基于MATLAB的非圓行星齒輪結構設計

郭守存，李殿起，尚志強,張春鵬，魏爽

(沈陽工業大學， 遼寧 沈陽 110023)

·設計計算·

基于MATLAB的非圓行星齒輪結構設計

郭守存，李殿起，尚志強,張春鵬，魏爽

(沈陽工業大學， 遼寧 沈陽 110023)

非圓行星齒輪機構是液壓馬達的重要組成部分，非圓行星齒輪的設計正確與否將影響液壓馬達的工作特性。本文將基于MATLAB對4-6型非圓行星齒輪的節曲線和齒廓進行設計，通過三維軟件完成非圓行星齒輪機構的建模,在建模的基礎上對齒輪機構進行特性分析，為非圓行星齒輪液壓馬達的設計與應用提供了理論依據。

非圓齒輪；MATLAB；節曲線；齒廓

0 前言

隨著機械工業的發展，對機械傳動機構的復雜化、多樣化的要求愈來愈多，當今的齒輪傳動很難滿足人們的需求。人們突破傳統的標準圓形齒輪傳動的局限而發明了實現變傳動比的非圓齒輪。通過研究發現非圓行星齒輪機構具有傳動穩定、結構緊湊、運動精度高 、速比變化范圍大和易于實現齒輪動平衡等優點[1]。近年來，以非圓行星齒輪機構為泵體的低速大扭矩液壓馬達的運用也日益凸顯，但是大部分泵體都采用3-4型非圓行星齒輪機構[2]，如圖1所示。為了進一步分析仿真和實驗研究非圓行星齒輪機構在液壓馬達中的工作特性，本文將基于MATLAB軟件對4-6型非圓行星齒輪機構進行設計，首先對齒輪節曲線和齒廓的非線性問題進行求解[3，4]，其次通過SolidWorks三維建模完成對非圓行星齒輪的機構整體設計，再次在建模的基礎上進行機構特性分析。基于MATLAB軟件簡化了設計過程，提高了設計精度和減少了計算誤差，為非圓行星齒輪機構的研究及其應用奠定良好的基礎。

1.太陽能 2.行星輪 3.內齒圈圖1 3-4型非圓行星齒輪機構Fig.1 3-4 non-circular planetary gear mechanism

1 基于MATLAB對節曲線設計

非圓齒輪機構運動過程中的支承是依靠非圓太陽輪及非圓內齒圈節曲線的特殊幾何形狀及運動關系來實現的, 因此合理的節曲線設計是非圓行星齒輪機構實現正常工作的關鍵。

圖2是4-6型非圓齒輪行星輪系簡圖[5]，非圓行星齒輪機構包括：內齒圈1、行星輪2和太陽輪3。行星輪是標準圓柱齒輪,內齒圈和太陽輪是非圓齒輪。內齒圈的節曲線邊數是n1，太陽輪節曲線的邊數是n3，行星輪2的節圓半徑是r2。

坐標系O1x1y1是靜坐標系，坐標系O3x3y3是動坐標系，其原點在內齒圈和太陽輪的中心，坐標系O2x2y2是與太陽輪固連的動坐標系，在初始位置，坐標軸O1y1、O2y2和O3y3在同一個方向上。行星輪分別與內齒圈和太陽輪嚙合，行星輪逆時針轉動時，太陽輪順時針轉動。當行星輪轉動一個角度后，行星輪的節圓與內齒圈的節圓曲線在C點接觸，與太陽輪在D點接觸。C點是內齒圈和行星輪的絕對瞬心，D點是太陽輪和行星輪的相對瞬心，O1點是內齒圈和太陽輪的絕對瞬心，根據文獻中的三心定理C,D,O1三點必在一條連線上[6]。

選定內齒圈1為高階橢圓節曲線。

(1)

圖2 非圓行星齒輪結構簡圖Fig.2 Non-circular planetary gear structure

令C點為節曲線切線的正向和非圓齒輪內齒圈向徑r1之間的夾角為μ1，由數學微分幾何方面的知識可知[7]：

(2)

(3)

在動坐標系O3x3y3中，D的極徑為r3，D點的極角為φ3。太陽輪的回轉角速度ω3，由此得到動坐標O3x3y3的回轉角速度為

(4)

(5)

(6)

太陽輪節曲線的極坐標方程為

(7)

在工程應用中, 聯立以上方程式，求內齒圈的節曲線方程和極角方程是很難得到解析解的, 而是通過數值積分的方法求解r3和φ3[8]。本文采用MATLAB軟件進行數值求解，取Rz=47.175 mm，e=0.0729，n1=6，并把節曲線以圖形形式表示出來,如圖3所示。

圖3 非圓行星齒輪節曲線Fig.3 Non-circular planetary gear pitch curve

2 基于MATLAB對非圓齒廓設計

齒輪副是有一個齒輪的齒廓推動另一個齒輪的齒廓傳遞運動的，所以深入探討齒輪的傳動性能，不僅要研究齒輪副及輪系的節曲線，并且要研究齒廓的形成過程[9]。

用齒廓法求非圓齒輪的可用齒廓,分別求出內齒圈和太陽輪齒廓，齒廓分為左右齒廓，下面介紹求取右齒廓的方法。

圖4 非圓齒輪齒廓的形成Fig.4 The formation of tooth profile of non-circular gear

(8)

式中，tu為齒輪基圓的半徑和齒輪齒槽的對稱線之間的夾角。

(9)

式中，x為行星齒輪2的變位系數。

(10)

