數(shù)列中有關(guān)an與Sn的問題探究

謝敏

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號：1002-7661（2016）05-376-01

數(shù)列中的an與Sn關(guān)系密切，即Sn=a1+a2+a3+…+an，且Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1，所以an=Sn-Sn-1（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1. 由此an與Sn的關(guān)系問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，也是有關(guān)數(shù)列知識(shí)的高考題中經(jīng)常考查的內(nèi)容之一，而學(xué)生在對an與Sn的關(guān)系把握中，也容易犯錯(cuò)誤，比如運(yùn)用公式時(shí)，把條件n≥2忽略掉，還有有時(shí)對特殊數(shù)列等差、等比數(shù)列的求和公式掌握不夠。故筆者歸納總結(jié)了an與Sn有關(guān)的相關(guān)題型，如下：

一、 等差、等比數(shù)列求和公式在解題中的靈活運(yùn)用

例1.（2007.天津）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d是2，前n項(xiàng)的和Sn，則 =_______

解：設(shè)an=2n+b， Sn=n2+cn

則 = =3

評注：主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)，求和公式的靈活運(yùn)用。

例2（2001.常德統(tǒng)考）{an}為首項(xiàng)是正數(shù)的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn=80，前2n項(xiàng)和S2n=6560，在前n項(xiàng)中數(shù)值最大者為54，

求：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：∵Sn=80， S2n=6560 ∴q≠1

⑵÷⑴ 得1+qn=82， ∴qn=81………⑶

將⑶代入⑴有 ∴a1=q-1

∵a1>0 ∴q>1 ∴{an} 為遞增數(shù)列

∵an=54 a1qn-1=54， ∴a1=

∴a1=2 q=3 ∴an =2·3n-1

評注：巧妙地先用求和公式把，S2n建立方程組，求出q>1，知{an}為遞增數(shù)列，再求出a1和q，得通項(xiàng)an。

二、直接運(yùn)用公式an=sn-sn-1求解

例3.（2007.重慶）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足S1>1，且6Sn=（ an +1）（ an +2） n∈N*，求{an}的通項(xiàng)公式

解：由a1=S1= （a1+1）（a1+2），得a1=1或a1=2

∵a1=S1>1 ∴a1=2

又∵an=Sn-Sn-1=（an+1）（an+2）-（an-1+1）（an-1+2）

（an+an-1）（an-an-1-3）=0

∴an-an-1=3或an+an-1=0

∵an>0 ∴an-an-1=3

∴{an}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列

∴an=3n-1

評注：用Sn與an的關(guān)系求出an，知{an}為等差數(shù)列，進(jìn)一步得通項(xiàng)公式。

三、運(yùn)用公式an=Sn-Sn-1時(shí)注意條件n≥2

例4（2002.北京）已知數(shù)列前項(xiàng)和為Sn，滿足 ，求通項(xiàng)公式an

解：∵ ∴ 2n+1=1=Sn

∴Sn=2n+1-1

當(dāng)n=1 S1=a1=3

當(dāng)n≥2 an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2·2n-2n=2n

又∵n=1時(shí) a1=2≠S1=3

∴an=

評注：由前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式an時(shí)，要分n=1和n≥2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一式子表示。若不能，就用分段函數(shù)表示。

四、Sn+1=Sn+an+ 1型公式的運(yùn)用

例5.（2008.四川）設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，已知a1=a an+1=Sn+3n n∈N*。設(shè)bn=Sn-3n，求{bn}的通項(xiàng)公式

解：∵Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n

∴Sn+1=2Sn+3n

Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）

∴Sn-3n=（a-3） ·2n-1

∴bn=Sn-3n=（a-3） ·2n-1 n∈N*

評注：由Sn+1-Sn=an+1代入條件，可得為{ Sn-3n }等比數(shù)列，然后求bn。

五、巧用an與Sn的關(guān)系

例6.在數(shù)列{an}中a1= ，Sn=n2 an ， 則Sn等于（ ）

A. B. C. D.

解：∵Sn=n2 an………⑴∴Sn+1=（n+1）2an+1………⑵

⑵-⑴ 得an+1=（n+1）2an+1- n2 an [（n+1）2-1]an+1= n2 an

∴

∴ ∴ ∴選A

評注：利用了an與Sn的關(guān)系后，再利用累乘法求出an，代入原式再求出Sn。