案例教學法在概率論與數理統計教學中的應用*

王 芬

（廣東金融學院 應用數學系，廣東 廣州 510521）

案例教學法在概率論與數理統計教學中的應用*

王 芬

（廣東金融學院 應用數學系，廣東 廣州 510521）

概率論與數理統計是研究隨機現象及其規律的一門數學學科，是高等本科院校的一門重要公共基礎課。針對案例教學法在概率統計課程中的應用問題，結合教學實踐與理論思考，文章從案例的收集、教學手段和考核方式等幾個方面進行了分析。

概率論與數理統計；案例教學；數學期望

概率論與數理統計是研究隨機現象及其規律的一門數學學科，作為現代數學的一個重要分支，其在工程技術、社會科學和自然科學的各個領域中都有著廣泛的應用［1］。概率論是一門歷史悠久的古老學科，起源于十七世紀中葉。近幾十年來，概率統計在金融、醫學、保險、生物等領域得到了廣泛的應用。正是概率統計的這種廣泛應用性，使得這門課程已經成為了各類專業大學生的最重要的數學必修課之一［2］。

在我國中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020）中明確提出了“支持學生參與科學研究，強化實踐教學環節”的要求。因而，引導學生通過實踐手段來學習、驗證和理解問題，培養學生從實踐中學習概率知識、探索數學規律和培養數學能力是目前必須探索的教學方式之一［3］。

一、在概率論與數理統計中引入案例教學的必要性

十九世紀七十年代，美國學者克里斯托弗.哥倫布.朗代爾（C.C.Langdell）首創了案例教學法。案例教學是一種開放式、互動式的新型教學方式。案例教學是通過模擬或者重現現實生活中的一些場景，讓學生把自己納入案例場景，通過研討來進行學習的一種方法。案例教學法可以把學生引入到實際生產生活中去，激發學生的學習熱情，充分調動學生的學習積極性，提高概率論與數理統計課堂教學的教學質量。

案例教學法是聯系在實踐與理論之間的橋梁，它成功地把理論知識和實際生產生活中的現實問題聯系了起來。使用案例教學法進行教學，既提高了學生在學習過程中的趣味性，也讓學生能夠深切地體會到學有所用，從而加強了對所學習課程重要性的認識。因此，在概率論與數理統計的課堂教學中提倡案例教學是十分有必要的，并且具有其獨特的意義。

二、案例的選取

接下來，作者結合多年來進行概率論與數理統計教學的教學經驗，給出幾個具體的教學案例。

案例1：數學期望是概率統計中一個古老而著名的概念。1657年由荷蘭數學家惠更斯在《論賭博中的計算》中明確提出。數學期望源于賭博中參與者對于所能期望獲得收入的計算。基于數學期望概念的起源，教師可首先設問：大多數賭徒都期望能在賭場上大撈一把，結果陪個精光，這是為什么呢？從而激發學生學習期望概念的積極性。既然期望的概念源于賭博，那么隨后我們在選取具體教學案例的時候也可以用期望在博彩業中的應用來進行教學。

例如，可以選取下述例子：美國的輪盤賭博中，常用的輪盤上平均分布有38個數字。如果輪盤的輸出數和押注數相等，則下賭者可以將相當于賭本35倍的獎金和原賭注拿回。若輸出值和下壓數字不同，則賭注就輸掉了。試計算以1美元賭注押在一個數字上獲利的期望值。

根據離散型隨機變量數學期望的計算方法，我們不難計算出以1美元賭注押在一個數字上獲利的期望值為-0.0526＜0。從而，可以清楚地告訴學生：上述輪盤賭博沒有建立在公平競賽的基礎之上。每賭1美元，平均就會輸掉5美分。借此奉勸學生遠離博彩，健康生活。

案例2：貝葉斯公式是概率論中一個古老的公式，最早由18世紀英國學者托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes，1702-1761）提出。目前貝葉斯公式在大數據、人工智能、垃圾郵件的過濾、海難搜救、疾病診斷等方面都有著重要的應用。作為教師，可以首先對學生講授貝葉斯公式的提出歷史，應用領域，從而激發學生的學習興趣。隨后介紹貝葉斯公式由果索因的特點，接著給出案例，以此說明貝葉斯公式的具體應用。

例如，可以選取下述例子：某地區患有肝癌的人口占總人口數的0.005，肝癌患者對甲胎蛋白試驗反應呈陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應呈陽性的概率為0.04，現抽查了一個人，試驗反應呈陽性，問此人確實患有肝癌的概率有多大？

依據貝葉斯公式，不難計算出當試驗反應呈陽性的時候，被檢測者確實患有肝癌的概率為0.1066。即1000個試驗反應呈陽性的人中大約只有107人確實患有肝癌。因此，若僅以甲胎蛋白試驗反應結果為唯一判斷依據，誤診率將會很高。教師隨后可以在上例的前提條件下，要求學生分組討論，嘗試計算：試驗反應呈陰性時，被檢測者確實沒有患肝癌的概率。

案例3：講授中心極限定理時，可首先列舉客觀世界中遇到的諸多近似服從正態分布的隨機變量。說明在客觀實際中有許多隨機變量，它們被大量的相互獨立的微小的隨機因素綜合影響。而其中每一個因素在總的影響中所起的作用都是微不足道的。那么，這種隨機變量往往近似地服從正態分布。這種現象就是中心極限定理的客觀背景，也是為何正態分布能在概率統計中大放異彩的主要原因。通過介紹應用背景能夠大大提高學生的學習積極性，然后介紹獨立同分布的中心極限定理、Lyapunov定理、棣莫弗-拉普拉斯定理等［4］。隨后給出以下案例：

