解三角面積最值問題的一般方法

顧乃春

摘 要： 解三角形相關知識點是高考考查的重要內容，也是高考命題的熱點部分；而且這部分內容往往易于和其他知識相結合，特別是和三角函數、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識相結合.為了更好地把握解三角形知識和其他知識的綜合運用，總結在解題中體現的函數、方程、數學結合的數學思想方法變得非常重要.高考題型是考查知識點為主，所以對于這幾部分知識的綜合應用越來越多，更需要我們平時在做題中加以積累，總結題型、方法，遇到問題才能駕輕就熟，處理問題才能游刃有余.

關鍵詞： 解三角形 函數 方程 數形結合

解三角形相關知識點是高考考查的重要內容，也是高考命題的熱點部分；而且這部分內容往往易于和其他知識相結合，特別是和三角函數、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識相結合.為更好地說明解三角形知識和其他知識的綜合運用，以及在解題中體現的數學思想方法，本文以一例具體說明.

前不久在江蘇省泰州中學高三數學質量檢測試卷中偶得一題：等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長為3，則△ABC的面積的最大值為？搖？搖？搖.

因為題目的主要條件是①AB=AC；②腰AC上的中線BD的長為3.如何用好腰相等、中線這個條件變得非常重要，也是解決這個問題的關鍵.對于應用這兩個條件的方法不同，帶來我們解決數學問題的思想方法不同，就關鍵條件的運用，具體有七種方法.

一、海倫公式與基本不等式的結合（函數的思想）

解法7.分析：根據條件等腰三角形ABC，中線BD，可聯系平面幾何的知識，作底邊上的中線，這樣中線的交點即為三角形的重心，三角形的重心分中線的比為1：2，利用數量關系可以把求△ABC面積的最值問題轉化為求△BEG的面積的最值問題.而△BEG為直角三角形，面積相對表示，這需要有細致的觀察能力，力求以形助數，利用數形結合思想處理問題也很快捷.

總之，解三角形相關問題，主要是正弦定理和余弦定理的應用.正弦定理是一個關于邊角關系的連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或者等量關系就可以通過約分達到解決問題的目.運用余弦定理時，要注意整體思想的運用.對于給出條件是邊角關系混合在一起的問題，一般地，應運用正弦定理和余弦定理，要么把它統一為邊的關系，要么把它統一為角的關系.再利用三角形的有關知識，三角恒等變形方法、代數恒等變形方法等進行轉化、化簡，從而得出結論.解決正弦定理和余弦定理的綜合應用問題，應注意根據具體情況引入未知數，運用方程思想解決問題；平面向量與解三角形的交匯問題，應注意準確運用向量知識轉化為解三角形問題，再利用正、余弦定理求解.當然在建立相等關系和解決具體問題時需要用到函數、方程、數形結合的思想方法.