從一道瑕積分題引發的思考

崔菊連 劉大蓮

【摘 要】本文從一道例題出發，從多個角度闡述間斷點、無窮間斷點和瑕點的區別。

【關鍵詞】間斷點;無窮間斷點;瑕點

引言

在瑕積分的教學過程中，一道例題lnxdx的出現，引發了學生們的爭論。

由于講瑕積分之前，我先講了瑕點的定義，并對照無窮間斷點的特征，得出了結論：無窮間斷點一定是瑕點。

在給出這個積分時，我先讓他們判斷這個積分是定積分還是瑕積分，得到異口同聲的答復：瑕積分。原因：x=0是瑕點。理由：f（x）=-∞。

但當我給出下面這道選擇題時，教室里開始沉默。

題：x=0是被積函數y=lnx的（ ? ）

A.無窮間斷點;B.瑕點;C.既是瑕點又是無窮間斷點;D.都不是

絕大部分同學選C，有個別同學選了B。

選B的學生提出來一個問題，x=0不是被積函數y=lnx的間斷點，怎么可能是無窮間斷點呢？

選C的同學立刻反對。怎么不是間斷點呢？函數y=lnx在點x=0有定義嗎？沒有吧。所以x=0就是間斷點。又因f（x）=-∞，所以x=0是被積函數y=lnx的無窮間斷點。

為了解決這些問題，本文將針對間斷點、無窮間斷點、瑕點這幾個概念，從定義，圖形、例題等方面進行闡述。本文使用的定義以同濟大學數學系出版的《高等數學》（第六版上冊）為藍本。

一、間斷點的理解

1.間斷點的定義

函數f（x）在x0的某去心鄰域內有定義。如果函數f（x）有下列三種情形之一：

（1）在x=x0處沒有定義;（2）在x=x0處有定義，但f（x）不存在;（3）在x=x0處有定義，且f（x）存在，但f（x）≠f（x）

則函數f（x）在點x=x0處不連續，而x0稱為函數f（x）的間斷點，也稱不連續點。

書上將間斷點分為四種類型：可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點和震蕩間斷點。

從定義的前提看，f（x）在x0的左右兩邊應該都有定義。所以對于間斷點x0來說，是雙邊定義。沒有函數在x0處左間斷或右間斷之說。

2.間斷點在圖形上的體現

連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線。那么間斷點就是使非連續函數的圖形中斷的點。即若x0為函數f（x）的不連續點，那么函數圖形勢必在點x0處斷開。因而在x0的左右兩邊各有一段曲線。由間斷點的定義，可以畫出間斷點的基本圖形。如圖1和圖2

二、無窮間斷點的理解

無窮間斷點的定義：函數f（x）在x0的某去心鄰域內有定義，且左右極限至少有一個是∞，即f（x）=∞或f（x）=∞或f（x）=∞至少有一個成立，則稱x=x0為f（x）的無窮間斷點。

三、無界間斷點（即瑕點）的理解

1.無界間斷點的定義

若函數f（x）在x0的任何鄰域內無界，則稱x0為函數f（x）的無界間斷點，也稱瑕點。本文后面都只說瑕點。

顯然，若函數f（x）在x0的某個鄰域內無界，那么f（x）在包含此鄰域的更大鄰域內無界。

2.瑕點的構成

成為瑕點的前提是函數要在此點的任何鄰域內無界，因而很容易知道，可去間斷點和跳躍間斷點不會是瑕點。那么，哪些點可能是瑕點呢？

情形1 從定義上可知，無窮間斷點一定是瑕點。因為若x0是無窮間斷點，由定義，存在x0的某個去心鄰域，函數f（x）在這個區域內無界，從而f（x）會在x0的任何鄰域內無界，這說明x0為瑕點。

如函數y=ln|x|，因x=0為無窮間斷點，因而為瑕點。

但是瑕點不一定只有無窮間斷點。

情形2 如前面的函數y=lnx，x=0不是函數間斷點，但由于lnx=-∞，可知函數在右鄰域（0，δ）內無界，從而在x=0的任何鄰域內無界，于是x=0是函數的瑕點。

綜上所述，判斷某點是否為給定函數的瑕點的方法還是根據定義來判斷函數是否在此點的任何鄰域內有無界來定。

不過，如果某點x0滿足f（x）=∞或f（x）=∞，那么x0一定是函數的瑕點。（注意x0不一定是函數的間斷點）。

四、結論

回到最開始的積分lnxdx，可知x=0是被積函數lnx的瑕點，不是無窮間斷點。因而選B的同學是對的。

我們要求學生學好數學，不是要他們只會做老師講過的題，得高分，而是希望他們能真正理解數學，從而更好的應用數學。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版上冊）[M].高等教育出版社，2011

[2]吳贛昌.高等數學（上冊，理工類第四版）[M].中國人民大學出版社，2014

【作者簡介】

崔菊連（1972-），女，碩士，籍貫：湖南寧鄉，講師，研究方向：偏微分方程。