淺談二次函數在高中階段的應用

鄒映濤

（四川省犍為縣羅城中學 四川樂山 614400）

淺談二次函數在高中階段的應用

鄒映濤

（四川省犍為縣羅城中學 四川樂山 614400）

二次函數作為高中數學的重要內容，深入掌握其基本概念和性質，才能在數學解題中加以靈活應用。通過二次函數的解題練習能培養學生的數學思維素養和解決數學問題的能力。

二次函數 解題應用 高中數學

二次函數作為高中數學的重要內容，只有在深入掌握其基本概念和它的基本性質后，才能在數學解題中加以靈活應用。［1］

一、真正理解函數實質，打牢函數解題基礎

二次函數的知識作為高中數學學習的重要內容，學好它對解答函數習題非常重要。要掌握二次函數的解題方法和運用技巧，就要真正理解函數的本質。特別是要掌握函數的定義域和值域這兩個非常重要的概念及其內涵。只有在理解了定義域和值域概念的基礎上，才能更好地運用好二次函數解答有關習題。二次函數其實質可以說是集合B中的元素y與集合A的元素x按照ax2+bx+c法則進行對應，又可理解為：定義域中的元素x在值域y中的象。只有對二次函數的概念的實質有了深入理解掌握后，才可以進行求解函數習題。

例一：已知 ?（x）= 9x2+3x+4，求函數?（x+1）的表達式。在進行該題目解答的時候，許多學生沒有真正理解函數的實質，只是簡單地把函數?（x+1）中的x用x+1來代替求函數表達式，這種解法不正確。正確思路方法應是把x+1整體看成是函數的自變量，以此來求函數表達式。 解題過程如下：?（x）= 9x2+3x+4= ［3（x+1）］2-15（x+1）+10=9x2-15x+10。［2］

例二：設?（x+1）=4x2－8x+3，求?（x）的函數表達式。進行求解該類型習題時，要根據函數定義，把4x2－8x+3看成是定義域中的元素x+1的象，從而再進一步求出元素x的象，此題的根本和關鍵是求函數的對應關系。可以用兩種方法來解答此類型習題：

（1）把?（x+1）=4x2－8x+3表達式換成x+1的表達式。解題過程如下：?（x+1） = 4x2－8x+3=4（x+1）2－16（x+1）+15，然后再用x來代換多項式中x+1后得到 ?（x）=4x2－16x+15。

（2）進行變量代換。此法應用范圍廣，對解答一般函數問題都可采用。解題過程如下：令t=x+1，可求出x=t-1，則?（t）=4（t-1）2－8（t-1）+3=4t2－16t+15，再把t換成x，求解出 函數表達式為：?（x）= 4x2－16x+15。

二、靈活運用函數性質，掌握函數解題方法

在二次函數的學習中，其單調性、圖像、最值是二次函數學習的重點內容，在高中階段學習二次函數，就要對其函數性質能夠進行靈活運用，才能掌握解題的方法。如，要判斷函數單調性，就要掌握二次函數在不同區間（－∞，－b/2a］及［－b/2a，+∞）上的性質。此外還要掌握二次函數的圖象性質，學生在全面掌握二次函數的性質后，才能對二次函數重點內容進行靈活地應用，從而全面掌握二次函數的知識。

例三：通過畫函數圖象來判斷函數單調性

（1）y=|2x2－3|，（2）y=4x2+6|x|－8，對于此種類型的習題，要讓學生必須知道這些分段函數與標準二次函數的差異性和相互聯系。要能把含有絕對值函數會用分段函數來表示，正確列出表達式后，就容易畫出函數圖象，從而能夠判斷函數單調性。

例四：設函數?（x）=2x2－4x－3在 ［t，t+1］ 區間上有最小值g（t）。求：g（t）函數表達式。解答此題方法如下：?（x）=2x2－4x－3=2（x－1）2－5，從函數表達式看出，在x=1時函數取最小值－5。由此可求出g（t）函數，它是一個分段函數，表達式如下：

當1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－5；

當t＞1時，g（t）=?（t）=2t2－4t－3；

當t＜0時，g（t）=?（t+1）=2t2－8t+3

從此題解答中看出，在一般情況下，二次函數在實數集合上，要么只有最小值，要么只有最大值，二者只能有一個。但當函數定義域發生變化時，函數取得最小值或最大的情況也就會隨之變化。

三、學好二次函數知識，培養數學思維素養

由于二次函數是普通高中數學學習的重要內容，它也是高中數學中最常用、最基本的冪函數。二次函數的知識中包含著豐富的內涵和外延，在學習二次函數的過程中，要經常總結解題過程中，它所反映出來的數學方法和數學思維。要全面靈活掌握二次函數的所有知識，并以二次函數的學習方法為基礎，來學習其它函數的知識，會取得事半功倍的效果。另外，還可以把函數、方程、不等式進行綜合運用，以此來進行解答靈活多變的二次函數的綜合數學題目，從解題的過程中可以來培養學生的綜合數學思維素養，尤其是從解答綜合性的函數習題中能培養學生運用數學知識和解決數學問題的能力。

例五：假設二次函數?（x）=ax2+bx+c（a≠0），在二次函數表達式中的系數a、b、c符合下列條件a+b+c=0及9a-3b+c=0。求證：該函數圖像的對稱軸是一條直線。解題過程分析如下：這個類型的習題是二次函數習題中典型的求證類的題目，在解答或求證該類型題目時，需要綜合應用二次函數的基本知識，而且還要應用其它知識來解答此類題目，在解題的過程 中要用到一些數學思維和方法，才能來解答此題。可以把已知條件a+b+c=0及9a-3b+c=0再代入到函數中，能夠求出a=-1/3，b=-2/3，將這兩個值代入到二次函數的對稱軸的表達式x=-b/2a可求出x=-1，即由此得出二次函數的對稱軸是一條x=-1的直線，此題得到證明。

總之，二次函數作為中學數學學習的重要內容，它的圖象和表達式、性質等體現出了數形結合的思想，學好它對培養學生的數學素養和分析數學問題和解決數學問題的能力非常重要。

［1］劉蒙.淺談二次函數在高中階段的應用［J］.中國校外教育.2011（13）

［2］唐蜜.淺談 二次函數在高中階段的應用［J］.科學咨詢（教育科研）.2010（02）