例談數學中考中直尺、直角三角板放置的問題

鐘雁平

直尺、直角三角板這兩種學具是大家再熟悉不過的操作工具.以往的考場上，這些學具主要是用來測量和作圖的.在近幾年的中考試卷中，這些學具又呈現出不同的角色，它們成了一些中考數學試題的問題背景，操作工具演變成了探究載體.學具的融入讓“冰冷”的中考題透出一股靈氣，勾畫出一道道立意新穎、構思巧妙的數學模型，為同學們的思維搭建起操作平臺，使同學們的探究多了一份空間，較好地考查了同學們觀察、實驗、比較、聯想、類比、歸納的能力以及運動變化、分類討論思想等的綜合運用能力，因此受到了各地中考命題專家的青睞.現就近年來中考試題中選取一些有代表性的以三角板、直尺為背景材料設計的數學問題，結合“平面圖形的認識”進行分類評析，與同學們分享.

一、 由一塊直角三角板和直尺組成的問題

此類問題是將直角三角板與直尺疊放在一起，利用平角、直角三角板的內角度數的兩種情況：90°，45°，45°和90°，60°，30°，求邊線形成的角度.解這類題要利用好對頂角、鄰補角、余角等知識點.

例1 （2012·孝感）如圖1，某同學在課桌上隨意將一塊三角板的直角疊放在直尺上，求∠1+∠2的度數.

【解答】如圖1所示，

∵∠1和∠3互為對頂角，∴∠1=∠3，

又∵∠2和∠4互為對頂角，∴∠2=∠4，

∴∠1+∠2=∠3+∠4，

又∵∠A=90°，∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°.

【點評】本題主要考查對頂角的性質，解題的關鍵是把所求角與已知角轉化到同一個直角三角形中，利用三角板直角的特性，尋找角的等量關系.

例2 （2010·荊州）如圖2，一根直尺EF壓在三角板30°的角∠BAC上，與兩邊AC、AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是（ ）.

A. 150° B. 180°

C. 135° D. 不能確定

【解答】根據對頂角的性質可知，

∠CME=∠NMA，∠BNF=∠MNA，

所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA.

又因為∠MNA+∠NMA+∠A=180°，∠A=30°，

所以∠MNA+∠NMA=180°-30°=150°.

從而可知，∠CME+∠BNF=150°，故選A.

【點評】本題以同學們非常熟悉的三角板和直尺為背景，創設了既具有一定現實意義又貼近學習生活的問題情境，充分體現了數學與現實生活的聯系，能激發同學們將所學知識應用到現實中去.

例3 （2015·四川廣元，改編）一直角三角板與一直尺如圖3所示方式擺放，并且∠1比∠2大50°，求∠1與∠2的度數.

【解答】∵∠1比∠2大50°，

∴∠1=∠2+50°，

∵∠1與∠2互余，∴∠1+∠2=90°，

∴∠2+50°+∠2=90°，∴∠2=20°，

∴∠1=20°+50°=70°.

【點評】本題考查了補角和余角的概念，以及方程思想的運用.

二、 由一副直角三角板組成的問題

一副直角三角板是由兩種直角三角形（30°，60°， 90°和45°，45°，90°）組成.以它為媒介，充分利用這些角度和邊長之間的關系進行拼接，可以拼出許許多多、形形色色的數學題，挖掘很多的數學知識.解決這類中考試題，我們要認清這樣的一些事實：它的每個角的度數，邊與邊之間的數量關系，角與邊之間的關系.要充分利用這些隱含的條件，再結合其他的數學知識來解決問題.當然同學們在思考問題時，自然也會用手中的直角三角板實際操作，更能體現中考注重“做數學”的原則.

例4 （2014·漳州）如圖4，將一副直角三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，繞點O任意轉動其中一個三角尺，則與∠AOD始終相等的角是_______.

【解答】∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，

∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD，

∴∠AOD=∠BOC.

故答案為：∠BOC.

【點評】本題以同學們非常熟悉的一副直角三角板為背景，為大家提供動手實踐操作設計的空間.因為是一副直角三角板，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD，同角的余角相等，可知與∠AOD始終相等的角是∠BOC.本題主要考查了余角和補角，用到同角的余角相等.

例5 （2015·菏澤）將一副直角三角尺如圖5放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（ ）.

A. 140° B. 160°

C. 170° D. 150°

【解答】∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD=20°，

∴∠COA=90°-20°=70°，

∴∠BOC=90°+70°=160°.

故選：B.

【點評】在進行角度的有關計算時，一個角在必要時應將其拆成幾個角的和與差以及互余的關系，以便快速解決問題.

例6 （2015·黑龍江綏化）將一副三角尺按如圖方式進行擺放 ，∠1、∠2不一定互補的是（ ）.

【分析】如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角，據此分別判斷出每個選項中∠1+∠2的度數和是不是180°，即可判斷出它們是否一定互補.

【解答】如圖6，

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°.

∴∠1、∠2互補.

如圖7，

∵∠2+∠4=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1+∠3=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠1、∠2互補.

如圖8，

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠1、∠2互補.

如圖9，

∵∠1=90°，∠2=60°，

∴∠1+∠2=90°+60°=150°，

∴∠1、∠2不互補.故選：D.

【點評】此題主要考查了余角和補角的性質和應用，解答此題的關鍵是要明確：同角（等角）的補角相等，同角（等角）的余角相等，并能分別判斷出每個選項中的∠1+∠2的度數和是不是180°.

中學數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展.它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展.

直尺與一副三角板是大家學習生活當中經常使用的測量工具和作圖工具，當它們走進中考試題時，你們對它們有著異樣的親切感，這類題目巧妙地使直尺與三角板、三角板與三角板成為一對對默契搭檔，不斷地在中考中演繹出精彩，更好地激發你們學習數學的興趣，更讓你們體會到數學來源于現實生活，生活處處有數學.通過對這類試題的解決，能夠充分鍛煉你們的數學思維，使你們體驗到學習數學的快樂和成功感，有助于提升你們的數學思維品質.

（作者單位：江蘇省吳江區實驗中學）