“三角形的面積” 教學紀實與評析

柴妍　曲欣

教學內容：人教版五年級上冊第六單元 “三角形的面積”。

教學目標：

1.理解三角形面積計算公式的推導過程，掌握三角形的面積公式，并能運用公式解決簡單的實際問題。

2.經歷動手操作、觀察、分析、歸納等數學活動，探索三角形的面積公式的推導方法，積累數學活動經驗，發展空間觀念。

3.在自主探究與合作交流中體驗學習數學知識、解決實際問題的樂趣，進一步體會轉化的數學思想。

教學重點：探索并掌握三角形面積的計算公式，并能正確運用公式解決問題。

教學難點：理解和完整表述三角形面積計算公式的推導過程，進一步體會轉化的數學思想。

教學準備：課件、學具袋。

教學過程：

師：同學們，課前我們先來玩一個猜謎游戲，好嗎？

師：草原上來了一群羊，猜一個水果名稱。

生：草莓。

師：你是怎么想的呢？

生：羊把草都吃沒了，所以是“草莓”。

師：這時候又來了一群狼，還猜一個水果名稱。

生：楊梅。

師：說說你又是怎么想的。

生：因為狼來了，把羊吃沒了，所以是“楊梅”。

師：說得真好。我發現猜第二個謎語時，舉手的同學明顯增多了，這是為什么呢？

生：因為在第一個謎語的基礎上，通過對比，我們就發現規律了。

師：說到問題的關鍵了，猜第一個謎語的經驗幫助我們很快地猜出了第二個謎語。同學們，在學習當中，我們也常常會利用以往的一些學習經驗探究新的知識，有這種體會嗎？相信學了這節課，你們會有更深刻的體會。

一、創設情境，引入探索

師：老師看到你們胸前都佩戴著鮮艷的紅領巾，真精神。你們想過做這樣的一條紅領巾需要多少面料嗎？要想知道需要多少面料，實際上是求什么？

生：求三角形的面積。（師隨即板書課題。）

師：在研究三角形面積之前，請大家先來回顧一下平行四邊形的面積是什么。我們是如何推導出來的呢？

生：我們是用轉化的方式進行推導的，利用剪一剪把它變成了長方形，求出長方形的面積就是平行四邊形的面積。

師：這位同學說得非常好，是通過轉化的方式進行推導的。我們也利用這樣的方法嘗試推導一下三角形的面積，好不好？

生：好。

師：我們已經學過了3種圖形的面積公式。（出示長方形、正方形、平行四邊形的面積公式。）你們能不能大膽猜一猜三角形的面積可能跟什么有關呢？

生1：可能和長方形的面積有關。

生2：可能和平行四邊形的面積有關。

生3：可能和它的底和高有關。

師：究竟是不是這樣呢？我們一起來探究一下。

師：老師在課前給大家準備了一些三角形的學具，拿出來看看。你們發現都有什么？

生：有兩個銳角三角形、兩個直角三角形、兩個鈍角三角形和1把剪刀。

師：好，接下來就請同學們以小組為單位，借助你手中的學具一起來探究三角形的面積公式。

二、猜想驗證，探究新知

師：哪個小組到前面來展示一下成果？

師：請同學這樣來匯報：我們小組用的是什么樣的三角形，是怎么做的。

小組匯報（一）：

生：我們小組用兩個銳角三角形拼成了一個平行四邊形。

師：老師打斷你一下，你用的是兩個什么樣的銳角三角形呀？

生：相同的。

師：都什么相同？

生：形狀、大小都相同。

師：怎么證明給大家看呢？（生將兩個三角形疊放在一起。）

師：通過他的操作，你們發現了什么？

生：這兩個三角形完全相同。

師：請你把它們貼在黑板上，你發現了什么？

生：我發現平行四邊形的底是三角形的底，平行四邊形的高也是三角形的高。

師：請把它的高畫出來。（生在學具上面畫高。）

師：現在利用你的手勢語言，再給大家講一講。

生：（邊指邊說。）平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高。

師：面積之間有什么關系呢？

生：兩個完全相同的三角形的面積就是平行四邊形的面積，1個三角形的面積就是平行四邊形的面積除以2，所以三角形的面積就是“底×高÷2”。

師：講得真清楚。我們一起來讀一讀。

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：同學們，我們為什么要除以2呀？誰能再來說一說。

生1：因為兩個三角形的面積才是平行四邊形的面積，所以求1個三角形的面積要除以2。

生2：不除以2求的是平行四邊形的面積。

師：同學們理解得很到位。剛剛這一組同學用的是兩個完全相同的銳角三角形拼成了平行四邊形，得到了三角形的面積公式。其他小組還有不同的方法嗎？說一說你們小組是怎么推導的。

小組匯報（二）：

生：我們小組利用的是兩個完全相同的直角三角形拼成了一個長方形。長方形的長就是三角形的底，長方形的寬就是三角形的高。因為長方形的面積=長×寬，兩個完全相同的直角三角形的面積是長方形的面積，所以三角形的面積=長×寬÷2，也就是底×高÷2。

師：思路真清晰，掌聲送給他。其他小組呢？還有不同方式嗎？

小組匯報（三）：

生：我們小組利用的是兩個完全相同的鈍角三角形拼成一個平行四邊形。我們發現平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高。從平行四邊形的面積=底×高，我們可以推導出三角形的面積=底×高÷2。因為平行四邊形是由2個完全相同的鈍角三角形拼成的。

師：你的數學語言可真嚴密，大家聽明白了嗎？同學們，我們一起來回顧一下這3組同學的推導過程。他們都是把兩個完全相同的三角形通過拼擺的方式轉化成了我們已經學過的平行四邊形和長方形，從而推導出公式來的。為什么要拼成平行四邊形或長方形？

