向量個(gè)量知多少？

潘梅耘

向量的大小和方向的二重性決定了向量的個(gè)性特征，有些同學(xué)極易將向量概念、向量關(guān)系、向量運(yùn)算、向量性質(zhì)與數(shù)量相關(guān)內(nèi)容混淆起來，不經(jīng)意間就會被向量的個(gè)性所傷。為此本文就和同學(xué)們一起走進(jìn)向量的“靈魂深處”，深刻洞悉向量的個(gè)性，以期讓同學(xué)們準(zhǔn)確而又深刻地把握平面向量的基本概念、基本運(yùn)算和基本性質(zhì)。

一、向量概念中的“精靈”——零向量

“模為0”就已使零向量沾染上了不少“仙味”，“方向任意”更使零向量平添了幾分“靈氣”。如（1）任意向量加上（或減去）零向量結(jié)果仍為該向量；零向量減去一個(gè)非零向量結(jié)果為該向量的相反向量；任意實(shí)數(shù)與零向量的乘積為零向量。（2）夾角是對非零向量而言的，從而高中階段向量垂直也是對非零向量而言的。（3）向量平行（共線）、實(shí)數(shù)與向量的積以及向量數(shù)量積都對零向量單獨(dú)定義，規(guī)定零向量與任意向量平行（共線），由此應(yīng)注意到“同向”和“反向”這樣的術(shù)語是僅對非零向量而言，規(guī)定任意實(shí)數(shù)與零向量乘積為0；規(guī)定0與任意向量的乘積為0。規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

例1 下列各命題中正確的序號是____

①零向量沒有方向；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③若a∥b，則a=λb（λ∈R）；④若a=0，則對任意向量b，有a·b=0；⑤若λa=λb（λ≠0）。則a=b。

答案

⑤。

錯(cuò)因分析 ①錯(cuò)。規(guī)定零向量的方向是任意的。②錯(cuò)。規(guī)定零向量與任何向量平行，當(dāng)b=0時(shí)，a∥c不一定成立。③錯(cuò)。基底相當(dāng)于向量的單位（不同于單位向量），是用來刻畫與它共線的向量的，零向量不可為基底，當(dāng)a≠0，b=0時(shí)a≠λb（λ∈R）。④錯(cuò)。規(guī)定零向量與任何向量的數(shù)量積為0，0與0不能混淆。

二、向量關(guān)系中的“飛俠”——平行（共線）

用動態(tài)的觀點(diǎn)認(rèn)識向量平行（共線）關(guān)系，就可以體會向量“飛俠”的意境：

（1）中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量是指自由向量，所以相等向量可視為同一向量。

（2）有向線段僅是非零向量某個(gè)位置的幾何表示，非零向量并不是有向線段。非零向量的平行和共線是沒有區(qū)別的。

（3）零向量作為一個(gè)特殊個(gè)體，規(guī)定它與任何向量平行（共線），作為平行（共線）定義的補(bǔ)充，不提及零向量的方向。

（4）平面向量在平移前后所對應(yīng)的坐標(biāo)是不變的。

答案 ④。

錯(cuò)因分析 根據(jù)向量平移坐標(biāo)是不變的，說明①的正確答案是（3，4）；②錯(cuò)因是將向量的模與實(shí)數(shù)絕對值性質(zhì)相混淆；③兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量所在的兩條直線共線是兩個(gè)不同的概念。

錯(cuò)因分析 錯(cuò)誤多為向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相混淆所致。

向量鮮明的個(gè)性導(dǎo)致向量概念與運(yùn)算性質(zhì)與實(shí)數(shù)不同，而有些性質(zhì)又類似，給人一種似曾相識、霧里看花的感覺，因此同學(xué)們一定要注意向量易錯(cuò)題的收集和錯(cuò)因分析。