三激振器雙質體振動系統自同步特性研究

侯勇俊, 余　樂, 方　潘, 陳普春

(1.西南石油大學 機電工程學院, 四川 成都 610500；2.西南石油大學 理學院, 四川 成都 610500)

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三激振器雙質體振動系統自同步特性研究

侯勇俊1, 余樂1, 方潘1, 陳普春2

(1.西南石油大學 機電工程學院, 四川 成都 610500；2.西南石油大學 理學院, 四川 成都 610500)

摘要：提出了一種三機驅動雙質體自同步振動系統,該系統具有有效篩分面積大、占地面積小和地基受動載荷小的優點.首先,依據Lagrange方程推導出雙質體振動系統的運動微分方程,并求出了其穩態解.然后,由Hamilton原理推導出系統的同步性條件和穩定性條件；運用控制變量法分析了中間彈簧剛度和電機安裝位置對系統同步性以及同步相位差角的影響.研究結果表明:當系統參數滿足同步性和穩定性條件時系統可以實現穩定的自同步運動,同步時上質體兩電機的相位差角為0°,上質體和下質體電機間的相位差角為180°.最后,用機電耦合仿真結果驗證了理論分析的正確性.研究結果為該系統的設計分析提供了理論基礎.

關鍵詞：雙質體振動系統； Hamilton； 控制變量； 同步性； 穩定性

在振動機械中,常常要求其內部2個或2個以上的部件同步運轉以實現所需的運動軌跡,如多機驅動自同步振動系統.1665年荷蘭物理學家Huygens[1]發現,2個并排懸掛的鐘擺在震蕩一段時間之后能夠實現完全同步.1953年,前蘇聯的Blekhman博士等[2-3]實現了機械系統兩電機軸上的偏心塊以相同轉速0或π相位差旋轉的同步運動.1982年,中國科學院院士聞邦椿等[4-5]出版了國內該領域的第1部專著.進入21世紀,韓清凱等[6]推導出關于兩偏心轉子相位差角的微分方程,并針對該方程建立了同步運動的必要性條件,分析了系統平衡點的穩定性及分岔特性.文獻[7-8]提出了一種自同步四電機激振的大型振動機,并給出了其同步性條件和穩定性條件.隨后,趙春雨等[9-11]用修正平均小參數法研究了多個耦合激振器的同步性和穩定性,深入闡述了振動系統的耦合動力學特性和動態對稱性.李鶴等[12]對一種含有二次隔振架的(三質體)雙機驅動振動機的自同步特性及其穩定性進行了分析.

上述研究的單質體以及多質體自同步振動系統中的多個激振電機均安裝在同一個質體上,對于多個電機分別安裝在不同質體上的振動系統的自同步特性研究尚屬空缺.本文研究的雙質體三機驅動自同步振動系統的3個激振電機分別安裝在2個質體上.2個質體均具有篩分作用,所以該系統具有有效篩分面積大、占地面積小、處理能力強和篩分效率高的優點；下質體同時具有隔震作用,所以該系統工作噪音小、地基受動載荷小.

1系統的運動微分方程

雙質體振動系統的動力學模型如圖1所示.該系統由上質體m1、下質體m2、激振器moi(i=1,2,3)、彈簧kxj，kyj和kψj(j=1,2)組成.系統工作時,3

個激振電機作如圖1所示的等速旋轉.上質體兩電機產生的激振力合力通過中間彈簧傳遞給下質體；下質體電機的激振力也通過中間彈簧傳遞給上質體.上、下質體激振力通過中間彈簧的相互作用,使上、下質體實現不同軌跡的運動.o′x1y1和o″x2y2是系統的固定坐標系，o′1x′1y′1和o′2x′2y′2是分別相對于o′x1y1和o″x2y2的動坐標系.o″1,o″2分別為上、下質體質心,o′1,o′2分別為上、下質體與激振器合成質心,該系統有6個自由度.

圖1　雙質體振動系統動力學模型Fig.1　The dynamics model of double mass vibrating system

由Lagrange方程得系統的運動微分方程如式(1):

(1)

令mo1=mo2=mo3=m,r1=r2=r3=r,l1=l2=l,l3=0.設系統穩態運行時3個轉子的平均相位為φ,即φ1=φ+α1,φ2=φ-α1,φ3=φ-α1-2α2,φ=ωt.解得式(1)中前6個方程的穩態響應為

(2)

其中：

F=mrω2，

pi=-M1ω2+ki1,ci1=-M2ω2+ki1+ki2,ci2=ki1,

i=x,y,

kψ1kψ2,

pψ=-Jz1ω2+kψ1,cψ1=-Jz2ω2+kψ1+kψ2,

cψ2=kψ1,

j=x,y,ψ.

