聊定理 道聯系 賞應用

何曉勤

向量共線定理和平面向量基本定理作為平面向量中的兩大重要定理，在解題中有著廣泛的應用，那它們在內容和表達形式上有著怎樣的區別與聯系呢？聊一聊兩個定理的理解

老師：向量共線定理的內容是什么？

小明：對于向量a（a≠0）和b，如果有一個實數λ，使b=λa（a≠0），那么b與a（a≠0）是共線向量；反之，b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使b=λa。

老師：該定理有何作用？

小強：該定理的前半部分給出了判斷兩個向量共線的方法，而后半部分揭示了兩個共線向量之間的關系。

老師：該定理中a≠0能否去掉，為什么？

小李：不能去掉。因為當b=a=0時，雖然b與a是共線向量，且實數λ存在，但λ可以是任意實數；當b≠0而a=0時，雖然有b與a共線，卻不存在實數λ使得b=λa。

老師：小李同學解釋得非常好，也就是說向量共線定理不包含向量a=0時的共線問題，應用時要特別注意。向量共線定理研究的是兩個共線向量之間的關系，倘若兩個向量不共線，用其中一個向量無法表示另一個向量，這就產生了平面向量基本定理，大家說說看。

小張：若非零向量e₁，e₂是兩個不共線向量，那么對于這個平面內的任意一個向量a，有且只有一對實數λ₁和λ₂，使得a=λ₁e₁+λ₂e₂。其中不共線的向量叫做這一平面內所有向量的一組基底。

老師：平面向量基本定理告訴我們平面內的任意一個向量都可以沿著兩個不共線的方向分解成兩個向量的和的形式，且分解的形式是唯一的。我們該如何理解平面向量的基底？

小王：平面向量的基底不唯一，但作為基底的兩個向量一定是不共線的，顯然零向量不能作為基底。但是一旦基底選定，則該平面內的任意一個向量的分解形式是唯一的。

老師：如何理解向量分解的唯一性？

小宋：也就是說，設e₁，e₂是平面向量的一組基底，若a=λ₁e₁+λ₂e₂且a=μ₁e₁+μ₂e₂，則λ₁=μ₁，λ₂=μ₂。

老師：小宋同學解釋得很到位！在理解了兩個定理之后，我們比較一下，向量共線定理和平面向量的基本定理有什么聯系和區別？

道一道兩個定理的聯系

小麗：由向量共線定理可知，任意一個向量都可以用一個與它共線的非零向量線性表示，且這種表示形式是唯一的；而平面向量的基本定理是向量共線定理的推廣。這兩個定理都可以看成在一定范圍內的向量分解的“唯一性”定理。

小剛：它們的表示形式不同，向量共線定理是指與a共線的向量都可以表示為λa的形式；平面向量基本定理是指利用兩個不共線向量e₁，e₂與實數λ₁，λ₂的積的和表示平面內的任意向量。

小萌：特別地，在平面向量基本定理中，若λ₁=0或λ₂=0時，就變成了向量共線定理，因此也可說，向量共線定理是一維的平面向量基本定理。

老師：上面幾位同學說得非常好！從向量共線定理到平面向量的基本定理，是向量的分解從一維到二維的延伸。數學因應用而美麗，接下來就讓我們領略這兩個定理應用的魅力吧！

賞一賞 兩個定理的應用

評注

基底主要具備兩個特征：一是不共線；二是不唯一。然而基底一旦確定，則該平面內的任意一個向量的分解方式也就唯一的確定了。