向量在立體幾何中的幾點應用

鄭麗艷

立體幾何題是高考必考內容之一，縱觀幾年來的高考真題，我們可以發現絕大部分的立體幾何題都可以利用幾何法和向量法求解。但是當我們采用幾何法解題時，常常需要作出一些輔助線，這些輔助線的成功作出要求學生具有較強的空間想象力，對有的學生來說這比較困難。而當我們采用向量法解題時，不再需要作輔助線，只需套用向量計算公式即可。因此，向量法深受學生喜愛。

筆者具有多年數學教學經驗，對向量法解題有一定的研究。立體幾何題型大致有以下幾種：求距離、求角和證明。以向量法為解題方式，就如何解決立體幾何題做出以下介紹，希望能夠對有關人士有所幫助。

一、向量法在求距離中的應用

求距離的問題在立體幾何題型中是最常出現的，有些距離問題我們通過線段平移、等效替換和幾何法可以輕松解決。但是有些題目比較復雜，作出輔助線比較困難，學生根本無從下手，這就到了向量法大顯身手的時候了。

求距離的題目類型較多，在此以向量法為手段，進行簡單介紹。在課堂上，老師要注意讓學生明白向量法的使用原理，讓他們能夠輕松自如地應用向量法。

1.求兩點之間的距離——用向量法求兩點之間的距離。在根據已知條件作好坐標系的情況下，求出所求兩點的向量坐標，然后再求出兩向量的模，則模就是兩點之間的距離。這是最簡單的類型，老師只要讓學生明白求距離的原理，那么下面的各種題型就會迎刃而解。

2. 求點到直線之間的距離——如圖1所示：P為直線a外一點，Q為a上任意一點，PO⊥a于點O，所以點P到直線a的距離為 |PO|=d。根據向量法，求出P、Q兩點的向量坐標，在三角形POQ內利用∠PQO求出d的大小。這樣的題目也要讓學生明白求解原理，只有懂了原理學生才能夠主動地應用這種解題套路。

3. 求點到平面的距離——如圖2所示：設A為平面α外一點，AB是平面α的一條斜線，交平面α于點B，而向量n是平面α的法向量，那么向量AB在向量n上的投影就是點A到平面的距離d。從而將問題轉化為點到直線的距離，那么求解方法就比較簡單了。老師在課堂上授課的時候，可以將這種方法反復講解。因為在課改以前的解題方式只有幾何法，老師教得多了，學生應用的頻率自然就高了。

4. 求直線與它平行的平面及求兩個平行的平面之間的距離——這樣的求距離的題目看似很難，是因為學生的思維模式基本定在幾何的方向上，他們畫出輔助線，卻不能夠找到相關線段的長度，致使最后解題無從下手。其實只要換個思路，改用向量法求解，題目就可以轉化成求點到直線的距離。這樣，題目就會變得十分簡單。

雖然求距離的題型較多，但是其求解方法是萬變不離其宗的。我們只要抓住關鍵，那么求解任何問題都是很容易。在此，可以總結一下，一定要根據所求題目，作出合理合適的平面直角坐標系，然后求出各點的向量坐標，再利用所學的理論知識，套用公式，最后解出題目。

二、向量法在求角中的應用

在立體幾何題型中，第一個部分不是求距離就是求角度。所以老師在授課時，一定要抓住這個重點。讓學生在高考中輕松地拿下立體幾何的第一部分的分數。同樣的道理，距離的求解使用向量法會變得有規律可循，其實在求角度的問題，我們同樣可以使用向量法。老師通過講解使學生明白求解原理，形成一種解題套路，最后拿下立體幾何第一部分。

在求角度的問題中也包括很多類型，如求兩條異面直線形成的角、直線與平面所形成的角及二面角等。雖然題型很多，但是求解原理卻是一樣的。在新課標的要求下，我們要追隨新理念，摒棄舊思維，堅持向學生灌輸向量法解題的妙處，努力構建學生的另一種解題模式。下面以一道例題為例，講解向量法在求角度中的應用。已知正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，如圖3所示。求異面直線AE，SD所成的角。

其實這道題目并不是很難，利用幾何法可以輕松地解決。因為這道題的輔助線作法十分簡單，一眼就可以看出來。再利用三角形內長度與角度的關系，就能夠解出此題。但是我們不能僅僅讓學生明白這種做法，因為立體幾何題第一部分求角度或者距離比較簡單，但是第二部分證明會比較困難。我們要在一開始就引導學生使用向量法，這樣證明題也會變得簡單。此題，我們先選擇合適的平面直角坐標系，如圖4所示。

這樣，有了坐標系以后，只要求出A，E，S，D四點的向量坐標，再代入求異面直線所成角的公式中就能夠解決此題了。關鍵就是正確作出坐標系，求出個點的坐標。這個準備工作做好了，解題就不是問題了。

三、向量法在證明中的應用

證明題是立體幾何題中最難的部分，通常是出現在一道題的第二部分。上面所說的求距離、求角度基本都會出現在第一部分。通過以上講述，在明白第一部分以后，我們接下來討論第二部分。

學過幾何的同學都明白，證明題才是幾何的難點與重點。在高考中，學生能否拿到高成績與學生能否解決立體幾何題第二部分有很大的關系。作為數學老師，我之所以強調學生多多采用向量法解決立體幾何題就與此有關，因為向量法將難題轉化成一種容易的解題模式，對于每個學生都適用。下面以一道例題為證：在正四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD平面ABCD，E、F分別為AB、SC的中點，如圖5所示，證明：EF//平面SAD。

這是一道簡單的證明題，求證的是平行的關系。在幾何法中，證明平行關系要畫出輔助線，與平面SAD垂直，再證明輔助線與EF垂直即可。這種解題思路估計每一位同學都是會的，我們要使用向量法解題，開拓學生思維方式，為將來面對高考打下堅實的基礎。在圖5中，已畫出簡單的平面直角坐標系。去SD中點為G，求出點S、B、C、E、F、G的向量坐標，再證明向量EF與向量AG是共線向量，就可以證明EF//平面SAD。

其實，在我看來，還是向量法比較簡單。雖然每道題的求解思路是一樣的，但是它的求解過程是簡單的。不像幾何法，它需要學生進行復雜思考，準確地畫出輔助線，再通過各種轉化與變換證明所求。這對有的學生來說比較復雜，不如向量法大眾化，每一位同學都可以輕松駕馭。

向量法這種解題方式是在新課標改革后才出現的，數學老師一定要引起關注。老師要順應時代的發展，不能一直止步不前。 在課堂教學中，適當地向學生灌輸向量法這一解題思路，為學生面對高考打好基礎，賦予學生實力與信心，使他們面對高考不再恐慌。