2系統的自同步理論

2.1系統的同步性條件

若不計阻尼力的影響,該力學系統在運動過程中,除受到重力的作用外,還受3個電動機電磁轉矩Tei的作用,所以系統是一個完整的非保守系統.由系統的Hamilton原理[13],有

(3)

式中:H為Hamiton作用量,Qi為廣義力,qi為廣義坐標.

系統的總動能為

(4)

式中Tz為3個激振電機的旋轉動能總和.在電機穩定運轉的情況下,Tz可看做常數.

系統的勢能為

(5)

拉格朗日函數:

L=T-V.

(6)

一個運動周期內系統的Hamilton作用量為

μi11μi12cos(2α1+2α2+θi2-θi1)+

μi21μi22cos(2α1+2α2+θi3-θi2)+

μi21μi22cos(2α1+2α2+θi3-θi2)+

μi21μi11cos(θi1-θi2)-μi21μi11cos(2α1+θi1-θi2)-

μi21μi12cos(2α1+2α2)+μi21μi22cos(2α2+θi3-θi2)-

μi21μi11cos(-2α1-θi2+θi1)-μi21μi11cos(θi1-θi2)-

μi21μi12cos2α2-μi22μi11cos(-2α1-2α2+θi1-θi3)-

μi22μi11cos(-2α2-θi3+θi1)-μi22μi12cos(θi2-θi3)+

(7)

為了簡化方程令kx1=ky1,kx2=ky2,β1=0，

β2=π，則有

(8)

4F2πkx1μx21μx12sin2α2.

(9)

本系統中α1,α2為廣義坐標,廣義力Q1,Q2為

(10)

將式(8)、(9)和(10)代入式(3),得

(11)

系統同步時相位差角α1,α2在一個周期內保持穩定，因此,α1,α2有解是系統同步的必要條件.式(11)是關于α1,α2的二元三角函數,無法求其精確解析解,下面將用數值方法分析.

2.2系統同步運轉的穩定性條件

由約束力學系統的運動穩定性[14]可知,真實運動的Hamilton作用量具有極小值.由多元函數的極值理論得系統同步運轉的穩定性條件為

(12)

其中:

(13)

(14)

8F2πcos2α2kx1μx21μx12.

(15)

3系統同步運動數值分析

式(11)和式(12)均為包含多個系統參數的方程,很難得出單個參數對系統同步性的影響.這里采用控制變量法,通過數值計算,進一步討論中間彈簧剛度和電機安裝位置對系統同步性的影響.取激振電機為3個相同型號的電機(Te1≈Te2≈Te3),系統參數如下所示:

Jz1=45.22kg·m2,Jz2=44.16kg·m2,kx2=ky2=

50kN/m,Jo1=Jo2=Jo3=0.01kg·m2,kψ1=kψ2=

10kN/rad,β1=0,fx1=fy1=1kN·s/m,fx2=fy2=

1kN·s/m,β2=π,fψ1=fψ2=1kN·s/rad,β3=0,

f1=f2=f3=0,r1=r2=r3=0.05m,

l1=l2=l=0.4m,l3=0m,ω=157rad/s.

(16)

將待研究的參數作為變量,其余參數代入式(11)和(12)中，則有

(17)

(18)

式(17)、(18)中q(ki1,m,l,…)是自變量.隨著q的變化，式(17)可以解出不同的α1,α2；再將α1,α2以及q代入式(18)中,若均滿足,則說明在此參數條件下系統可以實現穩定的自同步運動.

3.1同步性條件

3個激振電機沒有安裝在同一剛體上,所以中間彈簧剛度必然是一個影響系統同步性的重要因素；在工程設計中,激振電機的安裝位置也是一個調節同步性以及同步相位差角的重要參數.在對中間彈簧剛度進行分析的時候,以中間彈簧剛度k(kx1=ky1=k)作為自變量,通過式(17)可解得k與相位差角2α1,2α2的變化曲線；對電機安裝位置進行分析時采用同樣的方法,上質體兩電機采用如圖1所示的水平對稱安裝,取Ao′1=0m,L=o1o2,β1=0,β2=π,下質體電機位于其質心上.數值分析結果如圖2所示.

