向量個量知多少？

潘梅耘

向量的大小和方向的二重性決定了向量的個性特征，有些同學極易將向量概念、向量關系、向量運算、向量性質與數量相關內容混淆起來，不經意間就會被向量的個性所傷。為此本文就和同學們一起走進向量的“靈魂深處”，深刻洞悉向量的個性，以期讓同學們準確而又深刻地把握平面向量的基本概念、基本運算和基本性質。

一、向量概念中的“精靈”——零向量

“模為0”就已使零向量沾染上了不少“仙味”，“方向任意”更使零向量平添了幾分“靈氣”。如（1）任意向量加上（或減去）零向量結果仍為該向量；零向量減去一個非零向量結果為該向量的相反向量；任意實數與零向量的乘積為零向量。（2）夾角是對非零向量而言的，從而高中階段向量垂直也是對非零向量而言的。（3）向量平行（共線）、實數與向量的積以及向量數量積都對零向量單獨定義，規定零向量與任意向量平行（共線），由此應注意到“同向”和“反向”這樣的術語是僅對非零向量而言，規定任意實數與零向量乘積為0；規定0與任意向量的乘積為0。規定零向量與任意向量的數量積為0。

例1 下列各命題中正確的序號是____

①零向量沒有方向；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③若a∥b，則a=λb（λ∈R）；④若a=0，則對任意向量b，有a·b=0；⑤若λa=λb（λ≠0）。則a=b。

答案

⑤。

錯因分析 ①錯。規定零向量的方向是任意的。②錯。規定零向量與任何向量平行，當b=0時，a∥c不一定成立。③錯。基底相當于向量的單位（不同于單位向量），是用來刻畫與它共線的向量的，零向量不可為基底，當a≠0，b=0時a≠λb（λ∈R）。④錯。規定零向量與任何向量的數量積為0，0與0不能混淆。

二、向量關系中的“飛俠”——平行（共線）

用動態的觀點認識向量平行（共線）關系，就可以體會向量“飛俠”的意境：

（1）中學數學中的向量是指自由向量，所以相等向量可視為同一向量。

（2）有向線段僅是非零向量某個位置的幾何表示，非零向量并不是有向線段。非零向量的平行和共線是沒有區別的。

（3）零向量作為一個特殊個體，規定它與任何向量平行（共線），作為平行（共線）定義的補充，不提及零向量的方向。

（4）平面向量在平移前后所對應的坐標是不變的。

答案 ④。

錯因分析 根據向量平移坐標是不變的，說明①的正確答案是（3，4）；②錯因是將向量的模與實數絕對值性質相混淆；③兩個向量共線與兩個向量所在的兩條直線共線是兩個不同的概念。

錯因分析 錯誤多為向量運算與實數運算相混淆所致。

向量鮮明的個性導致向量概念與運算性質與實數不同，而有些性質又類似，給人一種似曾相識、霧里看花的感覺，因此同學們一定要注意向量易錯題的收集和錯因分析。