一種動態校正的AGMM-GPR多模型軟測量建模方法

熊 偉 麗，　李 妍 君，　姚 　 樂，　徐 保 國

( 1.江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室， 江蘇 無錫　214122；

2.江南大學 物聯網工程學院 自動化研究所， 江蘇 無錫　214122 )

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一種動態校正的AGMM-GPR多模型軟測量建模方法

熊 偉 麗*1,2，李 妍 君2，姚 樂2，徐 保 國2

( 1.江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室， 江蘇 無錫214122；

2.江南大學 物聯網工程學院 自動化研究所， 江蘇 無錫214122 )

摘要：工業過程常常是強非線性的，并有多個工況，傳統的軟測量方法存在預測能力差，不能有效利用誤差信息等缺點．為了有效解決這些問題，提出一種基于自適應高斯混合模型-高斯過程回歸(AGMM-GPR)的多模型動態校正軟測量建模方法．首先，通過貝葉斯信息準則構建自適應高斯混合模型(AGMM)，得到優化的子模型個數；然后，利用GPR方法建立各局部模型，當新的數據到來時，將其隸屬于各局部模型的后驗概率和預測值融合得到多模型輸出；最后，為了進一步提高模型的精度，構建自回歸積分滑動平均(ARIMA)模型對多模型輸出進行動態反饋校正．通過數值仿真和硫回收裝置(SRU)中H2S濃度的估計，驗證了所提方法具有良好的預測精度和泛化性能．

關鍵詞：自適應；多模型；動態校正；高斯過程回歸；ARIMA模型

0引言

隨著軟測量技術的發展，在機理模型難以建立的時候，基于數據驅動的建模方法已成功地應用于實際的工業過程中并發揮著重大作用[1-3]．常見的方法有最小二乘支持向量機[4]、神經網絡[5]、偏最小二乘法[6]等．近年來，高斯過程回歸方法由于其輸出具有概率意義、精度高和靈活等優點，被廣泛用于軟測量建模研究領域[7-8]．對于實際工業過程的高維度和大樣本數據，采取傳統的單模型方法建模往往訓練時間較長，其泛化性能和精度較低，對具有多工況的對象特性及擾動特性擬合不佳．因此眾多研究者將數據驅動和多模型建模的思想應用于軟測量建模中[9-10]．

一般情況下，多模型軟測量建模方法是采用某種規則對需要分析的數據進行聚類，然后建立局部回歸模型，最后再進行融合得到全局模型．聚類分析時，聚類結果的好壞對軟測量的輸出有著很大的影響．在聚類方法的研究中，采用K-means、核模糊等方法進行聚類分析時，需要明確知道聚類個數，有時聚類的效果不理想．如何確定一個“準確”的聚類個數去改善聚類效果，一直以來是研究的熱點[11-12]．

通過將各個子模型的輸出進行加權得到全局模型的輸出，綜合考慮了樣本的局部特性，提高了模型的魯棒性．但在多模型軟測量建模方法中，傳統方法不能有效利用誤差信息，造成模型精度下降，泛化性能不高．因此，在模型動態性能的改善上，杜文莉等[13]將ARMA模型用于乙烯精餾過程乙烷濃度的時序補償，提高了預測精度．王振雷等[14]提出了一種基于D-S理論和ARIMA建模的動態最小二乘支持向量機的建模方法，用于酯化過程酯化率軟測量中對靜態多模型輸出進行動態校正，得到更加精確的估計結果．

本文結合多模型和模型校正的思想，提出一種基于自適應高斯混合模型(adaptive Gaussian mixture model,AGMM)和高斯過程回歸(Gaussian process regression,GPR)的多模型動態校正軟測量方法．先利用貝葉斯信息準則確定樣本特征空間的最佳高斯成分個數，構建AGMM，自適應地確定聚類數目，然后利用GPR方法建立局部模型．當新的數據到來時，用每個局部模型進行預測輸出,同時計算新數據隸屬于每個子模型的后驗概率，最后對子模型的輸出進行融合，得到全局輸出．為進一步提高模型的精度，在此基礎上，采用自回歸積分滑動平均(autoregressive integrated moving average,ARIMA)模型對多模型輸出進行動態反饋補償．通過硫回收裝置(SRU)中H2S濃度的軟測量仿真，驗證所提方法的精度和外推能力．