式中，αs為Fs點的壓力角。

(11)

圖5 非圓行星齒輪齒廓Fig.5 The tooth profile non-circular planetary gear

3 非圓齒輪三維建模及特性分析

通過MATLAB對節曲線和齒廓設計，將分別繪制太陽輪和內齒圈齒廓導入SolidWorks進行三維建模[10]，根據已知行星輪的參數直接從標準庫中調取標準行星齒輪，并進行非圓行星齒輪機構的裝配，如圖6所示。

圖6 非圓行星齒輪三維視圖Fig.6 3D views of non-circular planetary gear

下面通過SolidWorks中motion分析對非圓行星齒輪結構進行動態特性分析[11]，對非圓太陽輪添加一個扭矩，并分別對太陽輪和行星輪之間、行星輪和內齒圈之間添加接觸約束，使其非圓行星齒輪機構可以正常運轉。

(1)行星齒輪齒廓上一點的運動軌跡呈擺線,如圖7所示。在太陽輪運轉一周的過程中，相鄰行星輪之間容積發生多次變化，當非圓齒輪應用到液壓馬達中，將會比普通齒輪液壓馬達工作效率高。

圖7 行星輪的運動軌跡Fig.7 Motion trajectory of planetary gear

(2)當太陽輪給定一個穩定的扭矩時，非圓行星齒輪機構太陽輪的角速度變化是一個幾乎水平的直線，如圖8所示。在非圓齒輪運動的過程中由于齒輪間的接觸摩擦會產生微小的變化。

圖8 太陽輪的角速度Fig.8 Angular velocity of solar gear

(3)行星齒輪機構行星輪的角速度變化規律如圖9所示。當太陽輪輸入一個穩定的扭矩，行星齒輪的角速度呈現出一定規律的變化，在周期性曲線上有很明顯的鋸齒形波動，說明在非圓行星齒輪運動過程中，會出現不同程度的波動。當非圓齒輪機構運用到液壓馬達或其他機構時，也就會產生相應的影響。

圖9 行星輪的角速度Fig.9 Angular velocity of planetary gear

4 結論

(1)本文基于MATLAB對高階橢圓非圓行星齒輪進行設計，其他同類型非圓齒輪，如齒輪節曲線是短幅外擺線、三段圓弧等設計與本文設計方法相同。

(2)本文基于MATLAB軟件對節曲線和齒廓的非線性規劃問題進行求解，保證了求解結果的精度，也簡化了計算過程和計算誤差。

(3)非圓行星齒輪機構設計考慮了變位系數x,防止齒輪跟切的同時，提高了齒輪齒根嚙合強度。

(4)通過對非圓行星齒輪機構特性分析，得知在非圓齒輪運轉的過程中會產生一些波動。

(5)本文通過三維軟件進行建模，有利于分析非圓行星齒輪機構運動特性,并通過分析反應出非圓行星齒輪的應用前景。

[1] 熊鎮芹，吳序堂，高本河.非圓行星齒輪液壓馬達參數設計[J].機床與液壓，2004(5):50-51.

[2] 李瑞鑫.井下動力馬達非圓行星齒輪副的研究與設計[D].北京：中國地質大學，2011.

[3] Bair B W.Computer Aided Design of Elliptical Gears[J].Journal of Mechanical Design，2002，124(12)：787-793.

[4] TONG S.H.,YAGN C.H. Generation of identical non circular pitch curves[J]. ASME, 1998,120(2):337-341.

[5] 姚文席. 非圓齒輪設計[M]. 北京：機械工業出版社，2012.

[6] 孫恒，陳作模.機械原理(5版)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[7] 李磊,杜長龍,楊善國.基于MATLAB的非圓行星齒輪機構節曲線求解[J].煤礦機械, 2008,1.

[8] 吳序堂, 王貴海. 非圓齒輪及非勻速比傳動[M] .北京: 機械工業出版社, 1997.

[9] 苑明杰.非圓齒輪參數化設計關鍵技術研究[D].蘭州：蘭州理工大學，2013.

[10]高雪強，葛敬俠.SolidWorks 中的非圓齒輪實體建模方法研究[J].工程圖學學報,2009(4)： 190-191.

[11]胡赤兵，苑明杰，劉永平，等.非圓行星齒輪機構的參數設計與三維造型[J]. 蘭州理工大學學報，2013(4)：42-45.

Structural design of non-circular planetary gear based on MATLAB

GUO Shou-cun，LI Dian-qi，SHANG Zhi-qiang，ZHANG Chun-peng，WEI Shuang

(School of Mechanical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110023, China)

Non-circular planetary gear mechanism is a key element of hydraulic motor. A properly designed non-circular planetary gear is essential for the operating characteristics of the hydraulic motor. An analysis of the pitch curve and tooth profile for 4-6 non-circular planetary gear were put forward and programmed by the MATALB software，and a 3D structural design model of non-circular planetary gear was obtained. Based on characteristic analysis of the model, some theoretical basis are presented for the design and application of non-circular planetary gear hydraulic motor.

non-circular gear; MATLAB; pitch curve; tooth profile

2015-10-13；

2015-12-24

國家自然科學基金(No.51105257,No.51310105025)；遼寧省高等學校杰出青年學者成長計劃(No.LQJ2014012)；中國博士后科學基金(No.2015M571327)

郭守存(1988-)，男，沈陽工業大學碩士研究生，研究方向為非圓齒輪的嚙合原理及應用。

TH132.424

A

1001-196X(2016)04-0049-04