基于時滯分割方法的VTOL直升機魯棒非脆弱H∞控制

惠俊軍，張合新，陳 伊，李 明

(1.陜西省寶雞市150信箱11分箱，陜西 寶雞 721013；2.火箭軍工程大學，西安 710025)

基于時滯分割方法的VTOL直升機魯棒非脆弱H∞控制

惠俊軍1，張合新2，陳 伊1，李 明1

(1.陜西省寶雞市150信箱11分箱，陜西 寶雞 721013；2.火箭軍工程大學，西安 710025)

針對含有飛行時滯的垂直起降(VTOL)直升機系統設計了時滯相關魯棒非脆弱H∞控制器。基于時滯中點值把時滯區間均分為兩部分,針對每一分割區間構造新的Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函，并結合L-K穩定性定理、積分不等式方法和自由權矩陣技術，建立了新的基于線性矩陣不等式(LMI)形式的時滯相關有界實(BRL)條件。在此基礎上設計了該系統的非脆弱H∞控制器，通過求解線性矩陣不等式的可行解得到控制器的參數化表達式。最后應用于VTOL直升機的飛行控制仿真表明，所設計的控制器具有更好的魯棒性和非脆弱性。

非脆弱；H∞控制；Lyapunov-Krasovskii泛函；時滯分解；線性矩陣不等式

0 引言

時滯現象常存在于導彈的制導、飛行器的控制與航空航天系統當中，它的存在一方面使得系統的分析與控制器的設計變得復雜，另一方面可以導致系統性能惡化甚至不穩定。近年來,時滯系統的穩定性分析與控制問題成為控制理論研究的熱點問題[1-2]。

VTOL直升機的垂直起降控制是一種典型的含有時滯的動態控制系統。在實際的飛行控制當中，常規的魯棒控制器設計方法(如H∞、H2和μ綜合)，僅考慮系統參數的不確定性，而沒有考慮控制器本身參數的不確定性。然而，在實際控制器的實現中，由于硬件(如A/D、D/A轉換)、軟件(如計算截斷誤差)等原因，使得控制器存在一定的不確定性[3]。Keel等[4]指出，當控制器參數存在攝動時，常規的魯棒控制器表現出高度的脆弱性，從而造成閉環系統的性能下降甚至控制器失效。所以對非脆弱控制器的研究引起人們的關注[5-12]。文獻[5-8]和文獻[9-12]分別針對時滯系統的非脆弱H∞控制問題和非脆弱保性能控制問題進行了深入研究。在這些研究中，主要圍繞如何降低所得結論的保守性和滿足一定的性能指標而展開。就研究方法而言,主要有自由權矩陣方法、積分不等式方法和時滯分割方法等。在上述方法中，自由權矩陣方法和時滯分割方法有利于降低結論的保守性；然而,這兩種方法都會隨著引入過多矩陣變量和分割數的增大而增加計算負擔，且不利于控制器的設計。積分不等式方法形式簡單，含矩陣變量較少，利于理論分析和計算；然而如何構造縮放程度較小的不等式是一個難題。在兼顧結論的保守性、計算的復雜性和控制器的實現上，Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函和界定條件的合理選取成為目前研究的一個重點問題。

本文主要采用時滯分割和積分不等式相結合的處理方法，研究了VTOL直升機的非脆弱H∞控制問題。首先通過時滯分割構造適當的L-K泛函并結合積分不等式方法，建立時滯相關有界實(BRL)條件，在此基礎上設計了非脆弱控制器。最后把該控制器應用于VTOL的飛行控制當中，仿真結論表明了設計方法的有效性，相比一般魯棒控制器具有更好的鎮定效果和明顯的非脆弱性。

1 問題描述

某型VTOL直升機動態運動的線性化數學模型可描述如下[13]:

(1)

其中,x(t)=[vh,vv,q,θ]T為系統狀態向量,vh、vv、q、θ分別是VTOL直升機的水平速度、垂直速度、俯仰角速率和俯仰角。u(t)為控制向量,z(t)為被調輸出,ω(t)為擾動輸入向量。h(t)為時變連續的函數且滿足

