全面聚焦考點 從容應對高考

郭建華 于健

數列是高考中一道亮麗的風景線，可謂?？汲Ｐ?由于數列內容豐富，題型廣泛，解法靈活，所以在每年高考命題中一直占有比較重要的地位，深受高考命題者的青睞.2015年的新課程試卷普遍考查了數列問題，題型涉及選擇、填空和解答題，平均分值為17分.分析近年高考試題可知，本章考查的主要內容如下表所示：

【誤區警示】

此類問題應重視對n=l和n≥2兩種情況的討論；特別注意an=Sn-Sn-1中需要n≥2.

【變式1】

設數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=3n?-n+2（n∈N*），求數列{an}的通項公式.

考點一：數列的基本概念

考向：由Sn與Sn-1關系求通項公式

例1 已知數列{an}的前n項和Sn、滿足Sn=3n+b，求數列{an}的通項公式.

命題透析：本題主要考查通項an與前n項和Sn之間的關系，不要忘記對an=Sn-Sn-1（n≥2）的條件的驗證.

答案解析：a1=S1=3+b，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1+b）=2·3n-1.當b=-1時，a1適合此等式；當b≠-1時，a1不適合此等式.所以當b=-l時，an=2·3n-11；當b≠-1時，

考點二：等差數列、等比數列的通項與求和

考向：等差、等比數列的基本運算

已知等比數列{an}的前n項和為S3，若S3+3S2=0，則公比q=_________.命題透析：本題主要考查利用方程思想求解等差、等比數列的基本量.

例3 （2013浙江）在公差為d的等差數列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數列.

（Ⅰ）求d，an；

（II）若d<0 ，求 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

命題透析：本題主要考查等差數列、等比數列的概念，等差數列通項公式、求和公式等基礎知識，同時考查運算求解能力.

答案解析：（I）由題意5a3·a1=（2a2+2）?，即d?-3d-4=0.故d=-l或d=4所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*.

考點三：等差數列、等比數列的基本性質

（1）在等差數列{an}中，若S30=20，S90=80，則S60=____.

（2）等比數列的前n項和為Sn，若Sn=48，S2n=60，則S3n_____.

命題透析：本題主要考等差、等比數列前n項和的性質.

答案解析：（1）設S60=X，又S30，S60-S30，S90-S60成等差數列，即20，x-20，80-x成等差數列，則20+80-x=2（x-20），則x=140/3.（2）根據等比數列的性質，可得Sn；S2n-Sn；S3n-S2n成等比數列，即48；60-48；S3n-60成等比數列，則48（S3n-60）=12?，則S3n=63.

考點四：利用數列的遞推關系求通項公式

考向：利用數列遞推關系求通項公式

例5 （1）已知數列Y滿足al=l，an+1=2an+1，求數列{an}的通項公式.

考點五：非特殊數列的求和

考向1：利用裂項法求數列的和

命題透析：本題主要考查利用裂項法求數列的和.

考向2：利用錯位相減法求數列的和

例7 已知{an}是等差數列，其前n項的和為sn，{bn}是等比數列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30.

（I）求數列{an}和{bn}的通項公式；

考點六：數列的綜合應用

考向1：數列中的存在性問題

已知無窮數列{an}中，al，a2，…，am是首項為2，公差為-2的等差數列；am+1，am+2，…，a2m是首項為1/2，公比為1/2的等比數列（其中m≥3.m∈N*），并對任意的n∈N*，均有an+2m=an成立.

（I）當m=12時，求a2010；

（Ⅱ）若a52=1/128，試求m的值；

（Ⅲ）判斷是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m+3≥2014成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由.

命題透析：本題主要考查數列中的存在性問題的探索思路.

答案解析：（I）當m=12時，由an+2×12=an，得數列的周期為24，因為2014=24x83+22，而a22，是等比數列中的項，所以.

（Ⅱ）設amtk是第一個周期中等比數列中的第k項，則amtk=（1/2）^k.因為1/128=（1/2）⁷，所以等比數列中至少有7項，即m≥7，則一個周期中至少有14項所以a52最多是第三個周期中的項.若a52是第一個周期中的項，則a52=am+7=1/128，即m=45；若a52是第二個周期中的項，則a52=a4m+m+7=a5m+7=1/128百，得5m=45.即m=9；若a52是第三個周期中的項，則a52=a4m+m+7=a5m+7=1/128，得5m=45，即m=9.綜上，m-9，m-15，m=45.

（Ⅲ）因為2m是此數列的周期，所以S128m+3表示64個周期及等差數列的前三項的和.所以S2m最大時，S128m+3最大.又因為所以當m=6時，S2m取得最大值，S128m+3最大值為24=2007，因此，不存在m（m≥3，m∈N*），使得Sl28m+3≥2014成立.

