不同的結果，但都是改變橢球長半軸a而不改變橢球第一偏心率e。橢球參數變化有如下3種：

1)新橢球的長半軸增加的量為項目區域現選擇的投影面大地高H。

(4)

2)新橢球的長半軸增加的量為原投影面沿法線方向膨脹到現選擇的投影面的增加量。

(5)

3)新橢球的長半軸增加的量為現選擇的投影面的平均曲率半徑。

(6)

式中：H0為現選擇的投影面的大地高，e為橢球第一偏心率(保持不變)，B0為目標區域基準緯度，L0為目標區域基準經度。

采用橢球膨脹法得到的控制點大地坐標換算到獨立坐標系的計算公式為

(7)

式中：

(8)

式中：dBx,dLx,dHx為待定控制點的大地坐標變化量;Nx為待定點在原橢球參數下的子午圈曲率半徑;Mx為待定點在原橢球參數下的卯酉圈曲率半徑;Lx,Bx,Hx為待定控制點在原坐標系下的大地坐標。

經過橢球膨脹法的變換，待定控制點經度L不發生改變，而緯度B和大地高H發生改變。

2.2.2橢球平移法

相對于橢球膨脹法改變橢球長半軸，橢球平移法是通過移動橢球中心位置來達到效果的。其基本思想是將原橢球沿著項目區域獨立坐標系的基準點所在的法線方向進行平移，使得移動后橢球面平移到現選擇的投影面(見圖2)。橢球的其余參數不發生改變da=0，de2=0。

圖2　橢球平移法變換示意圖

橢球參數變化相應的公式為

(9)

式中：(dX0，dY0，dZ0)表示橢球中心的變化量;B0,L0,M0,N0,H0定義同橢球膨脹法。

采用橢球平移法得到的控制點大地坐標換算到獨立坐標系的計算公式為

(10)

式中：dBx,dLx,dHx為待定控制點的大地坐標變化量;Mx,Nx,Hx,Lx,Bx,Hx定義同橢球膨脹法。

可見經過橢球平移法，點的經緯度和大地高都發生改變。

2.2.3橢球變形法

橢球變形的思想是保持橢球中心不發生改變，改變橢球的扁率α。具體做法是：先將橢球沿基準點的法線膨脹到所定義的參考面，變化扁率α,使得基準點處的法線方向與變換前后重合(見圖3)。

圖3　橢球變形法變換示意圖

這樣變換的結果是保證了基準點的經度和緯度不發生改變。橢球參數相應的公式為

(11)

式中：e′2為變換后的橢球第一偏心率的平方;N0為基準點在原橢球參數下的子午圈曲率半徑;da為橢球長半軸改變量;B0,N0,H0,a,e定義同橢球膨脹法。

采用橢球變形法得到的控制點大地坐標換算到獨立坐標系的計算公式為

(12)

式中：dBx,dLx,dHx為待定控制點的大地坐標變化量;Mx,Nx,Hx,Lx,Bx定義同橢球膨脹法;α為原橢球扁率;dα為橢球扁率變化量;α′為新橢球扁率。

橢球平移法的變換前后可以發現待定控制點的經度L不發生改變，而緯度B和大地高H發生改變。

2.3算法流程

首先，不管采用哪種橢球變換法，需要確定目標區域基準量：基準緯度B0、基準經度L0和現選擇的投影面大地高H0，B0、L0和H0可以采用項目區域已有資料中的基準點經緯度和目標投影面大地高來確定，也采用待定控制點經緯度和大地高平均值的方法計算得到。

其次是確定橢球變換參數：①橢球膨脹法是確定橢球長半軸的變化量da；②橢球平移法是確定橢球中心變化量(dX0，dY0，dZ0)；③橢球變形是確定橢球的長半軸的變化量da、新橢球偏心率e′和新橢球扁率α′。

最后是根據不同的橢球變換方法待定控制點的大地坐標改變量dBx,dLx,dHx，從而獲得新橢球下的控制點大地坐標，如需要再投影成高斯平面坐標。

HDS2003和TGO是GPS數據處理的常用軟件，功能強且應用面廣。但這兩種軟件只采用了橢球膨脹法來確定橢球變換參數[6]，缺乏3種方法的效果對比。本文基于C#重新設計了建立地方獨立坐標系計算軟件，如圖4所示。

圖4　橢球變換法建立獨立坐標系軟件界面

3數據分析

測區為南方某市級區域，面積約1萬km2，平均緯度23°30′，平均經度114°30′。現有WGS-84坐標系起算點68個。橢球變換法建立地方獨立坐標系可以采用平均經緯度和大地高作為基準量，也可以采用控制點的平均經緯度和大地高作為基準量[7]。在軟件設計中既設計了以區域平均經緯度和大地高作為基準量也設計了使用控制點的平均經緯度和大地高作為基準量進行計算。GPS控制點一般在山頂或者樓頂，其大地高比項目區域平均大地高偏高，故采用區域平均經緯度和大地高作為基準量，來進行數據分析[8]。

