關注學生的“二次思維”

李邦國

【摘要】初始思維是一種“原生態”思維，它是以學生自我認知為根本出發點，是對問題進行初次思維嘗試。由于受思維片面性、感性、孤立性的影響，思考往往呈現出非線性的特點，常常不能觸及問題本質。而數學學習是以知識為載體，以發展學生思維能力為核心。對于這種“淺層次”的思維，我們必須以學生的“初始思維”為基礎，促進“二次思維”的有效開展，實現思維認知的突破，提升學生思維品質。

【關鍵詞】初始思維二次思維基礎深入化個性化

數學的學習是以知識為載體，以發展學生思維能力為核心。由于學生的思維是感性的、片面的、孤立的，往往呈現出非線性的特點，面對問題初始思考常常不能觸及問題的本質。所謂的“二次思維”就是在此時教師引導學生開展再次思考，在這個過程中喚醒、激發、深化學生的思維認知，提升學生的思維品質。然而有效開啟學生的“二次思維”，其中思維的銜接、深入、發展問題就必須引起我們足夠的重視與思考。

一、 以學生的“初始思維”為基礎

初始思維是學生以自我認知為出發點，對問題進行初次的思維嘗試。在此過程中難免會出現認識偏差、思考不足乃至于錯誤，這都是學生最真實、最樸素的思維展現，是重要的教學資源。初始思維更多的是一種“原生態”思維，通過它教師能為學生思維現狀準確號脈。

“二次思維”是學生“初次思維”的延續，是對不完善思維的再次思考。孔子曰：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。”二次思維的開展并不是一種思維強加于另一種思維，而是一種智慧啟迪另一種智慧的過程。它以學生的思考角度為根本出發點。以學生的初始思維為基礎，教師則以一個同行者的角色去引導，促使學生兩次思維的銜接處實現認知的突破。

【案例1】0.37÷0.3

師：誰來說一說你的解題過程？

生：我利用商不變法則轉化成3.7÷3，答案等于1.2余0.1。

生：我們也是先運用商不變法則將它轉化為除數是整數的除法，答案也是1.2余0.1。

[初始思維]

師：我們有什么辦法檢驗答案是否正確呢？

生：我們可以看余數是否大于除數，本題余數是0.1小于除數0.3所以計算的結果是正確的。

生：也可也通過乘法進行驗算，用商乘除數再加上余數看結果等不等于被除數。

師：請同學們用自己的方法檢驗答案是否正確。（學生獨立完成檢驗）

生：我們通過驗算發現計算的結果為0.46與被除數不相等，所以答案存在問題。

師：從余數的角度進行驗算是正確的，而從計算的角度為什么會得出相反的結論。

生：看余數只能初步的判斷，計算才是準確的判斷。

師：那問題出現在哪里呢？（學生獨立思考嘗試找出問題的所在）

生：在驗算時我發現1.2×0.3=0.36，如果余數是0.01就能得到0.37這個結果。

[二次思維]

師：一個大膽的想法，余數可能存在問題。

生：我剛才再次看了豎式中余數的位置，“1”對應的位置是3.7的十分位，也是沒轉化前0.37百分位，如果按后一種看法余數就是0.01。

生：我覺得他的看法有道理，商是1.2余數是0.1是3.7÷3的計算結果，對于原來算式0.37÷0.3來說“1”應該是百分位上的，所以余數是0.01。

師：你們同意他們的看法嗎？

生：同意，但最好再舉一個例子說明。

師：想法很好，請你們完成0.25÷0.2。

生：通過計算我認為他們的說法是正確的。

生：在利用商不變解決除數計算時，商是不變的余數是變的，余數是多少要看與對于原被除數所對應的數位。

縱觀上面的教學過程，學生解決0.37÷0.3時以沒有余數的小數除法為思維起點，在成功地運用“商不變法則”實現知識的轉化的同時，卻未考慮由此對余數所產生的影響。對于上述思考不充分、不全面，站在學生角度是完全可以被理解的。為此教師以讓學生對計算結果進行驗算的方式，扣起了學生的“初始思維”之門。學生在對問題的探索中步步緊逼問題的所在，在對所列豎式的自我反思中更是提出了大膽設想：“我在驗算時我發現1.2×0.3=0.36，如果余數是0.01就能得到0.37這個結果。”對于這樣的思維認知雖然其中不乏感性的成分，但卻一下子讓學生的思維關注點聚焦在余數上面。要成功有效引導學生進行“二次思維”我們要做到：及時捕捉學生初始思維中的“閃光點”，以學生原有的思維認知為基礎，以激發學生積極主動的思維為動力，通過學生的內在機能的激發不斷完善認識。

二、 促進“二次思維”的深入化

數學的學習是不斷發展思維，促使學生思維品質提升的過程。因此只有將學生的思維引向深入，學習才能觸及問題的本質。思維隨著深度的不斷拓展其廣度才會隨之延伸，才能在完整的知識體系中進行知識的建構。由于二次思維是建立在學生初次思維的基礎之上，經過一定的思維反思與調整、修正與完善并逐步趨于合理，學生此時所具有的思維能力完全可以將思考引入深入化。

【案例2】比較下面分數的大小，看看你有什么發現？

35○7947○25

57○4658○710

[初始思維]