考向2：利用函數思想解決數列問題

例9 設a>o，若且數列{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是______.

命題透析：本題主要考查數列的單調性

答案解析：由數列{an}是遞增數列，得解之得2

概率

概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量.概率和實際生活有緊密的聯系，也是高考的重要考點之一.在近幾年的每一份數學高考試卷中，至少保持有一道客觀題和一道主觀題，難度中等，且題型相對連續、穩定，突出考查基本概念和基本公式，同時考查同學們的抽象概括、運算求解能力.分析近年高考試題可知，本章主要考查的考點、考向、易錯點如下表所示：

考點一：隨機事件與概率

考向：判斷隨機事件的類型

下列事件：①當x是實數時，x-|x|=2；②某班一次數學測試，及格率低于75%；③從分別標有0，1，2，…，9這10個數字的紙團中任取一個，取出的紙團是偶數；④體育彩票某期的特等號碼.其中是隨機事件的是（）.

A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④

命題透析：本題主要考查隨機事件的定義.

答案解析：由隨機事件的定義知②③④是隨機事件，故選C.

考點二：等可能事件的概率

考向1：古典概型

（2013山東）某小組共有A、B、C、D、E五位同學，他們的身高（單位：米）以及體重指標（單位：千克，米z）如下表所示：

（I）從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；

（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率.

命題透析：本題主要考查古典概型等基礎知識和基本技能.

答案解析：（I）從身高低于1.80的同學中任選2人，可得到滿足條件的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（c，D），共6個.由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的.選到的2人都在1.78以下的目標事件只有（A，B），（A，c），（B，c），共3個，因此選到的2人都在1.78以下的概率為P1=3/6=1/2.

（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D）（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10個.由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的.選到的2人都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的目標事件只有（c，D），（c，E），（D，E），共3個.因此選到的2人身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率為p2=130.

考向2：幾何概型

（2012湖北）如圖1，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內隨機取一點，則此點取白陰影部分的概率是（）

命題透析：本題主要考查幾何概型的概率，能正確識圖是解題關鍵.

答案解析：令DA=1，扇形OAB為對稱圖形，設ACBD圍成的面積為S1，兩個半圓交叉部分圍成的面積為S2，作對稱軸OD，則過C點（如圖2）.S2即為以OA為直徑的半圓面積減

考點三：互斥事件有一個發生的概率

考向：互斥事件的概率

一盒中裝有各色球12只，其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球，從中隨機取出1球，求：

（I）取出一球是紅球或黑球的概率；

（Ⅱ）取出一球是紅球或黑球或白球的概率.

命題透析：本題主要考查互斥事件概率加法公式的應用.

答案解析：記事件A1={任取1球為紅球{A2={任取1球為黑球}；A3={任取1球為白球}；A3={任取1球為綠球}，則P（A1）=5/12，P（A2）=4/12，P（A3）=2/12 ，P（A4）=1/12.根據題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得：

（I）取出一球是紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=9/12；

（Ⅱ）取出一球是紅球或黑球或白球的概率為P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=11/12.

考點四：相互獨立事件同時發生的概率

考向：相互獨立事件的概率

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是2/3和3/4.假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.

（I）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；

（Ⅱ）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；

、

（Ⅲ）假設某人連續2次未擊中目標，則停止射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

命題透析：本題主要考查排列、組合的實際應用，相互獨立事件的概率乘法公式.

答案解析：（I）記“甲連續射擊4次，至少有一次未擊中目標”為事件A，，由題意知，射擊4次相當于做4次獨立重復試驗，故.

（Ⅱ）記“甲射擊4次，恰有2次射中目標”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次射中目標”為事件B2，則2.

由于甲、乙射擊相互獨立，故.

（Ⅲ）記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3“乙第i次射擊末中”為事件D1（i=1，2，3，4，5）.則，且，由于各事件相互獨立，故P（A3）=P（D5）.

考點五：離散型隨機變量的分布列、期望與方差

某班組織的數學文化節活動中，通過抽獎產生了5名幸運之星.這5名幸運之星可獲得A、B兩種獎品中的一種，并規定：每個人通過拋擲一枚質地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品，拋擲點數小于3的獲得A獎品，拋擲點數不小于3的獲得B獎品.

（I）求這5名幸運之星中獲得A獎品的人數大于獲得B獎品的人數的概率；

（Ⅱ）設X，Y分別為獲得A、B兩種獎品的人數，并記ζ=|X-Y|，求隨機變量ζ的分布列及數學期望

命題透析：本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差的求法.

答案解析：這5名幸運之星中，每人獲得A獎品的概率為，B獎品的概率為（I）因獲得A獎品的人數大于獲得B獎品的人數，故獲得A獎品的人數可能為3，4，5，