某人壽保險公司開辦一年期保險業務，被保險人每年需交付保費200元，若一年內患重疾，可獲21000元賠償金。若某地區人員一年內患重疾的概率為0.006，已知6500人參與投保，則該項保險業務能為該人壽保險公司獲利25萬-45萬的概率是多少［2］？

首先可引入下述隨機變量："X"i=1，第i個被保險人一年內患重疾；xi=0，第i個被保險人一年內未患重疾，其中i=1，2，…，6500。隨后使用棣莫弗-拉普拉斯定理可以計算出該概率值。

綜上所述，由于概率論與數理統計中的案例教學涉及的知識面十分廣泛，這無疑會對教師和教學單位提出更高的要求。如何不斷豐富案例？怎樣將案例內容與學生所學專業相結合？這些問題值得我們思考。相關教學單位可以采取集中備課、舉辦案例教學競賽或設計教改基金項目等措施，鼓勵案例的收集建設，為廣大數學教師的發展提供有力的支持［5］。

三、案例教學中教師的角色

在概率論與數理統計的案例教學過程中，可考慮開放式的教學方式，同時確立學生的主體地位。教師應該充當引導者的角色，引導開放討論。教師要啟發學生積極參與、勇于嘗試、不斷試錯、及時調整、融會貫通地掌握知識。教師應充分調動學生學習的主動性，培養學生的學習興趣和求知欲，引導學生將專業知識與數學知識聯系起來，從而提高學生分析問題和解決問題的能力［6］。

四、引進多媒體輔助教學，提高教學效果

作為與實際生活緊密聯系的概率統計課程，教師除了介紹常用的Matlab和Mathematics軟件，還可以為學生介紹諸如SAS、SPSS等專業統計軟件。有條件的高校，可以考慮開設概率統計實驗課程，讓學生在理解理論知識的同時，學會運用統計軟件解決實際問題或專業問題。當然，這需要任課教師平時除了不斷豐富自己的理論知識以外，還應該不斷提升自己在軟件應用方面的教學技能。高校還可以定期在學生中舉辦軟件應用大賽，激發學生的學習興趣。

五、改革評價指標

傳統評價只注重學生的考試結果，結合案例教學的目的可考慮突出過程評價。可以考慮給出平時分組討論的分數，解決實際問題寫出小論文的分數等等。當然，在考察概率論與數理統計課程學習效果的時候，應該分清主次，不能舍本逐末，應該控制好基礎理論考查與應用考查之間的比例。可以嘗試命題中傳統題型與創新題型共存，在不忽略學生基礎的同時，培養學生分析與解決問題的綜合運用能力。理論是基礎，應用是目的，融入是手段。沒有扎實的理論知識，就談不上應用創新。

六、結束語

在傳統的概率論與數理統計教學中融入案例教學，培養學生將理論知識與實踐相結合的能力，更好地服務于社會，是當今數學課程教學改革一個大的趨勢。這是一個循序漸進、逐漸提升的過程，不能一蹴而就。這需要教師在教學中不斷提升教學技能，不斷激發學生的主動性和積極性，同時需要學生在學習中勇于探索、勇于嘗試、不斷試錯、適時調整。

如何更好地將案例教學融入到概率統計的日常教學過程中？怎樣才能將案例內容與學生的專業知識相結合？采取什么樣的考核方式更為合理？這些問題值得我們教育工作者思考。文章從案例的收集、教學內容、教學手段和考核方式等幾個方面對上述內容進行了探討。

［1］向小紅.數學建模思想的概率統計學探討［J］.中國科教創新導刊，2012，35：57-58.

［2］王松桂，張忠占，程維虎，等.概率論與數理統計［M］.北京：科學出版社，2011.

［3］孫蕾，谷德峰.概率論與數理統計實驗教學案例設計［J］.高等數學研究，2014，17（1）：100-102.

［4］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］王芬，夏建業，趙梅春，等.金融類高校高等數學課程融入數學建模思想初探［J］.教育教學論壇，2016，1（1）：156-157.

［6］張景祥，唐旭清.概率統計課程的改革與實踐［J］.江南大學學報（教育科學版），2007，27（2）：89-92.

As an important public basic course in colleges and universities，probability theory and mathematical statistics is a discipline that studies random phenomenon and its laws.In view of the application of case teaching method in the course of probability statistics，combined with teaching practice and theoretical thinking，this paper makes analysis from the perspective of collection of cases，teaching methods and examination method.

probability theory and mathematical statistics；case teaching；mathematical expectation

G642

A

2096-000X（2016）20-0074-02

本文受廣東省自然科學基金（編號：2015A030310426）；廣東省高等學校優秀青年教師培養計劃（編號：YQ2015118）；廣東省普通高校青年創新人才項目（自然科學類）（編號：2014KQNCX187）；廣東金融學院創新強校工程“隨機擾動下具有反應擴散的神經網絡的穩定性與混沌同步研究”項目資助。

王芬（1980-），女，漢族，湖北省天門人，廣東金融學院，博士，副教授，研究方向：動力系統與數學建模研究。