重構教材　優化設計
——“函數的單調性與導數”教學設計探究

袁培培（新疆農業大學附屬中學）

重構教材優化設計
——“函數的單調性與導數”教學設計探究

袁培培
（新疆農業大學附屬中學）

對于函數單調性的研究在高中可分為兩個階段：第一個階段是在數學《必修1》中，用定義研究函數單調性；第二階段在《選修2-2》中，用導數研究函數的單調性。利用導數研究函數在高考中占有重要的一席之地，是高中數學教學中大家公認的重要章節，曾多次觀摩、聽評該課，并在參加講課比賽中因該課獲一等獎，故有一些認識和體會，在此與同仁們分享，共同探究。

函數教學；高中數學；教學設計

熟悉教材的老師都知道，任教A版必修教材的主編寄語中提到數學是自然的、數學是清楚的、數學是有用的，整套教材力求做到概念引入“自然”、邏輯敘述“清楚”、知識體系“有用”，如何結合學生實際利用好教材，最大限度地發揮教材的實用性，成為老師們教學研究中津津樂道的內容。

一、數學是自然的

人教A版教材中利用高臺跳水引出學習內容，讓學生觀察兩個圖象（一是高度隨時間變化的圖象，一是速度隨時間變化的圖象），發現函數的增減與導函數正負之間的聯系。意在借此體現數學在物理和生活中的應用。而現實教學中很少有老師選用這一素材，因為從實際生活中抽象出數學問題并加以研究加大了學生的認知難度，不利于新課的講授。多數教師會直接利用課本第二個環節引課：結合大量的函數實例，借助圖象（幾何直觀）讓學生觀察、歸納、得出結論。這樣的設計符合學生思維的最近發展區，降低了認知難度。但僅僅利用幾個學生已經耳熟能詳的函數就想體現導數的價值，大有簡單問題復雜化之嫌。

筆者認為好的引課首先應該是自然的、承上啟下的、符合學生認知規律的、能吸引學生注意力的。在必修一中學生已經知道了利用基本初等函數的圖象可以判斷函數的單調性，并在后續拓展中了解了利用“同增異減”可以判斷復合函數的單調性，對于其他函數的單調性又該如何判斷呢？有統一的方法嗎？筆者結合課本，精心設計三個表，基本覆蓋了前面所學的導數公式和運算法則，起到鞏固前知的作用。三個表的安排又各有深意，表1意在體現利用圖象判斷函數的單調性，表2意在利用單調函數的加減和復合函數求單調性，對于表3中的函數又該如何求單調性呢？提出問題，通過表格間的聯系層層遞進地引入新課，通過求前面三個表中各函數導函數大于0的解集，學生在動手實踐中親身體驗導函數的正負與原函數單調性間的關系，認識到導數作為研究函數單調性通法的意義所在。這樣的引課正如主編寄語中說的：“概念的形成實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味。”

二、數學是清楚的

“清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論。只要按照數學規則，按部就班地學，循序漸進地想，絕對可以學懂。”教材中例2利用大量的篇幅舉例如何利用導數求函數的單調性，甚至在第（3）（4）問中去除部分關鍵內容讓學生填空，力求清楚地表達嚴謹的解題邏輯格式。但是結合多年的教學經驗，筆者認為教材的安排還不夠合理、不夠清楚。問題不在解題過程，而在例題的選取。4個小例中有3個定義域為R，另一個給出了x的取值范圍，例題的講解中沒有涉及求定義域，缺少了這一環節，很容易讓學生忽略定義域對單調性的影響，而恰恰這是萬萬不可的。所以，在教學中整合教材，合理地選取例題是十分有必要的。

三、數學是有用的

教材第24頁有一個思考：“請同學們回顧一下函數單調性的定義，并思考某個區間上函數y=f（x）的平均變化率的幾何意義與其導數正負的關系。”多數老師在處理這一環節時選擇忽略，從得到定義后直接進入例題講解。筆者認為這樣做是不恰當的，編者提出這個問題不是空穴來風，定是有用的。課本設計結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與其導函數正負之間的關系，沒有進行嚴格的證明，因為嚴格的證明需要導數的很多基礎知識，遠遠超過本節的教學要求。但是不給證明不代表可以不問究竟，究竟為什么利用導數可以研究函數的單調性，如何解答學生心中的疑慮？這里的思考把導數的定義與函數的單調性定義聯系起來，從概念的角度表達兩者之間的內在聯系，相當于旁證。所以，對“思考”的探究就顯得十分必要了。

教材內容的重構既要依托于教材又要超越教材，靈活地、創造性地、個性化地對教材內容進行“裁剪”，對教學資源做出合理的選擇和優化，為學生一一呈現出具有系統性和完整性的數學課，是教育一線者的不懈追求。

［1］黃超.以審慎和發展的眼光優化教材［J］.中學數學教學參考；上旬，2013（7）：24-26.

［2］楊育池.多一點精心預設，融一份動態生成［J］.數學通報，2009（1）：34-41.

［3］彭上觀，羅碎海.課程標準視角下高中教材的新變化：以高一數學《函數》一章為例［J］.數學通報，2004（9）.

［4］吳蘭珍.高中數學函數教學滲透數學思想方法淺探［J］.廣西教育學院學報，2004（5）.

·編輯王團蘭