(2)

針對系統(1)定義如下性能指標

(3)

其中,γ>0為給定標量。本文主要目標是針對外部干擾作用下的系統(1),設計一個狀態反饋非脆弱H∞控制器

u(t)=(K+ΔK)x(t)

(4)

其中, K為控制器增益;ΔK為增益攝動，并滿足

(5)

使得滿足以下兩個條件:

1)ω(t)=0時,由(4)構成的閉環系統(1)漸近穩定；

2)對于給定的γ>0,在零初始條件下對于‖z(t)‖2<γ2‖ω(t)‖，ω(t)∈L2[0,∞]。

把非脆弱控制器(4)代入系統(1),則閉環系統為：

(6)

其中,Ak=A+BuK+BuΔK，Ck=C+DuK+DuΔK。

為了證明方便，首先給出如下引理。

引理1[14].對于任意定常矩陣W∈n×n，W=WT>0,標量h:=h(t)>0和向量函數n,以下相關積分項有定義,則有:

其中,

引理2[15].設h1≤h(t)≤h2,其中h(t):+→+,那么,對于任意的R=RT>0,下面的不等式成立

其中,

引理 3[16].假設γ1≤γ(t)≤γ2,其中γ(·):+→+,那么,對于任意適當維數的常數矩陣Ξ1、Ξ2和Ω,下面的矩陣不等式成立

Ω+(γ(t)-γ1)Ξ1+(γ2-γ(t))Ξ2<0

當且僅當

Ω+(γ2-γ1)Ξ1<0,Ω+(γ2-γ1)Ξ2<0

引理4[17].給定具有適當維數的矩陣Q=QT,H，E,則有Q+HF(t)E+ETF(t)THT<0,對任意滿足F(t)TF(t)≤I的F(t)成立的充要條件是存在ε>0,使得

Q+ε-1HHT+εETE<0

2 時滯相關有界實引理(BRL)

(7)

(8)

證明:首先基于時滯中點值hδ，把時滯區間[hm,hM]均分成兩部分,即[hm,hδ]和[hδ,hM]。

V1(t)=V11(t)+V12(t)+V13(t)

(9)

其中

取泛函沿系統(6)的導數有

xT(t-hδ)Q1x(t-hδ)-

(1-μ)xT(x-h(t))Q2x(t-h(t))-

xT(t-hM)Q3x(t-hM)-

(10)

其中，W、H為定理1所定義。由積分不等式可得:

(11)

(12)

由引理1和引理2分別有

(13)

(14)

(15)

另一方面,由系統(6)有以下恒等式

(16)

其中,T1、T2為適當維數的自由權矩陣。

把式(11)～式(16)代入式(10)中,并定義增廣向量

(17)

其中

對于給定的γ,考慮性能指標J(ω),則把z(t)Tz(t)-γ2ωT(t)ω(t)加到不等式(17)兩邊，可得

(18)

(19)

那么

(20)

V(t)|t=0<0

(21)

即‖z(t)‖<γ‖ω‖2,從而閉環系統在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ。

其中,

(22)

(23)

那么

(24)

從而閉環系統在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ。

由于hM-hδ=hδ-hm=δ,對式(19)或式(23)應用引理3以及Schur補,即可得定理1中的式(7)和式(8)。

3 H∞非脆弱控制器的設計

本節在第2節BRL的基礎上,設計非脆弱H∞控制器。

(25)

(26)

則系統(1)在非脆弱控制器(4)的作用下不僅漸近穩定，而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ,且控制器增益K=YX-T。其中,

XAT+YTBT,

證明：由于定理1中式(7)和式(8)給出的條件為非線性矩陣不等式,不能直接得到控制器的解。下面給出控制器的設計方法，首先將式(7)和式(8)中的不確定項(即含ΔK項)分離，即

(27)

(28)

其中

(29)

(30)

其中

進而對式(29)和式(30)應用Schur補可得

(31)

(32)