1基于AGMM-GPR的多模型建模

1.1GMM原理及參數估計

高斯混合模型[15]在用于數據聚類分析時，主要思想是樣本空間的數據分布可以利用多個獨立同分布的高斯成分進行混合．對多個高斯成分賦予不同的權重，GMM可以表示為式(1)K個高斯成分的加權和，其中p(x,ΘGMM)為混合模型的概率密度，aj為第j個高斯成分所占的權重．

(1)

高斯成分密度函數N(x|θj)表達式如式(2)所示，其中θj=(μjΣj)為第j個高斯成分的參數．樣本x∈RD，μ為D維均值向量，Σ為D×D維正定協方差矩陣．

(2)

混合參數ΘGMM=(a1…aKθ1…θK)，若求解出來，就能對樣本進行聚類分析．本文采用EM算法[16]迭代求解GMM的參數集．在某些觀測數據缺失的情況下，EM算法能夠在貝葉斯框架的后驗分布模式下反復迭代計算出密度函數的極大似然估計，似然函數記為式(3),算法的迭代主要包括兩個步驟．

E-step：

關于未知的參數變量，通過參數的當前估計和關于觀測樣本的條件參數估計建立一個Q函數(式(4))來求取樣本極大似然函數的期望．

(3)

(4)

M-step：

對建立的Q函數，通過式(5)最大化步驟反復迭代新的參數估計值，直到參數收斂．迭代后的GMM參數如式(6)所示．

(5)

(6)

第i個樣本對應于第j個高斯成分的后驗概率λj(xi)可由下式計算：

(7)

1.2GMM高斯成分個數的BIC優化

傳統的GMM進行聚類時，需要通過經驗事先確定高斯成分個數，當工況階段特征不明顯時，無法實現樣本空間的自適應擬合．在對樣本特征了解不充分的情況下，K值太大，會造成模型的過擬合問題；反之，K值太小，則不能夠充分解釋樣本信息．兩種結果皆造成模型精度的下降．

對于GMM模型聚類優化問題，以選擇合適高斯成分個數來擬合樣本空間特征為出發點，本文采用貝葉斯信息準則[17](Bayesian information criterion，BIC)來優化GMM的有限混合高斯成分個數．

L是式(3)所示GMM的似然函數，M為混合模型參數的個數，n為訓練樣本個數，K指選擇的混合的高斯成分個數，由于K過大或者過小會分別造成模型的過擬合與欠擬合，當混合模型分布進入穩態時，BIC值越小，模型擬合程度越好．BIC指標計算公式為

(8)

1.3GPR子模型的建立

在采用1.2節AGMM方法實現對樣本特征的自適應聚類后，本文采用GPR方法建立子模型．GPR是一種基于統計學習理論的非參數概率模型，適合處理復雜的高維數、小樣本及非線性問題，近年來，在機器學習領域有著深入的發展．通過給定的訓練樣本的輸入輸出數據得到映射關系，便可由新的輸入數據得到相應的預測值和不確定程度[18]．

假設有訓練集{x,y}，其中X={xi∈RD},y={yi∈R}，i=1,2,…,n，通常樣本觀測值yi和噪聲ε滿足式(9)關系：

(9)

若確定均值函數m(x)和協方差函數k(x,x′)，高斯過程就能唯一確定．為了方便，通常將均值函數預處理為0．協方差函數能夠把輸出間的相關關系轉化為輸入數據之間的函數關系，由于相近的輸入產生相近的輸出，協方差函數的選擇可以根據樣本分布的特征選取，要符合距離相近的樣本間相關性大，反之相關性小的特征．本文選擇的協方差函數形式為

(10)

