張志勇
《梁祝》優美動聽的旋律,《十面埋伏》的錚錚琵琶聲,貝多芬令人激動的交響曲,田野里昆蟲啁啾的鳴叫……當你沉浸在這些美妙的音樂聲中時,是否曾想過它們其實與數學有著密切的聯系?
“多情外化”的音樂與“嚴謹抽象”的數學間確實存在剪不斷、理還亂的緣分。姑且不提音高的數學本質,也不論曲式結構中的數學規律,只從樂曲中最基本的簡譜音符“1,2,3,4,5,6,7”是人們應用或提及最為頻繁的數字便可見一斑。事實上,樂音之所以和諧、悅耳、動聽,是因為它有著周期性的振動頻率(如國際標準音a1的振動頻率是每秒鐘440次,e2是每秒鐘660次,a2是每秒鐘880次);一組和聲(不同音高的樂音的組合)之所以能給聽眾以悅耳的體驗,是因為組成這組和聲的音頻間有協和的比例關系(能表示為簡單整數比)。德國著名數學家萊布尼茲說:“音樂,就它的基礎來說,是數學的;就它的出現來說,是直覺的。”而愛因斯坦說得更為風趣:“我們這個世界可以由音樂的音符組成,也可以由數學公式組成。”
物理學知識告訴我們,聲音是由振動產生的,樂音也不例外,而三角函數正是對振動波的數學描述。這樣,音樂與數學之間的不可思議的天然聯系,恰可以三角函數知識來加以闡釋。
我們知道,樂音有響度、音調、音色之分。如果用正弦函數y=Asin(ωt+φ)來表示聲音的話,那么響度反映聲音的強弱,由振動的振幅A決定,振幅越大聲音越強響度也就越大;音調反映聲音的高低,由振動的頻率f=2π*/ω決定,頻率越高振動越快音調也就越高;音色是什么