令T1=T2=X-1,其中X為非奇異矩陣，對式(31)和式(32)兩邊左乘Ψ，右乘其轉置，其中

4 設計實例

當不加外部控制(即u(t)=0)時，該系統的開環響應曲線如圖1所示，顯然系統是不穩定的。

圖1 VTOL系統狀態開環響應曲線Fig.1 Response of state with the open-loop system of VTOL

下面分析系統在控制器作用下的鎮定性能。設時滯下界hm=0，首先在無外部干擾和控制器增益攝動的情況下設計控制器。當hM=7時，由定理1可求得狀態反饋矩陣為

將其代入系統方程可得系統各狀態響應曲線，如圖2所示。

圖2 VTOL系統狀態閉環響應曲線Fig.2 Response of state with the closed-loop system of VTOL

可見在控制器的作用下,系統各狀態很快收斂,且具有較好的穩定性能。

為了進一步分析控制器的非脆弱性能。假設在幅值0.1的正弦干擾和控制器增益攝動的情況下，針對hM=7的定常時滯進行仿真,其中攝動參數取為：

擾動矩陣Fa∈R2×2,則由定理2可求得最小的干擾抑制水平γ=0.9716,相應的控制增益矩陣為

在非脆弱控制器K1的作用下，系統狀態響應曲線如圖3所示。

圖3 魯棒非脆弱控制器下系統狀態響應曲線Fig.3 Response of state with robust non-fragile controller

當控制器不存在增益攝動時(即設攝動參數Da和Ea為零)，同樣取γ=0.9716,由定理2可得一般魯棒控制器增益矩陣

相應的系統狀態響應曲線如圖4所示。

圖4 一般魯棒控制器下系統狀態響應曲線Fig.4 Response of state with robust controller

以狀態x1(t)為研究對象，圖5給出了在相同條件下，非脆弱控制器和一般魯棒控制器下的鎮定效果比較。

圖5 不同控制器作用下的狀態x1響應曲線Fig.5 Response of state x1with different controller

由圖3～圖5可以看出，當存在控制器增益攝動時，非脆弱控制器K1與一般控制器K2相比,系統狀態在控制器K1的作用下，能夠滿足一定的性能指標，且容許控制器增益的攝動；而在K2的作用下表現出明顯的脆弱性,系統狀態振蕩較大，收斂較慢。

5 結論

本文針對含有飛行時滯的VTOL直升機系統設計了魯棒非脆弱H∞控制器。通過設計L-K泛函并結合LMI的方法得到了系統穩定的BRL條件和非脆弱控制器。該控制器無需任何的參數調整和迭代處理即可求解。將控制器應用于VTOL直升機的飛行過程,仿真過程表明了所設計的控制器相比一般魯棒控制器具有更好的鎮定性能和非脆弱性。

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A Delay Decomposition Approach to Robust Non-fragileH∞Control for VTOL Helicopter

HUI Jun-jun1,ZHANG He-xin2,CHEN Yi1, LI Ming1

(1. MailBox 150 Extension 11, Baoji Shanxi 721013, China;2. The Rocket Force Engineering university ,Xi’an 710025,China)

The delay-dependent robust non-fragileH∞controller for a vertical taking-off and landing (VTOL) helicopter system with flight time-delays is investigated. Based on the delay decomposition method, the whole delay interval is divided into two equidistant subintervals at its central point and new Lyapunov-Krasovskii (L-K) functionals are introduced on these intervals. Then, by using L-K stability theorem , integral inequality method together with free weighting matrix approach, a new delay-dependent BRL is formulated in terms of linear matrix inequality. Based on this, non-fragileH∞controller is designed for this system. At last, simulation results show that the designed controller has good robust and non-fragile performance.

Non-fragile;H∞control；Lyapunov-Krasovskii(L-K)functional; Delay decomposition approach; Linear matrix inequality

10.19306/j.cnki.2095-8110.2016.06.007

2016-02-14；

2016-03-07。

惠俊軍(1977 - )，男，博士，工程師，主要從事飛行器控制方面的研究。E-mail: ep22stone@163.com

TP13

A

2095-8110(2016)06-0033-07