數學思想方法是數學教學的立足點

福建省將樂縣第四中學 楊永泰

數學思想方法是數學教學的立足點

福建省將樂縣第四中學 楊永泰

“數學課程標準”在總體目標中提出：“通過義務教育階段的數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”在中小學數學教學中，教師有計劃、有意識、有步驟地滲透一些數學思想方法，是體現義務教育性質，落實課程目標，提高學生數學素養的重要舉措。

數學思想方法 換元 類比轉化 數形結合 分類

數學思想方法作為數學學科的“一般原理”，在教學中是至關重要的，因此，教學中滲透數學思想方法是提高學生數學素養的重要舉措。在初中數學教學中，教師應把握時機，適時不斷滲透和傳導數學思想，它是數學教學的立足點。下面我就結合平時的教學，談談幾種常見的數學思想在教學中的滲透。

一、換元思想

用字母表示數是初等代數的核心思想，這是初中數學中最早出現的換元思想，以后在每個知識環節中會反復接觸到，尤其是在因式分解、整式乘法、分式、二次根式的加減運算和解方程等內容中都不斷地運用這一基本思想指導解題活動。教學中，教師應注重通過設計問題序列，暴露“元”的形成背景，讓學生了解“元”的產生與變化形式，引導學生用換元思想進行解題。例如：代數第三冊P29例5和例6。

例題5：把多項式x2-y2+ax+ay分解因式

例題6：把多項式a2-2ab+b2-c2分解因式

我在教學中設計了如下問題序列：

A：探索例5時：①將bm+am分解因式怎么樣分解？②然后把m換成（x+y）后問學生：b（x+y）+a（x+y）怎么樣分解？③接下來把b換成（x-y）即：（x-y）（x+y）+a（x+y）怎么樣分解？④最后問學生例1該怎么樣分解？

B：探索例6時：①出示a2-c2如何分解因式 ？②（a-b）2-c2如何分解？③例題2如何分解？

這種用換元的方法由簡到繁地展示解題過程，不僅解決了這節課教學中的難點，而且使學生認識到問題的形式可變得越來越復雜，但原型相同，達到了化繁為簡的目的。

二、類比思想

類比是依據兩個數學對象的相似性，把其中一個數學對象（已知的知識）遷移到另一個數學對象上，從而獲得對后一個對象的新知識。類比是偉大的引路人，是很有創造性的一種思想方法。數學家拉普拉斯指出：“在數學里發現真理的主要工具是歸納和類比。”數學中根據類比對象間某些相同或相似的屬性，引導學生大膽進行推理和聯想，可使學生開辟出新知識的天地和產生創造性的靈感。

例如，在學開方運算一節時從加與減、乘與除的互逆運算中，引導學生聯想乘方是否也有逆運算？從而引入開方的知識。在學習相似三角形的性質和判定時，從全等三角形的性質和判定引導學生去猜想推證相似三角形應具有哪些性質和判定，并結合實際事例說明全等是大小相等，形狀相同，而相似是大小不等，形狀相同，因而教師可大膽地讓學生通過合理的猜想和推測而得到相似三角形有關的性質和判定，然后在教師的指導下進一步進行論證。在復習分式一章時，我采用列表把分數的概念、性質和運算與分式的概念、性質和運算通過類比的思想方法逐項對照，學生不難看出分式的概念、性質和運算與分數的概念、性質和運算只有一個“數”改成“式”而已。使學生在分數的基礎上深刻理解分式，充分體現了“數式通性”的原則。

這樣通過類比進行教學，學生好理解，易接受，便記憶。總之，在教學中通過類比可開闊學生的思路，啟迪思維，由此及彼，由表及里。

三、轉化思想（化歸思想）

轉化思想是根據已有的知識經驗，通過觀察，類比聯想等方法將一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想，體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題的思想。它能化新為舊，化繁為簡，化隱為顯，化一般為特殊，化未知為已知，化抽象為具體。教材中的每一章節都充分體現轉化思想,它是解決數學問題的關鍵。在教學中的一個重要出發點就是如何建立學生原有知識的結構與新知識之間的相應聯系，以激發學生有意義地學習。教師如何教會學生將問題進行有意義的轉化是提高數學素質的關鍵所在。在教學中,我們要不斷誘發學生轉化問題的欲望，使之形成自覺轉化的意識。

例如，在對“三角形內角和”的探索中，我首先讓每位學生剪一個三角形，再把它的三個角剪下來拼在一起，這正好與已有的知識經驗（平角的定義）產生了聯系。然后我引導學生從圖形上將三角形的三個角移到一起，這就不難得出下面的一些轉化辦法：（如圖）

通過添加平行線可把三角形的三個內角移到一起，正好合成了一個平角，從而得出“三角形的內角和等于180°”。

又如，拋物線的頂點P（-2，8）與x軸的交點為A（2，0），C（-6，0），與y軸的交點為B（0，6），求四邊形ABPC的面積。

這道題要我們求四邊形ABPC的面積，由于它是一個不規則的任意四邊形，只有通過轉化為幾個三角形與特殊四邊形才能求解，這時要啟發學生連接OP，則△COP與△BOP與△AOB的面積之和就是四邊形ABPC的面積，即：S四邊形ABPC=S△COP+S△BOP+ S△AOB=24+6+6=36。

這種轉化思想具有普遍的意義，在解題實踐中被廣泛應用。

四、數形結合思想

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而數學研究是圍繞著數與形進行的。“數”就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；“形”就是圖形、圖像、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形。華羅庚曾說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。數學最本質的特點是抽象，然而數學教學要求把抽象的東西形象化，又通過直觀的形象來深化抽象的內容，因此，教師在教學時要不斷創設數形結合的情景。

數軸是數形結合的良好載體，初中代數的大部分內容，如果讓數軸參與其中，這部分內容就顯得格外形象、直觀、生動。假若不等式組的解集不在數軸上標出各個不等式的解集來，則其公共部分就不易確定。