學好幾何從明晰幾何概念開始

范船良

幾何是數學中的一個分支，它將引領我們正確地識別圖形，進一步了解和掌握圖形的更多性質，更重要的是它將提升我們的空間想象能力和嚴密的邏輯推理能力，這是我們的數學素養中不可或缺的一面.幾何概念是指人們思維中對幾何圖形的認知（它包括定義、公式、結論等）.有些同學對幾何問題判斷不準，思維混亂，推斷說理無根無據，其根本原因是因為沒有學好幾何的基本概念.因此要學好幾何，一開始就要十分重視概念的學習.接下來，就以“平面圖形的認識（一）”中部分概念為例談談如何明晰幾何概念，以起到示范的作用.

一、 學習幾何概念首先要能正確地敘述相關的定義，此時要善于摳字眼、抓主干

1. 要摳字眼，抓關鍵詞.例如，互補角、鄰補角的關鍵詞是“補”，補成一個平角（只要補成180°即可），而其中的“鄰”則又有了對位置上的要求. 又如平角的關鍵詞是“角”，角是有頂點的.

再如平行的關鍵詞是“平”，平是指兩條直線在同一個平面內.

例1 下列說法中，正確的是（ ）.

A. 互補的兩個角若相等，則這兩個角都是直角

B. 直線是平角

C. 不相交的兩條直線互相平行

D. 和為180°的兩個角是鄰補角

【正解】A.

2. 句子的主干部分就是概念的要點，如“點到直線的距離”可以把句子劃分為：（①從直線外一點到這條直線的）（②垂線段的）長度叫作（③點到直線的）距離.句子的主干部分就是概念的要點，即“長度叫作距離”.再從長度與距離的定語可明確什么樣的（①、②）長度叫作什么樣的（③）距離.

例2 判斷：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，把這條垂線段叫作這點到這條直線的距離.（ ）.

【正解】?.

二、 學習幾何概念要能用字母和符號表示圖形的名稱、關系，反映出概念的本質

例如，在碰到角平分線時，寫出OC是∠AOB的平分線的式子：∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，從而更容易理解和掌握.

例3 下列說法中正確的是（ ）.

A. 在∠ABC一邊的延長線上取一點D

B. 延長直線a、b交于點C

C. 反向延長∠AOB的平分線

D. 已知線段AB=10 cm，在AB上取一點C，使AC=7 cm，CB=4 cm

【解析】∠ABC一邊本身就是射線，可向一方無限延伸，不需要延長.而D中的畫圖語句與兩線段的和不相符，不可操作.故選C.

另外，還要善于分類比較.把容易混淆的概念集中在一起研究，分清其區別和聯系，做到準確地理解概念的實質.例如，在表示線段、射線、直線時，一般應在字母的前面注明“線段”“射線”或“直線”.找線段時可找線段的兩個端點，找射線時應找一個端點及延伸方向，而任意兩點確定一條直線.

例4 圖1中共有_______條線段，_______條直線，能用字母表示的射線有_______條.

【解析】同一個圖形的符號表達形式可以不同，例如以點A、B為端點的線段可以表示為線段AB，也可以表示為線段BA，表示的是同一條線段，又如射線AB與射線AC算同一條射線，其他類同.正確填法是：3，1，4.

三、 學習幾何概念一定要能正確地畫出反映概念的圖形，能畫出不同形式、不同位置的圖形

例5 如圖2，已知△ABC，

（1） 量取線段BC的中點D，并連結AD；

（2） 過點A畫BC的垂線，垂足為E；

（3） 過E畫AB的平行線交AC于點F；

（4） 畫∠ABC的平分線，交AC于G.

【解析】“連結AD”是指畫線段AD；“垂線”在幾何概念中專指“垂直的直線”，而不是指垂線段或垂直的射線；其中的“角平分線”是專指射線，而不是其他線.這說明對概念的理解不能有任何的偏差.

例6 判斷：若AC=BC，則點C是線段AB的中點.（ ）.

【解析】題中的點C可以在線段AB上，也可以在線段AB外，故此判斷為“?”.

例7 平面內有兩個角∠AOB=50°，∠AOC=20°，OA為兩角的公共邊，則∠BOC為（ ）.

A. 30° B. 70°

C. 30°或70° D. 無法確定

【解析】根據題意可知要分兩種情況，一種是OC在∠AOB內部，另一種是OC在∠AOB外部.畫出圖形并結合圖形計算可得∠BOC等于70°或30°，故選C.

四、 學習幾何概念要能在復雜的圖形中正確地識別表示某個概念的那部分基本圖形，也能把幾個簡單的圖形組合成一個較復雜的圖形

例8 如圖3，能表示點到直線（或線段）的距離的線段有（ ）.

A. 2條 B. 3條 C. 4條 D. 5條

【解析】本題考查的是點到直線的距離的基本圖形，例如圖中有表示點C到線段AB距離的線段CA和點C到線段AD距離的線段CD，其他也可以這樣類似地去找基本圖形，本題答案：D.

五、 學習幾何概念要能運用概念進行簡單的判斷、推理和計算，要在運用中強化和鞏固概念，進而形成概念系統化

例9 在例8圖中∠C與∠DAB相等的理由是___________________.

【解析】在本章中，要學會用“因為……，所以……”的方式進行簡單推理，關鍵是弄清“因”與“果”的關系，逐步形成思維的邏輯性和條理性.例如，這兩個角沒有直接的關系，但都與∠B互余，因此填的理由應為：同角的余角相等.

例10 如圖4，已知直線AB與CD相交于點O，OE、OF分別是∠BOD、∠AOD的平分線.

（1） ∠DOE的補角有______________；

（2） 若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數；

（3） 判斷射線OE與OF之間有怎樣的位置關系？并說明理由.

【解析】本題考查余角與補角、角平分線的定義、角度的計算，熟記性質并準確識圖，找出圖中各角之間的關系是解題的關鍵.填（1）中的空（求補角而不是求鄰補角），必須概念清晰，才能有條理思考問題，而對于（2）、（3）則要掌握用符號來進行有條理的推理的格式.

答案：（1） ∠COE，∠AOE；（2） ∠AOE=149°，∠DOF=59°；（3） 互相垂直.

一位清華大學學生在學習經驗交流中就提及數學的學習是從概念的學習開始的，要更好地了解和掌握概念有一個辦法就是適量做一些與概念有關的判斷題和選擇、填空題，這會從各個不同的角度來辨析它.要學好幾何就讓我們從正確理解幾何概念開始吧.

（作者單位：江蘇省吳江區實驗初級中學）