(11)

cov(fgp)=k(x*,x*)-k(X,x*)T·

(12)

2自回歸積分滑動平均模型

對樣本聚類分析及回歸建模后，在擾動及誤差影響下，建模精度會受到很大的影響．為提高模型的估計性能,模型校正的引入有其必要性，本文采用ARIMA模型對輸出時序誤差進行動態校正．

2.1ARIMA模型簡述

ARIMA模型[19]是一類用于時間序列分析的參數模型，通過搜集某一待預測變量的歷史觀測數據來產生一個描述其潛在關系的模型．此模型中，變量的將來值被認為是歷史觀測數據和隨機誤差的線性函數，也就是說，產生時間序列的潛在過程有如下形式：

yt=θ0+φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+

εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(13)

式中：yt與εt分別是在t時刻的真實值和隨機誤差；φi(i=1,2,…,p)、θj(j=0,1,…,q)為ARIMA 的模型參數，p、q指模型的階次．隨機誤差εt獨立同分布，其均值為0，方差為σ2．

ARIMA模型可以表示一些不同的時間序列類型，式(13)中如果q=0，則變為p階的AR模型；當p=0，模型轉化為q階的MA模型，否則，表示為ARMA模型．

2.2時間序列模型定階

建立時間序列的ARIMA模型，其核心任務是確定合適的模型階數．ARIMA模型僅用于平穩時間序列，是否達到平穩條件可用ADF根檢驗的方法判斷．若時間序列不平穩，對樣本序列進行差分變換是有效的方法之一．引入滯后算子L，滿足yt·L=yt-1，yt·L2=yt-2，對待分析的時間序列進行d階差分使其平穩化得到如式(14)所示的結果，式中的d∈N，在這種情況下，得到的模型記為ARIMA(p,d,q)．

(14)

對平穩化時間序列，通過檢驗ACF和PACF初步得到ARIMA模型的階次范圍，然后利用AIC進行模型選擇[20]，采用系統辨識方法(如最小二乘法)辨識出模型的參數，選擇信息量損失最少的模型．衡量每個模型信息損失量的AIC準則判斷公式如下：

(15)

式中：logL(θ|y)為每個模型所對應的對數似然函數，M是每個模型中獨立參數的個數，n為時間序列長度．

3動態校正的AGMM-GPR建模步驟

本文軟測量建模方法建模流程如圖1所示．具體建模步驟描述如下：

Step 1 采集軟測量建模的輸入輸出數據，分為訓練樣本和測試樣本，進行適當的預處理．

Step 2 訓練樣本采用AGMM聚類，通過BIC選取合適的高斯成分個數K．

(16)

Step 5 對多模型的輸出進行校正，得到模型的時序誤差序列Δy=ypre-ytrue,ytrue為主導變量的人工分析值，ypre為多模型融合估計值．判斷誤差序列是否滿足平穩序列的條件,初始差分次數d0=0，時間序列平穩時，選擇AIC指標最小的ARIMA(p,d,q),得時序誤差預測值Δypre．否則，進行d+1次差分，反復進行單位根檢驗直到時間序列平穩為止．

(17)

選擇如式(18)和(19)所示的均方根誤差(erms)和平均絕對誤差(ema)來評價模型的綜合預測能力：

(18)

(19)

