關(guān)于彩虹角度的幾何計算

韓玉龍

摘 要： 彩虹是氣象中的一種光學(xué)現(xiàn)象。空氣中的水滴受到太陽光照射，光線被折射及反射，從而形成七色光譜，雨后常見。作者利用斯涅爾定律對球形水滴進行幾何處理，對彩虹形成加以分析。

關(guān)鍵詞： 彩虹角度 斯涅爾定律 幾何計算

太陽光譜除了一些暗線以外，基本上是連續(xù)譜，它所發(fā)出的各種波長的可見光混合起來，給人的感覺是白光，經(jīng)常指具有和太陽連續(xù)光譜相近的多色混合光。能夠為人眼所感受的波長一般認為在380nm～760nm之間，即可見光譜。

彩虹形成是因為太陽光射到空中接近球形的小水滴，造成光的色散及反射而成的。太陽光射入球形水滴時會同時以不同角度入射，在水滴內(nèi)也是以不同的角度反射。其中以40°至42°的反射最強烈，形成人們所見到的彩虹。

假設(shè)太陽光平行于水平面，選擇其中一條窄光束照射一球形水滴，如圖1所示。光束到達A處發(fā)生反射和折射，這里僅考慮折射光線，其入射角用i表示，折射角用r表示。根據(jù)斯涅爾定律[1]，以荷蘭物理學(xué)家威理博·斯涅爾而命名，是一條描述光的折射規(guī)律的定律，即：光入射到不同介質(zhì)的界面上會發(fā)生反射和折射。其中入射光和折射光位于同一個平面上，并且與界面法線的夾角滿足如下關(guān)系n■·sini=n■·sinr（n■為空氣折射率，20℃時，760mmHg時的折射率為1.00027，在工程光學(xué)[2]中常把空氣折射率取1計算；n■為水的折射率取1.3330計算）。光束到達B點時，處于水和空氣兩種介質(zhì)之間，會有部分折射光線射出，同時有部分光線在球形水滴內(nèi)部反射，這里僅考慮反射光線，當(dāng)光線到達C點時，同樣會產(chǎn)生反射和折射，這里僅考慮折射光線，由幾何關(guān)系易知在C處入射角為r，折射角為i。

太陽光水平射入A點，于C點處射出，所以光線角度的改變量為δ，φ角度為其互補角，由光路圖可知其滿足幾何關(guān)系δ=180°+2i-4r。現(xiàn)在考慮所有可能射入球形水滴的窄光束，顯然當(dāng)入射位置于球心時，入射角i為0°，當(dāng)入射位置位于最頂端時，入射角i為90°，故而入射角i取值范圍[0，90°]。通過計算可知入射角i與折射角r以及光線角度的改變量δ之間的關(guān)系，當(dāng)i=0°時，δ=180°，然后到達最小值約是138°（φ角度最大值約為42°），此時入射角i約為60°，隨入射角i增加，δ又開始慢慢增大，這是解釋彩虹的關(guān)鍵部分。

假如有一球形水滴，太陽光以所有入射角i射入，入射角i可以取[0，90°]中的任意值，由于是球形水滴，故光路一定是軸對稱圖形，可認為是繞軸線旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，上文已給出φ角度最大值約為42°，那么返回太陽所在方向的光線會經(jīng)歷A、B、C路徑后射出，光束以一個錐形的方式射出，并且錐形頂角的一半應(yīng)該是42°左右。由幾何關(guān)系可知φ角度不能大于42°，因此在圓錐面的外部是沒有反射光線的，反射光線只能存在于圓錐面的內(nèi)部。

重點之處在于水中不同顏色光的折射率是有區(qū)別的，現(xiàn)已知紅光（653.3nm）的折射率是1.3311、黃光（589.3nm）的折射率是1.3330、深綠（486.1nm）的折射率是1.3371、紫光（404.7nm）的折射率是1.3428等。由前文給出的幾何關(guān)系可以計算φ角度與入射角i之間的關(guān)系，紅光（653.3nm）φ角度最大值約為42.35°；黃光（589.3nm）φ角度最大值約為42.07°；深綠（486.1nm）φ角度最大值約為41.48°；紫光（404.7nm）φ角度最大值約為40.67°。上述結(jié)果可知，圓錐面頂角的一半取值范圍約為40.67°至42.35°之間，且最外側(cè)為紅光，最內(nèi)側(cè)為紫光，當(dāng)我們的視野在40.67°至42.35°范圍內(nèi)即可看到各種顏色的光，當(dāng)視野在小于40.67°內(nèi)，各種顏色的光均可反射，此時我們看到的便是白光。這便是彩虹幾何原理的關(guān)鍵部分。

綜上，若以太陽光方向為參考線，會在偏離參考線約42°的方向看到彩虹，稍高一點是紅色，稍低一點是藍色（紫光實際上并不容易觀測）。如果太陽靠近地平線，彩虹就會在地平線上較高的位置，當(dāng)太陽慢慢升起，彩虹會慢慢下降，當(dāng)太陽在地平線以上超過42°時，將看不到彩虹，所以太陽越高，看到彩虹的可能性就比較低。彩虹的明顯程度，取決于空氣中球形水滴的大小，體積越大，形成的彩虹越明顯，小水滴體積越小，形成的彩虹越不明顯。一般冬天的氣溫較低，空氣中小水滴不容易存在，且下雨的機會也少，所以冬天很少出現(xiàn)彩虹。

參考文獻：

[1]趙凱華.光學(xué)（新概念物理教程）[J].2004.

[2]工程光學(xué)[M].天津大學(xué)出版社，1988.

安徽工程大學(xué)機電學(xué)院校級質(zhì)量工程項目“構(gòu)建工科類專業(yè)大學(xué)物理教學(xué)的典型案例庫”資助的課題