概念定義的“淡化”及其正確性
——對(duì)初中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)概念定義的商榷

云南省會(huì)澤縣待補(bǔ)中學(xué)　浦　帥　王利娟

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概念定義的“淡化”及其正確性
——對(duì)初中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)概念定義的商榷

云南省會(huì)澤縣待補(bǔ)中學(xué)浦帥王利娟

摘 要：數(shù)學(xué)概念定義不論怎樣“淡化”都必須全面、準(zhǔn)確地反映出概念的內(nèi)涵和外延。有幾個(gè)問(wèn)題值得反思：怎樣給數(shù)學(xué)概念下定義？數(shù)學(xué)概念定義的“淡化”原則是什么？如何處理概念定義的“淡化”與“正確性”兩者間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：概念定義 概念本質(zhì) “淡化” 可接受性 等價(jià)性

一、引言

數(shù)學(xué)概念是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過(guò)實(shí)踐從數(shù)學(xué)所研究對(duì)象的許多屬性中抽出其本質(zhì)屬性概括而成的，因此對(duì)概念的敘述都是很精煉的。數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法規(guī)、公式的基礎(chǔ)，是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。數(shù)學(xué)概念的表達(dá)是否本質(zhì)化，是否正確，將直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開展情況。數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“真理”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要。

二、如何“淡化”數(shù)學(xué)概念

現(xiàn)行九年制義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材對(duì)大多數(shù)概念都以定義的形式給出，對(duì)概念定義的描述進(jìn)行“淡化”處理。現(xiàn)階段，所有概念的定義都十分嚴(yán)格地給出是不適宜的。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，他們對(duì)這些概念的本質(zhì)特征有初步認(rèn)識(shí)即可，進(jìn)一步理解和運(yùn)用待后續(xù)課程完成。這就是說(shuō)“淡化”是方法，而不是目的。

基于此，現(xiàn)行九年制初中數(shù)學(xué)教材適當(dāng)降低某些概念定義的理論高度，在“淡化”概念的“嚴(yán)格”表述中做了一些有益嘗試，給予概念直觀、形象而又通俗的解釋與說(shuō)明。概念的“淡化”處理對(duì)幫助學(xué)生理解概念十分重要。但是，不論怎樣“淡化”決不能由此影響了概念的正確性，解釋與說(shuō)明必須緊扣概念本質(zhì)，脫離了這一點(diǎn)，就與我們本來(lái)的目的背道而馳，處理不好，定義本身就是一個(gè)模糊以至錯(cuò)誤的概念描述。

三、數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，而概念的定義就是對(duì)事物的本質(zhì)屬性或概念的內(nèi)涵與外延的確切而簡(jiǎn)要說(shuō)明。但要下好一個(gè)定義，除了對(duì)需要定義的概念有一個(gè)明確認(rèn)識(shí)，還必須符合定義規(guī)則：定義必須是相稱的。也就是說(shuō)定義項(xiàng)和被定義項(xiàng)必須是指同一概念，其內(nèi)涵和外延必須吻合，概念定義的“題設(shè)”與“結(jié)論”構(gòu)成的必須是互逆的兩個(gè)真命題。

四、數(shù)學(xué)概念“淡化”后存在的問(wèn)題

現(xiàn)行九年制八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）對(duì)“二元一次方程組”的定義描述是這樣的：由兩個(gè)二元一次方程組組成的方程組叫作二元一次方程組。由“二元一次方程”定義“二元一次方程組”符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，加強(qiáng)了知識(shí)的聯(lián)系，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)難度，似乎達(dá)到了概念定義的“淡化”目的，但這個(gè)定義不確切，背離了概念定義的“淡化”原則。

這個(gè)定義規(guī)定：二元一次方程組的每一個(gè)方程必須是二元一次方程，同時(shí)這里的“二元”僅是指每個(gè)方程的“二元”，而不是整個(gè)方程組的“二元”。這樣就錯(cuò)誤地把類似于 “6x-5y=1”這樣的方程組排除于“二元一次方程組”之外，而把形如 “x +y=7”這樣方程組歸于“二元一次方程組”的范疇之內(nèi)，這顯然是不正確的。