根據不同橢球變換法計算得到的橢球參數成果如表2所示。

表2　不同方法橢球參數　m

限于篇幅選擇其中3個控制點(其中3號控制點為偏離中央子午線最遠的點)，計算結果如表3所示(橢球膨脹法展示第一種參數下的結果)。

表3　不同方法計算得到的大地坐標

計算得到1、2、3號控制點和全部控制點處平均的微分長度投影變形如表4所示。

表4　3種方法每千米邊長變形對比　cm/km

數據分析顯示：①3種橢球變換法都對長度投影變形進行了很好的控制，滿足在整個市級區域2.5 cm/km邊長變形要求。橢球平移法變形較為平均，且最大變形比另外兩種方法小。②在程序設計過程中因橢球平移法變換后橢球形狀參數不發生改變，大地坐標投影成高斯平面坐標可以采用現有電算公式或軟件，復雜性大為降低。③橢球變換法與常規方法相比，在滿足城市測量2.5 cm/km的變形要求下，其控制面積達到了1萬km2，大大拓展了獨立坐標系的使用范圍。

4結論

高斯投影變形是高斯投影的關注熱點，尤其在大比例尺地形圖應用中，由于精度要求較高，采用原有橢球參數進行投影就達不到實際工程的高精度要求。

1)常規方法控制投影變形控制的面積較小，計算復雜，且不具有理論嚴密性。橢球變換法建立獨立坐標系控制面積大為增加，計算簡單，具有理論嚴密性。

2)根據《建立相對獨立的平面坐標系統管理辦法》的規定：為避免重復建設，一個城市只能建立一個相對獨立的平面坐標系統。因此對于基準經緯度和投影面的選擇顯得尤為重要。對基準的確定可以采用平均的方法，利用GPS技術快速地獲取項目區域均勻分布的多個控制點，加以平均來獲得基準參數，也可以根據已有資料來確定。計算得到新的橢球參數，再把新的控制點大地坐標投影到平面坐標應使用橢球變換的中央子午線，才能更好地控制投影變形。

3)在算法設計正對3種橢球變換的方法進行了程序設計。經過數據分析橢球平移法對投影變形的控制效果最好，也在算法上最簡單。特別是進行高斯投影時，無需改變橢球參數，實現了快速計算。

4)根據以上分析建議使用橢球變換法中的橢球平移法來建立地方獨立坐標系。

參考文獻：

[1]熊介.橢球大地測量學[M].北京：解放軍出版社，1988.

[2]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢：武漢大學出版社，2010.

[3]趙俊生，劉雁春，王克平，等.關于高斯投影長度變形的探討[J].海洋測繪，2007，27(3)：9-11.

[4]李世安，劉經南，施闖.應用GPS建立區域獨立坐標系中橢球變換的研究[J].武漢大學學報(信息科學版)，2005，30(10)：888-891.

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[6]張宏偉，康世英.基于TGO的獨立坐標系與國家坐標系轉換方法[J].地礦測繪，2010(2)：12-15.

[7]邱云峰，倪津，楊映泉，等.基于CGCS2000大地坐標系基準的建立與應用[J].測繪工程，2013，22(4)：42-44.

[8]張顯云，杜宇，張俊.GPS技術建立地方獨立坐標系的方法分析[J].礦冶工程，2012(10)：23-25.

[責任編輯：劉文霞]

摘要：在分析高斯投影變形的基礎上，針對工程測量中的投影變形精度要求，闡述了3種橢球變換法建立地方獨立坐標系的方法，給出具體的計算公式和參數選取原則。對3種橢球變換法進行軟件設計，簡化計算的工作量。并詳細介紹如何求解這些參數和控制點坐標值，結合實例數據進行分析，得到不同方法建立地方獨立坐標系的優缺點和適用范圍。

關鍵詞：高斯投影；橢球變換；橢球大地測量；獨立坐標系

Deformation of local independent coordinate established with ellipsoid transform method YIN Hui1,LI Xiaoxiang1,GAN Zheyuan2

(1.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China;2.High Voltage Department,China Electric Power Research Institute,Wuhan 430074,China)

Abstract：Based on the deformation of Gauss-Kruger projection and the requirement of projection deformation,this paper presents three different ellipsoid-transform metods to establish the independent coordinate system,specific formula and parameter selection principles.A new software is designed to avoid the shortages of current program and the calculation has been simplified.The details to solve these parameters and control point coordinates value date are analyzed with examples,and some meaningful conclusions based on different methods are drawn to show the strengths and weaknesses as well as the scope of local independent coordinate system.

Key words：Gauss-Kruger projection;ellipsoid transform;geodetic ellipsoid;independent coordinate system

作者簡介：尹暉(1962-)，女，教授，博士.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51077105)；國家電網公司科技攻關團隊資助項目(SG11013)；大地測量與地球動力學國家重點實驗室開放基金資助項目(SKLGED2013-3-6-E)

收稿日期：2014-12-01

中圖分類號：P226+.3

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)02-0001-05