圖1　動態校正的AGMM-GPR方法建模圖

4數值仿真實驗

為驗證上述方法的有效性，本文采用文獻[21]中的非線性函數進行數值仿真實驗：

x2(t+1)=x2(t)cos(x2(t))+

式中：x1(t)、x2(t)為系統狀態，系統的輸入、輸出和白噪聲分別為u(t)、y(t)、ε(t)．假定系統狀態不可測，通過已知的輸入輸出信息來預測系統的輸出y(t)．數值仿真中選擇用于軟測量建模的輸入為φ(t-1)=(y(t-1)y(t-2)y(t-3)u(t-1)u(t-2)u(t-2))T．以u(t)∈[-2.5,2.5]的隨機信號與ε(t)∈N(0,0.1)的白噪聲作用于系統，得到3 000組時間序列訓練樣本；以測試信號u(t)=sin(0.2πt)+sin(0.08πt)作用于系統，得到200組時間序列測試樣本．為方便從圖中看到各個方法的仿真效果，在上述3 000組訓練樣本的基礎上，對原始訓練樣本的輸出人為加入均值0.2、方差0.4的高斯噪聲，構成新的訓練樣本．基于此，分別對單模型GPR方法、AGMM-GPR的多模型方法以及本文所提的加入動態校正的AGMM-GPR+ARIMA方法進行了仿真，擬合指標如表1所示．

表1　不同模型的擬合性能

由圖2可知，高斯成分個數為10時，BIC指標值基本收斂，即使隨著高斯成分個數的增加，未來有更加低的指標值，但是為了防止模型的過擬合造成精度下降，認為K=10是一個合適的聚類數目．

由圖3~5所示的仿真結果可知，單模型建模方法的均方根誤差和平均絕對誤差依次低于多模型建模方法和經過誤差校正的軟測量方法，充分反映了自適應地選擇聚類個數有助于更加準確地對樣本局部特性進行擬合．圖5結果表明，基于ARIMA的校正方法能夠追蹤過程的動態時序誤差信息．圖6所示的經過模型校正的軟測量真值與最終估計值幾乎重合，更加肯定了進行多模型輸出誤差補償的有效性．

圖2　高斯成分個數的BIC優化

圖3　GPR單模型仿真結果

圖4　AGMM-GPR模型仿真結果

圖5　時序誤差的ARIMA建模

圖6　本文方法仿真結果

5硫回收裝置過程建模

硫回收裝置(sulfur recovery unit，SRU)是精煉廠處理系統的重要環節，負責對含硫氣體(如H2S和SO2)的處理，避免其對環境造成巨大的危害．SRU擁有4條平行的生產線，都是以兩種酸性氣體為輸入，一種是富含H2S的MEA氣體，另一種是富含SO2和NH3的SWS氣體，具體的反應過程及過程的變量描述說明見文獻[22]．

為驗證所提方法對于SRU過程建模的可行性，采集過程的輸入輸出數據10 081組用于軟測量建模研究．本文選擇H2S濃度作為過程需要估計的主導變量進行實驗．

采集過程的訓練樣本1 680組，采用主成分分析(principal component analysis,PCA)算法對軟測量的輸入輔助變量預處理，以更好地說明算法的精度．原始輸入矩陣為Xn×m，n為輸入樣本個數，m為樣本特征維數．通過計算輸入樣本的協方差矩陣特征值，保留使累計方差貢獻率超過85%的樣本信息，將原始的高維空間投影到不相關的低維空間進行特征提取．如圖7所示，采用PCA方法提取出3個主元進行軟測量建模．

特征提取后的得分矩陣不妨記為T，對它進行AGMM聚類分析，貝葉斯信息準則選擇結果見圖8，當高斯混合模型趨于穩態時，可以看出，最合適的高斯成分個數K是11．在對AGMM-GPR輸出進行校正時，對誤差時間序列建立ARIMA模型，如圖9所示，從仿真結果來看，這是一種及時且有效的反饋校正方式．由圖10可知，8 401組測試樣本的H2S濃度預測值和人工分析值幾乎完全重合，因此大大提高了模型估計結果的精度．

