小學數學“從整體上看”思想在解題中的運用

蔡峰

【摘要】小學數學的解題思想方法很多，“整體思想”就是其中之一。有一些數學題中，由于小學生的知識有限，利用已知條件按照常規的方法和步驟不能直接得到結果，要不就是解題過程繁瑣，或是花上更多的時間，而把不是必求部分看作一個“整體”，往往可以找到解題的捷徑，從而達到事半功倍的效果。

【關鍵詞】整體思想解決問題

在小學數學教學中，我們經常會遇到一些這樣的問題，按照常規的思路，一步一步計算下來，感覺會比較困難，甚至有些問題還無從下手。在這個時候，我們就需要轉換思維角度，從整體入手，找到問題的切入點，從而快速、簡潔、有效地解決問題。一般地，我們把從整體觀點出發，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題思想方法，稱為整體思想方法。下面我就從幾個例題簡要談談。

一、 整體定位

例1：下圖中正方形的面積是6平方厘米，求圓的面積。

解析：根據圓的面積公式S=πr2，如果按照常規方法先算出圓的半徑r，發現對于小學生而言，在這個題目中是比較困難的，但我們可以求出r2這個整體，從而算出圓的面積S更為簡單。可以把圓內的正方形看成由兩個完全一樣的直角三角形組成，每個直角三角形的面積都等于r2，也就等于正方形面積的12，即2r·r÷2=6÷2。于是，r2=3，圓的面積S=3π（cm2）。或者可以把圓內的正方形看成由4個完全一樣的直角三角形組成，每個直角三角形的面積都等于半徑平方的一半，也就等于正方形面積的14，即r2÷2=6÷4。同樣能得到圓的面積是3π（cm2）。

從上面的例題中，我們可以看到，學生在思考問題時，往往習慣于從問題的局部出發，將問題分解成若干個簡單的子問題，這是學生的慣用思想方法，然后再逐個擊破。但是有時候這種思考方法，常常導致解題變得復雜化，且運算量很多，甚至在一些情況下，以現有的知識水平未能解決，學生就變得束手無策了。其實，在很多數學問題中，如果我們能改變思維模式，有意識地去放大觀察的“視角”，往往能發現問題中的某個小“整體”，我們就可以利用這個整體快速、有效地解決問題。

二、 整體代換

例2：如果3x+6=7，那么6x+4=（）。

解析：這題如果是學過分數乘除法的同學，可以從左邊的方程解出未知數，然后帶入右邊的式子求出結果，不過還是有一定的計算量。如果是沒有學過分數乘除法的同學，用這樣的方法有點困難，但是我們仔細觀察，會發現6x是3x的2倍，可以先把6x+4提取公因數2得到2（3x+2），通過左邊的方程我們可以得到3x+2=3，從而很快得到6x+4=2（3x+2）=2×3=6。

例3：計算（1+12+13）×（12+13+14）-（1+12+13+14）×（12+13）

學生剛看到這道題，發現每個括號里面的分數分母不同，就直接通分計算了。

原式=（1+36+26）×（612+412+312）-（1+612+412

+312）×（36+26）

=116×1312×2512×56

=14372-12572

=1872=14

這樣做就顯得比較復雜了，而且會浪費很多計算時間，最重要的是學生在計算過程中很容易出錯。原因就是把每個括號里的分數孤立起來了，沒有從整體上去仔細觀察算式的特點，按部就班地去算，比較繁瑣。

上面的例題中，是把所求式變形后的某些部分看成一個整體，或是把某些部分看成一個整體，用字母代替，使原來比較復雜的式子變得簡單，把問題轉化為對字母的研究上，效果甚好！

三、 整體觀察

例4：下圖的平行四邊形，底10厘米，高6厘米，求陰影部分的面積。

解析：三角形的面積等于底與高乘積的一半，而2個陰影三角形的高都等于平行四邊形的高，底的和等于平行四邊形的底，所以陰影部分的面積等于平行四邊形面積的一半，即10×6÷2=30（cm2）。

例5：用1、2、3、4、5五個數字組成四位數，要求每個四位數中的數字都不相同。所有這些四位數的和是多少？

解析：假設千位上是1，那么百位上可以從2、3、4、5中選擇，有4種可能；百位上的數字確定以后，十位上就只有3種選擇；十位數字確定后，個位數字就只有2種選擇。所以一共有4×3×2=24種選擇，即千位數字是1的四位數有24個。

同理，千位數字是2、3、4、5的也各有24個，一共有24×5=120個數，這些數的千位上是24個1，24個2，24個3，24個4，24個5；百位、十位、個位亦是如此。因此，所求的這些四位數的總和是（1+2+3+4+5）×24×1000+（1+2+3+4+5）×24×100+（1+2+3+4+5）×24×10+（1+2+3+4+5）×24×10+（1+2+3+4+5）×24×1=15×24×（1000+100+10+1）=360×1111=399960。

例6：分母為2014的所有最簡真分數的和是多少？

解析：首先，我們可以從整體上去考慮一些特效情況。2014=2×1007，所以分母是2014的最簡真分數，分子不能是2的倍數，即偶數，也不能是1007的倍數。因此，所求的總和為12014+32014+52014+…20112014+20132014中去掉10072014。

觀察發現，算式兩端兩個分數的和等于1；第2個分數與倒數第2個分數的和也等于1；第3個分數與倒數第3個分數的也和等于1。于是想到，從1到2014，共有2014÷2=1007個奇數，減去分子是1007的一個奇數，還剩1006個依次把首尾兩個分數相加，可以得到1006÷2=503個1，所以所求的總和就是503，即分母為2014的所有最簡真分數的和是503。

以上的例題，學生乍一看，可能無從下手，但是如果我們能從整體上去把握它，其實并不難。首先，我們要對這些整體進行細致觀察，把握內部結構特點，然后對于整體中的某些部分進行相關的變化，最后在整體下進行內部“消化”。在這些問題中，往往會發現有一些規律可循，我們只要抓住這些規律的特點，常常可以化繁為簡。

總之，用“從整體上看”思想解題就是把一個問題通過變形，或者把一個復雜的問題進行轉化，最后都看成一類整體，而往往這一類整體相對而言比較簡單，求解之后，再解決相關問題的方法。在小學數學教學中，要讓學生體會這種“從整體上看”的思想，以此提升學生的觀察、分析、綜合、轉化思維的能力，幫助我們的學生更好的解決這一類問題。