由兩個(gè)“二元一次方程”組成的方程組與“二元一次方程組”并不是同一概念。由兩個(gè)“二元一次方程”組成的方程組不一定是“二元一次方程組”，而“二元一次方程組”不都是由兩個(gè)“二元一次方程”組成。

五、數(shù)學(xué)定律“淡化”后存在的問(wèn)題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)概念的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。類似上面對(duì)概念定義的錯(cuò)誤描述造成一些不良后果：學(xué)生學(xué)習(xí)片面甚至錯(cuò)誤的概念定義后常常犯一些邏輯上的錯(cuò)誤，如混淆命題的題設(shè)和結(jié)論，對(duì)題設(shè)與結(jié)論認(rèn)識(shí)不足，發(fā)生像“ x+y=7”是“二元一次方程組”，而“ 6x-5y=1”不是二元一次方程組這樣的錯(cuò)誤。這是一個(gè)不容忽視的問(wèn)題。

概念定義的敘述必須慎重考慮。教師有必要從概念的本質(zhì)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)合理使用“淡化”手段，權(quán)衡“淡化”原則，以保證概念的正確性。這將有助于學(xué)生正確掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于教師順利完成教學(xué)任務(wù)，對(duì)后續(xù)課的學(xué)習(xí)也有積極意義。

六、數(shù)學(xué)概念“淡化”后因應(yīng)注意的問(wèn)題

1.“淡化”后的概念定義要明確。例如，“大于零的數(shù)叫作正數(shù)”“淡化”為“像5、1.5、10、0.1等大于零的數(shù)叫作正數(shù)”。后者保證了“正數(shù)”的本質(zhì)屬性，使用了“淡化”手段使概念定義直觀化，降低了學(xué)生的理解難度。

2.定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)必須指同一概念，是等價(jià)的。例如，把無(wú)理數(shù)的定義“淡化”為“無(wú)限小數(shù)”或“不盡方根”都是不相稱的。前者犯了定義過(guò)寬的邏輯錯(cuò)誤，定義項(xiàng)（無(wú)限小數(shù)）的外延大于被定義項(xiàng)（無(wú)理數(shù)）的外延，因?yàn)闊o(wú)限小數(shù)還包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。后者犯了定義過(guò)窄的邏輯錯(cuò)誤，定義項(xiàng)（不盡方根）的外延小于被定義項(xiàng)（無(wú)理數(shù)）的外延，因?yàn)檫€存在無(wú)限多個(gè)無(wú)理數(shù)，它們都不能表示成有理數(shù)的方根的形式，如π，e，lg2等。

3.“淡化”后的概念定義應(yīng)清楚、確切，所列定義項(xiàng)必須是確切的概念，不能用譬喻或其他含糊、模棱兩可的說(shuō)法替代定義。例如，把“正方形”定義為“正方形是一種有規(guī)則的四邊形”，這里“有規(guī)則”是一個(gè)不可琢磨的含糊概念，學(xué)生看了這個(gè)定義仍然難以明確“正方形”是什么。

總之，數(shù)學(xué)概念定義不論怎樣“淡化”都必須全面，準(zhǔn)確地反映概念的內(nèi)涵和外延，反映概念的本質(zhì)，絕不允許出現(xiàn)由于擴(kuò)大（或縮小）內(nèi)涵和縮小（或擴(kuò)大）外延而造成概念定義的偏差或錯(cuò)誤。基礎(chǔ)教育階段對(duì)概念下定義應(yīng)堅(jiān)持概念定義“正確性”的前提下兼顧使用“淡化”原則、直觀性原則、形象性原則，不要舍本逐末，主次顛倒。

文章編號(hào)：ISSN2095-6711/Z01-2016-05-0153