為驗證引入校正模型的必要性，利用3種建模方法對該工業過程進行仿真，仿真結果如圖11所示．每一種方法的均方根誤差和平均絕對誤差指標如表2所示．由表2可知，單模型和多模型建模對于8 401組測試數據來說建模精度相差不明顯，經過多模型反饋誤差校正后，均方根誤差為0.016 9．在建模效果對比分析圖中，由圖11(c)可知，大部分區域中，多模型的估計值相對來說更加集中，逼近真實的H2S濃度．而單模型估計值相對離散，并且局部特性不如多模型擬合得好．如圖11(a)、(b)所示，加入誤差校正后估計值比未經過校正的單模型和多模型更貼近H2S真值，這是因為通過對時序誤差進行動態跟蹤后，對軟測量輸出構成了負反饋．綜上所述，在3種方法的比較中，動態校正的AGMM-GPR方法在對SRU中H2S濃度的估計時，既能夠自適應地擬合不同局部工況特性并進行概率意義的融合，又將過程的誤差及擾動時序信息補償至最終輸出，具有良好的精度，顯著地改善了傳統單模型及多模型軟測量方法的預測性能．

圖7　PCA方法特征提取結果

圖8　硫回收裝置的高斯成分個數的BIC優化

圖9　硫回收裝置的時序誤差的ARIMA建模

圖10　H2S濃度估計結果

(a) GPR單模型與本文方法對比

(b) AGMM-GPR模型與本文方法對比

(c) GPR單模型與AGMM-GPR模型對比

圖11不同模型預測結果對比

Fig.11Comparisons of different model prediction results

表2　SRU過程不同模型的擬合性能

6結語

復雜工業過程是強非線性的、時變的且多擾動的．對它進行建模時若采取單模型，要考慮全部樣本信息，往往局部特性匹配不佳且估計精度較差，故一般采用多模型的方法對樣本信息按照不同的擾動和對象特性進行擬合．為了加強聚類效果，本文對傳統的GMM混合高斯成分個數進行了BIC指標的優化，更加精確地使得樣本按照擾動及對象特性“聚集”到一起．為了進一步提高多模型軟測量方法的精度，本文利用誤差信息的補償作用，結合ARIMA模型對時間序列良好的逼近能力, 對靜態條件下得到的AGMM-GPR多模型輸出進行動態時序補償．仿真實驗證明，與傳統的單模型建模方法、多模型建模方法相比，本文提出的軟測量建模方法把過程誤差和擾動考慮在內而進行模型校正，顯著提高了估計的準確性．以SRU過程的H2S濃度的軟測量為例，驗證了本文方法的有效性和外推能力，為解決同類問題提供了新思路．下一步的研究方向就是增強建模的實時性，實現在線校正和優化．

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A dynamically corrected AGMM-GPR multi-model soft sensor modeling method

XIONGWei-li*1,2,LIYan-jun2,YAOLe2,XUBao-guo2

( 1.Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry (Ministry of Education), Jiangnan University,Wuxi 214122, China；2. Institute of Automation, School of Internet of Things Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China )

Abstract：Industrial processes often encounter strong nonlinearity and multiple operating modes. Traditional soft sensor methods cannot effectively take advantage of error information, which accounts for unsatisfactory predictive results. To effectively address these problems, a dynamically corrected multi-model soft sensor modeling method based on adaptive Gaussian mixture model-Gaussian process regression (AGMM-GPR) is proposed. Firstly, an adaptive Gaussian mixture model is constructed using Bayesian information criterion and optimized sub-model number is obtained. Then, each local model is built through GPR method. For the new data, its posterior probability and prediction value belonging to each local model can be combined to get multi-model output. Finally, to further improve model accuracy, an autoregressive integrated moving average (ARIMA) model is employed to conduct a dynamic feedback correction to multi-model output. Numerical simulation and H2S concentration estimation in sulfur recovery unit (SRU) indicate that the proposed method has good prediction accuracy and generalization performance.

Key words：adaptive; multi-model;dynamic correction; Gaussian process regression; ARIMA model

作者簡介:熊偉麗*(1978-)，女，博士，教授，E-mail:greenpre@163.com.

基金項目:國家自然科學基金資助項目(21206053，21276111)；江蘇省“六大人才高峰”計劃資助項目(2013-DZXX-043)；江蘇省產學研資助項目(BY2014023-27)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目(PAPD).

收稿日期：2015-10-05；修回日期: 2015-11-25．

中圖分類號：TP391.9

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201601012

文章編號：1000-8608(2016)01-0077-09