圖2　中間彈簧剛度以及上質體電機安裝位置對系統相位差角的影響Fig.2　Effects of stiffness of middle spring and the installation position of motors on phase difference

對式(17)進行求解時：k≤200kN/m時方程組無解,說明此時系統不能實現自同步運動；當k>200kN/m時,α1,α2均可求解出來.由圖2(a)，(b)可知：隨著k的增大，電機1，2的相位差角2α1基本不變,2α1=0°；2002 000kN/m時彈簧剛度的改變對電機2,3的相位差角沒有影響,2α2=180°.改變上質體兩電機間的水平安裝距離,相位差角基本不變,說明電機1,2水平安裝距離的變化對系統的同步相位差角影響非常小.

3.2穩定性條件

將式(17)中求解出來的相位差角2α1,2α2以及與之對應的k(L)值代入(18)式中,同樣運用控制變量法分別研究中間彈簧剛度和激振電機安裝位置對系統同步穩定性的影響,若f3(k)>0,f4(k)>0，則系統可以實現穩定的自同步運動,分析結果如圖3所示.

圖3　中間彈簧剛度以及上質體電機安裝位置對系統同步穩定性的影響Fig.3　Effects of stiffness of middle spring and the installation position of motors on synchronous stability

從圖3(a)中可以看出：L=0.8m,870≤k≤950kN/m或k≥1 100kN/m時，f3(k)>0；且當k≥9 000kN/m時f3(k)收斂于18；圖3(b)的變化規律和(a)相似：當899≤k≤901kN/m或1 300≤k≤5 000kN/m時，f4(k)>0；且當k≥8 000kN/m時，f4(k)收斂于-450.因此,L=0.8m時系統實現穩定同步運轉的條件為899≤k≤901kN/m或1 300≤k≤5 000kN/m.由式(13)可知f3(L),f4(L)均為關于L的增函數,結合圖3(a)、(b)得在L=1.0m,899≤k≤901kN/m或k≥1 300kN/m時,f3(k),f4(k)恒大于0,所以L的增大有益于系統實現穩定的同步運轉.

當中間彈簧剛度k足夠大時，上、下質體間幾乎沒有相對運動,此時k的變化將不再引起α1,α2和f3(k),f4(k)的變化,這與圖3(a)和圖3(b)中的曲線最后均收斂于某一數值是一致的.

4仿真驗證

4.1機電耦合仿真結果

選取電機模塊為3個相同的三相異步電動機(p=2),根據系統的運動微分方程(1)在MATLAB/Simulink中建立其機電耦合仿真模型[15-16],如圖4所示.采用式(16)中的參數,電機1在15 s時斷開電源,運用控制變量法在數值分析的基礎上分別研究中間彈簧剛度和電機安裝位置對系統同步相位差角的影響.

圖4　系統機電耦合仿真模型Fig.4　Electromechanical-coupling simulation model of system

圖5　中間彈簧剛度對系統相位差角的影響Fig.5　Effect of stiffness of middle spring on phase difference

圖5(a)、(b)為L=1.0m時,不同中間彈簧剛度k條件下,相位差角2α1,2α2隨時間的變化關系,相位差角曲線收斂于某一數值表明系統處于同步狀態.結合兩圖可知,k=900kN/m,k=1 300kN/m和k=4 000kN/m時系統均可實現穩定的同步運動,且在未切斷電源之前不同的彈簧剛度k對應的相位差角曲線在穩定后基本是重合的.在沒有切斷電機1電源之前,電機1,2的相位差角基本穩定在0°,電機2,3的相位差角基本穩定在-180°.15s時切斷電機1電源,一段時間后系統重新達到穩定狀態.此時,不同彈簧剛度的系統相位差角有所不同,電機1,2的相位差角隨著中間彈簧剛度的增大而增大,-66°≤2α1≤-13°,電機2,3的相位差角也隨著中間彈簧剛度的變化而變化,-178°≤2α2≤-171°.

圖6(a)，(b)為k=8 000kN/m時,將電機安裝位置作為變量得出的曲線,圖中L=0m和L=0.6m曲線均是在開始實現了同步狀態,隨著時間的推移又進入了一種新的同步狀態,說明此時同步運動是不穩定的；L=1.0m和L=2.0m曲線基本重合,且不隨時間的變化而變化,說明在這種參數條件下系統的同步運動是穩定的.因此,電機1，2水平安裝距離的增大有益于系統的自同步運動.電機1，2的同步相位差角穩定在0°,電機2，3的同步相位差角穩定在-180°.