生：因為平行四邊形、長方形的面積公式我們學過了，可以借助它們的面積來推導三角形的面積。

師：借助舊知來學習新知，是一種有效的數學學習方法。你們還有其他的推導方法嗎？（生展示“折疊”法。）

師：同學們，除了拼擺、折疊，還有其他的方法，想知道嗎？（出示微課： 割補法推導三角形的面積）

師：通過觀看微課，這里又介紹了一種推導方法，是什么呀？

生：割補法。

師：你們真了不起！那你們知道嗎，今天我們一起動手推導出來的三角形面積計算公式，其實在很早以前，我們的祖先就已經發現了，請看大屏幕。（課件出示。）我國古代數學家固然偉大，可是我們五年五班的同學同樣也很了不起，我們不也找到三角形面積的計算方法了嗎？來，把最熱烈的掌聲送給自己。

師：為了書寫更方便一些，三角形的公式我們可以用什么表示？誰來說一說？

生：字母。面積用S表示，底用a表示，高用h表示，所以 S=ah÷2。

師：好，現在我們得到了三角形面積的計算公式，課前這個問題能解決了嗎？

生：能。

師：你們需要老師給出什么條件呀？

生：底和高。

師：所以要想求三角形的面積，必須得知道——（生：底和高。）經過測量，我們知道了紅領巾底和高的數據。誰來說說，這條紅領巾底是多少，高是多少？請你試著做一做吧。（師指名學生上黑板做題。）

師：這里我們要注意，在計算一類圖形面積的時候，我們通常要把字母公式寫在前面，然后把數據代入到公式中。一定不要忘了我們算的是面積，單位要用面積單位。

三、靈活運用，解決問題

師：接下來請同學們用這種規范的書寫格式來算一算下面幾個三角形的面積吧。看哪些同學算得又對又快。

1.求下面圖形的面積。

（生進行匯報。師引導學生注意求三角形的面積必須除以2。）

2.選擇正確條件，口算求出三角形的面積。（單位：米。）

（師引導學生注意求三角形的面積時，底和高要一一對應。）

3.學校要在一塊三角形空地上種草坪，它的底是16m，高是8m。1m2草坪的價格是10元。種這片草坪需要多少錢？

4.下圖中哪個三角形的面積與涂顏色的三角形的面積相等？為什么？你能在圖中再畫出一個與涂顏色的三角形的面積相等的三角形嗎？試試看。

（師引導學生總結“同底等高的三角形面積相等”。）

四、總結全課，暢談收獲

師：這節課，我們通過拼擺、割補、折疊等方法，利用轉化的數學思想推導出了三角形面積的計算公式。這種轉化思想能幫助我們找到探究問題的方向，接下來我們還要學習梯形的面積以及組合圖形的面積，相信同學們今后能運用這一數學思想探究和解決更多的數學問題。

評析：

“三角形的面積”是在學生已經經歷了平行四邊形面積公式的推導過程后學習的。在本節課中，柴老師注重通過自主探索、合作交流、比較反思等活動，幫助學生理解三角形的面積公式的推導過程。本課在發展學生空間觀念的同時，注重滲透解決問題的思考策略和轉化的數學思想，培養了學生解決問題的能力。

一、創設現實情境，激發學習興趣

數學源于生活，又服務于生活，兩者相互依存。心理學研究表明，當學習內容和學生熟悉的生活實際越貼近，學生主動學習的積極性就越高，學生才能學得興趣盎然。柴老師根據這一特點，創設了“制作一條紅領巾需要多少面料”這樣現實的問題情境，激發了學生主動學習的內驅力，使學生積極投入到三角形面積的學習探索活動中。

二、借助已有經驗，探究面積公式

《數學課程標準（2011年版）》要求學生在數學學習活動中，不斷積累基本活動經驗。數學基本活動經驗的核心是思考的經驗，是思維的經驗。學生在學習平行四邊形面積時，積累了利用割補的方法，將平行四邊形轉化成長方形，從而推導出平行四邊形面積計算公式的思考經驗。在本節課教學中，教師大膽放手，為學生提供了自主探索、合作交流的時間和空間，學生借助已有的活動經驗，運用轉化的方法，探究推導三角形面積的計算公式。學生選擇將兩個完全一樣的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形自由地拼成平行四邊形，將三角形轉化成學過的平行四邊形或長方形。在動手操作實驗的過程中，教師引導學生發現了三角形的底、高、面積和平行四邊形的底、高、面積之間的關系，逐步推導出三角形的面積計算公式。學生在探究的過程中，體會到了思維的靈活和方法的多樣，使數學活動經驗得到了進一步提升。

三、點撥在關鍵處，加深認識理解

學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。教師的引導和點撥要在關鍵處，才能使學生的學習更加有效，對新知識的理解更加深入。柴老師在學生利用兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形或長方形推導出三角形面積公式后，適時點撥學生：“為什么要拼成平行四邊形或長方形？” “三角形的面積=底×高÷2，為什么要除以2？”這兩個問題是推導三角形面積公式思考的關鍵。教師通過這樣的點撥很好發揮了引導作用。學生通過回答，也加深了對三角形面積公式及推導過程的深入理解。

四、感受數學思想，滲透數學文化

數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，是數學學習的精髓。柴老師在教學中，緊緊抓住將三角形轉化成平行四邊形或長方形，再推導面積公式這個基本的思考方法，使學生感受到“轉化”和“推理”等數學思想在數學學習過程中的作用，體會到數學思想對數學學習的意義和價值。數學的文化是對學生進行思想教育的最好素材，當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、融入教學時，學生會進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。