師：誰來說一說每組分數的大小。

生：（略）。

師：在此基礎上你有什么發現嗎？

生：在第一組我發現分母都比分母大2，結合剛才通分的比較的大小，我進一步發現：“分母比分子大2，這個分數分母越大它就越大。”

師：你們同意他的發現嗎？

生：同意，我對第二組的發現也差不多只是分母比分子大了3。

師：你能說具體點嗎？

生：我的發現是：“分母比分子大3，這個分數分母越大它同樣越大。”

師：為什么兩題的結論會如此的相同呢？

生：分母都比分子大相同的數。

[二次思維]

師：這樣發現能給你進一步的啟發嗎？

生：我覺得只要分母比分子大的數是相同的，分母越大分數就越大。

師：你們認可他的發現嗎？

生：認可。

師：要證明結論的正確我們還需要進一步？

生：舉例說明。

（學生舉例說明略）

…………

[思維的深入化]

師：本題是分母比分子大相同的數，你覺得還會出現哪種類似的特殊情況？

生：我想是分子比分母大同樣的數這類特殊的假分數情況？

師：下面請同學們4人以小組，合作完看看有什么發現并加以證明。

生：分子比分母大1的兩個分數如32與43、65與54，分母越大分數越小。

生：分子比分母大2的兩個分數如53與64、75與53，同樣分母越大分數越小。

生：分子比分母大3的兩個分數如52與74、107與85，分母越大分數越小。

…………

生：我們通過舉例的方法證明了：分子比分母大同樣數的假分數，分母越大分數越小。

上述的教學片段，向我們展示了兩種不同層次上的思維。初始思維中學生思維基礎是具體的實際問題，立足于問題的解決。二次思維所依附的載體已不再是具體的知識，而更多是聚焦思維層面上的思考。案例中的二次思維是一個不斷深入、突破的過程：學生在對規律的反思中獲得思維的啟迪，在類比中不斷提出大膽的猜想，在猜想的驗證過程中不斷豐盈自己的認知。

三、 追求“二次思維”的個性化

人與人之間的思維存在明顯的個體差異，這種差異主要表現在思維的獨立性和批判性、思維的廣闊性和深刻性、思維邏輯性與獨創性等方面。二次思維是學生思維發展的關鍵時期，也是思維逐步趨于成熟的階段，此時學生對問題思考呈現出個性化的思考方式，個性化的思維亦在逐漸萌芽。對于學生出現的這種思維傾向我們應精心呵護積極引導，努力實現學生個性化思維的發展。

【案例3】1+2+3+4+…+100=

[初始思維]

師：同學們你們能計算出從1一直加到100的和是多少嗎？

生：老師算是可以算出來的，但是計算量太大了。

生：最好是分小組每個組各算一部分，然后把各組的答案加起來，這樣既可以算出答案也比較節約時間。

生：老師我聽高年級同學說過好像是5050。

師：答案是正確的，你會快速計算嗎？

生：不會。

[二次思維]

師：你們知道嗎？有一個人在他8歲的時候就能快速的算出答案5050。

生：（發出驚訝的聲音）老師你快說他是怎樣做的。

師：好，老師就把他思考過程寫出來，你們試著弄懂它？

（板書：1+100=101、2+99=101、3+98=101、…50+51=101、101×50=5050）

生：（學生通過獨立思考、相互交流的方式理解解題過程。）

生：我知道了，他把第一個與倒數第一個第二個與倒數第二個相加，這樣不斷相加一共有50個101。

生：他太聰明了。

師：他抓住1-100相加的什么特點？

生：每次首尾相加都等于101。

師：你們知道這個比你們還小一歲的小朋友是誰嗎？

生：想。

師：他就是高斯，長大后他成為人類歷史上偉大的數學家。

[思維的個性化]

生：我也想到了一種快算計算的方法。

師：（驚訝）你說說看。

生：我把100個數分成了10組：1-9、10-19、20-29、…90-99，100先不考慮。每組個位數字相加都是1+2+3…+9=45，一共10個45就是450。在加十位的時候我發現了規律他們分別是100、200、300、…900，加起來就是4500。最后的算式就是4500+450+100=5050。

師：又一個“小高斯”誕生了，你們都懂嗎？

生：老師我在他的基礎上又想到了更快的方法。

師：（更加驚訝）把你的想法與我們分享下。

生：個位上的數字相加是450，那么十位上的數字加起來也是450，因為是十位上的要乘10就變成了4500，最后再算上100結果也是5050。

…………

上述案例是一節三年級趣味數學課的教學片斷。筆者以經典為例以回顧解題為引，通過學生思維的深入參與，準確理解高斯個性化的解題思想。片斷最后學生為我們呈現出一次次精彩的、出乎意料的解答，無不向我們展示著他們個性化的思維。此種思維能力的獲得并不是唾手可得的靈感乍現，是基于二次思維上的個性化發展。反思學生個性化思維的形成，它根植于對經典解題的理解，源于思維的深入化，頓悟于個性化啟迪、個性化思維。整個二次思維是學生理解、消化、深入、反思的過程；是學生自我個性化思維醞釀的過程；亦是學生思維品質不斷提高的過程。個性化思維表面是一種思維個性的彰顯，實則是學生不斷深入思考的結果。縱觀本案例如果沒有學生在二次思維中的深入思考，個性化思維只能是無源之水，無本之木。

【參考文獻】

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