圖6　電機安裝位置對系統相位差角的影響Fig.6　Effect of the installation position of motors on phase difference

4.2仿真驗證理論

圖2、圖3為理論分析結果.圖3解出的系統的同步相位差角為：2α1=0°,175.3°≤2α2≤180°.L=0.8m時系統實現穩定的自同步運動的區域為:899≤k≤901kN/m或1 300≤k≤5 000kN/m,k≥5 000kN/m時系統的同步運動不穩定；L≥1.0m系統實現穩定的自同步運動的區域為:899≤k≤901kN/m或k≥1 300kN/m.圖5、圖6為計算機仿真結果.由圖5得,L=1.0m,899≤k≤901kN/m或k≥1 300kN/m時,系統可以實現穩定的自同步運動,同步相位差角2α1≈0°,2α2≈-180°.由圖6得k=8 000kN/m時,L=0m和L=0.6m時系統的同步運動是不穩定的；L=1.0m和L=2.0m時系統的同步運動是穩定的,同步相位差角2α1≈0°,2α2≈-180°.

綜上所述,理論分析的中間彈簧剛度k和上質體水平安裝距離L對系統同步性以及穩定性的影響規律與仿真分析結果是一致的,兩者所計算出來的具體數值有著較小的誤差,這樣的精度已經可以滿足工程中的實際應用.產生誤差的主要原因是:用理論分析法求解多元微分方程(1)時,所求結果為其近似解析解,而仿真模型則是通過循環,所求結果為其精確數值解；理論分析時,代入的電機轉速ω為其平均值,而仿真模型中電機轉速則是在其穩定值附近微小波動的.

5結論

1)本文提出了一種三激振器雙質體振動系統,利用Lagrange方程推導出系統運動微分方程,并求出其穩態解.運用Hamilton原理推導出系統實現自同步運動的條件為:式(11)中α1,α2有解；系統自同步運動的穩定性條件為:式(12)成立.

2)對理論分析結果進行數值分析得出:中間彈簧剛度是一個影響雙質體振動系統實現自同步運動的重要因素,在式(16)參數條件下系統實現穩定自同步運動的區域為899≤k≤901 kN/m或1 300≤k≤5 000 kN/m；電機安裝位置也是一個影響系統自同步運動的重要因素,上質體兩電機水平安裝距離的增大有益于系統的自同步運動,令式(16)參數L≥1.0 m,則系統實現穩定的自同步區域為899≤k≤901 kN/m或k≥1 300 kN/m.幾種不同的參數條件下,系統的同步相位差角基本相同,電機1,2的相位差角2α1=0°,電機2,3的相位差角2α2=180°.

3)用機電耦合仿真模型在理論分析的基礎上研究了中間彈簧剛度k和上質體水平安裝距離L對系統同步性的影響,得出了與理論分析方法一致的結論,驗證了理論分析的正確性.

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Study on self-synchronization of double mass vibrating system with tri-exciter

HOU Yong-Jun1, YU Le1, FANG Pan1, CHENG Pu-chun2

(1. School of Mechatronic Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China；2. School of Sciences, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China)

Abstract：A double mass vibrating system of self-synchronization with tri-exciter was put forward. The advantages of this system included that it had larger screening area, smaller share space and little loads transmitted to the foundation. Firstly, the dynamic differential equation of the system was established based on the Lagrange equation, and the stable solutions were obtained. Then using Hamilton principle, the self-synchronization qualification and stability condition were obtained. Using the method of controlling variables, the effects of stiffness of middle spring and the installation position of motors to the system self-synchronization and its phase difference were analyzed. The research results showed that the system could realize a stably synchronized motion when the parameters satisfied the synchronization and stability condition. The synchronous phase difference of two motors of upper body was 0° , and the phase difference which was between upper and lower body was 180°. Finally, the results of electromechanical-coupling simulation model verified the correctness of theoretical analysis. The study provides theoretical basis for design and analysis of this system.

Key words：double mass vibration system； Hamilton； controlling variables； synchronization； stability

中圖分類號：TH 113

文獻標志碼：A

文章編號：1006-754X(2016)01-0082-08

作者簡介：侯勇俊(1967—),男,四川成都人,教授,博士,從事石油礦場機械和機械動力學研究，E-mail:hyj2643446@126.com.

收稿日期：

2015-08-04.

本刊網址·在線期刊：http://www.journals.zju.edu.cn/gcsjxb

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51074132)；西南石油大學研究生創新基金資助項目(CX2014SY38).

http://orcid.org//0000-0001-5176-4105

DOI:10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.01.013