矩陣正交對角化與相似對角化的討論

劉愛蘭

摘 要： 如果實矩陣正交相似于對角陣，必然相似于對角陣.反之，如果矩陣相似于對角陣，卻不一定正交相似于對角陣.通過施密特正交化的方法，得到正交陣的列向量，不能保證仍舊是矩陣的特征向量，從而矩陣相似于對角陣不一定正交相似于對角陣.

關鍵詞： 正交陣 相似 對角化

一、引言

定理3[2]實矩陣A，如果A的特征值是實數，則A正交對角化的充要條件是A為正規矩陣.

如果矩陣A為復矩陣，則稱矩陣A可酉相似對角化.對于復矩陣，有以下結論.

定理4[3]復矩陣可酉相似對角化的充要條件是矩陣為正規矩陣.

三、結論

可對角化的矩陣有個線性無關的特征向量.這些特征向量的線性組合中，當且僅當它們對應于矩陣的同一個特征值時，其線性組合能保持是矩陣的特征向量.當矩陣對應于不同特征值的特征向量滿足彼此正交時，則由施密特正交化后的向量仍舊是矩陣的特征向量.滿足這一性質的矩陣，當且僅當它是一個正規矩陣.從而相似對角化不一定正交對角化.

通過討論，澄清了相似對角化與正交對角化的關系，并且對于可相似對角化的矩陣，分析得出了它可以可正交對角化的條件.

參考文獻：

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