基于勒讓德多項式各項系數擬合的柱面鏡面形檢測研究

楊醒++王占山

摘要：

超薄玻璃熱成形技術是目前國際上研制X射線掠入射天文成像望遠鏡的重要技術之一，超薄玻璃圓柱面鏡片面形的高精度檢測是實現超薄玻璃熱成形的關鍵。圍繞我國高能X射線掠入射天文望遠鏡研制對高面形精度的超薄玻璃柱面鏡的需求，采用勒讓德多項式對柱面鏡面形的測量數據進行擬合，利用勒讓德多項式各項系數與特定的幾何像差的對應性，通過擬合勒讓德多項式各項的系數，獲得了待測柱面鏡面形的特定幾何像差，為全面評價柱面鏡面形質量提供了參考。

關鍵詞：

柱面鏡； 勒讓德多項式； 最小二乘法； 像差

中圖分類號： TN 253 文獻標志碼： A doi： 10.3969/j.issn.10055630.2016.01.003

Figure error test of the cylindrical lens surface based on the fitting of

coefficients of Legendre polynomials

YANG Xing， WANG Zhanshan

（Key Laboratory of Advanced Microstructured Materials of MOE，School of

Physics Science and Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China）

Abstract：

The nominally cylindrical glass segments are forced to a conical form during the assembly process of an Xray imaging telescope as the ultrathin glass thermal slumping technique being fully successful. The surface should be measured in order to make highquality glass with cylindrical surface. Each coefficient of the Legendre polynomials corresponds to the specific geometrical aberration. In this paper， figure error of cylindrical lens is obtained based on the fitting coefficients of Legendre polynomials， which provides an exact method for cylindrical lens surface measurement.

Keywords： cylindrical lens； Legendre polynomials； least square method； aberrations

引 言

X射線天文觀測是人類認識和了解宇宙，尤其是宇宙起源、超新星遺跡、黑體的重要手段。自20世紀60年代，人們開始運用WolterI型望遠鏡對各種天體進行觀測。WolterI型望遠鏡是由共焦的掠入射拋物面和雙曲面反射鏡組成，為了獲得大的有效面積，采用了嵌套結構。從1999年起，先后發展了基于常規光學方法制作鏡片的Chandra望遠鏡[1]，基于Ni電鍍方法制作鏡片的Newton望遠鏡[2]，基于鋁薄片成型分離方法制作鏡片的ASCA[3]和Suzaku[4]X射線望遠鏡。鋁薄片鏡片的使用雖然大大降低了望遠鏡的造價，但是其自身性質限制了這種方法制作望遠鏡分辨率的進一步提升。隨著技術的發展，人們可以采用超薄玻璃制作望遠鏡的反射鏡片替代原有的鋁片。2012年，美國發射的NuSTAR衛星[5]是采用超薄玻璃鏡片制作望遠鏡的典范，其分辨率是58″。這種方法制作的反射鏡片是先制作出圓柱面形狀，在裝配時將其壓成圓錐面以達到設計要求。因此，在進行這種望遠鏡研制過程中，如何精確測量圓柱面面形是改進工藝、提高鏡片制作質量的關鍵。

圓柱面面形檢測方法有很多，常用的有三坐標測量法和采用計算全息圖（CGH）的干涉測量法。一般的三坐標測量是用觸針式探頭接觸待測圓柱面表面，通過探頭位置讀出并記錄待測點的三坐標值，得到被測面的面形。當對厚度只有0.21 mm的超薄玻璃鏡片測量時，這種方法會引入較大誤差，不能滿足面形測量精度的要求[6]。采用計算全息圖的方法是用計算全息圖產生柱面波，該柱波面與待測圓柱面表面反射的柱面波進行干涉，根據干涉結果計算獲得待測圓柱面面形的偏差。

在分析干涉測量數據時，一般干涉儀會給出面形的均方根值（RMS）、最大差別值（PV）和等高線圖等評價指標，更好的結果是用澤尼克（Zernike）多項式系數給出的面形測試結果，但其不適用于圓柱面的檢測。在非圓域光學面形測量中，Paul研究了勒讓德多項式應用于近柱面面形誤差的表征，給出了一組包含勒讓德多項式的方程，并成功地評價了掠入射光學系統的波前誤差和成像誤差[7]。Gao等將勒讓德多項式用于方形域面形的重建，獲得了相關的面形數據[8]。本文基于勒讓德多項式的特點研究了其用于圓柱面面形檢測，給出了類似于澤尼克多項式系數的圓柱面面形評價結果。

根據式（9），對十塊不同柱面鏡面形進行了擬合，求得的RMS和PV值如表2所示，其中柱面鏡的面形測量數據采用干涉檢測的計算全息方法獲得[16]。

從表2可知，鏡片3的面形RMS值和PV值最小，說明在十塊鏡片中它的面形質量最好。但僅從RMS和PV這兩個評價指標來判定面形的優劣還不夠明確。比如，鏡片4的RMS值小于鏡片5，但是它的PV值卻大于鏡片5。為了更全面評價柱面鏡的面形精度，我們根據擬合出的勒讓德多項式各項的系數所對應的像差給出另一種評價面形質量的方法。表3給出了鏡片4和鏡片5的勒讓德多項式各項的擬合系數。

從表3可以得到如下的結論：

（1） a0=0，說明兩塊鏡片的面形中都不存在平移像差；

（2） 勒讓德多項式各項擬合系數除第6項外，鏡片5對應系數的絕對值均大于鏡片4，說明傾斜、離焦以及y軸初級彗差對鏡片5面形的影響大于鏡片4；

（3） 勒讓德多項式各項擬合系數的第6項，鏡片4對應系數的絕對值大于鏡片5，說明x軸初級彗差在鏡片4面形中的影響較大；

（4） 綜上，鏡片4的整體面形優于鏡片5。

鏡片4和鏡片5的剩余表面誤差圖如圖2和圖3所示。

圖2 鏡片4剩余表面誤差

Fig.2 Residual error of the surface of lens four

圖3 鏡片5剩余表面誤差

Fig.3 Residual error of the surface of lens five

3 結 論

本文利用勒讓德多項式擬合了被測的十塊柱面鏡面形測量結果，給出了勒讓德多項式與初級像差之間的關系，獲得了勒讓德多項式系數的擬合值，確立了勒讓德多項式擬合系數與初級像差在柱面鏡面形測量中的影響信息。該方法比常用的評價指標RMS值和PV值更能準確地判定面形質量的優劣。

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（編輯：劉鐵英）