函數的單調性與函數的導數之間的關系及反例

景慧麗，屈　娜，楊寶珍

（火箭軍工程大學　理學院，陜西　西安　710025）

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函數的單調性與函數的導數之間的關系及反例

景慧麗，屈娜，楊寶珍

（火箭軍工程大學理學院，陜西西安710025）

摘要：利用函數的導數的正負來判斷函數的單調性是導數的重要應用之一.文中把函數的單調性、函數在一區間內的導數的正負及函數在一點的導數的正負三者之間的關系進行了梳理，并給出相應的反例加以說明.

關鍵詞：單調性；導數；反例

在微分學中，導數的重要應用之一是用來判斷函數的單調性，即用函數在一個區間內的導數的正負來判斷函數在該區間上的單調性，判定定理[1]是：設函數y=f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導.

(1)如果在(a,b)內f'(x)≥0，且等號僅在有限多個點處成立，那么函數y=f(x)在[a,b]上單調增加；

(2)如果在(a,b)內f'(x)≤0，且等號僅在有限多個點處成立，那么函數y=f(x)在[a,b]上單調減少.

當然，如果把判定定理中的閉區間換成其他區間（如果是無窮區間，要求在其任一子區間上滿足定理的條件），那么結論依然成立.

所以，當x≠0時，f'(x)>0.因此，函數f(x)在(-∞, 0)內是單調增加的，故當x1<0時，有f(x1)0時，有f(x2)>f(0)=0成立.所以對任意的x1,x2∈(-∞,∞)且x1

一般地，如果已知一個函數在一個區間上單調增加（單調減少），是不能得到其導函數一定大于零（小于零）的．但是如果已知函數y=f(x)在區間I上是可導的，即f'(x)存在，且y=f(x)在區間I上單調增加（單調減少），那么在區間I上一定有f'(x)≥0（f'(x) ≤0）成立.

當k→∞時，顯然有xk1→0，xk2→0，因此在點x=0的任何鄰域內，f'(x)的取值有正有負，從而f(x) 在x=0的任何鄰域內都不單調.

由此可知，函數的單調性、函數的導數的正負及函數在一點的導數的正負三者之間的關系是：如果在區間I上f'(x)≥0（f'(x)≤0），且等號僅在有限多個點處成立，則函數y=f(x)在區間I上一定單調增加（減少）；反之，如果函數y=f(x)在區間I上單調增加（減少），則在區間I上未必有f'(x)≥0（f'(x)≤0）成立.另外，不能用函數y=f(x)在點x=x0處的導數f'(x0)的正負來判斷函數y=f(x)在點x=x0的鄰域內的單調性.

總之，用函數的導數的正負來判斷函數的單調性這個看似簡單的問題，學生也經常理解有偏差，通過上述總結尤其是反例的說明，可以幫助學員加深對這三個概念之間關系的理解.在《高等數學》課程的教學中教員要恰當地利用反例進行輔助教學，因為反例是反駁與糾正錯誤的一種有效方法[4]，而且在數學的發展過程中，反例所占的重要地位同等與證明，正如美國數學家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德所說：“冒著過于簡單化的風險，我們可以說（撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談）數學由兩大類——證明和反例組成，而數學發現也是朝著這兩個目標——提出證明和構造反例”[5].

參考文獻：

〔1〕同濟大學數學系.高等數學（上）[M].第七版.北京：高等教育出版社,2007.145.

〔2〕陳汝棟.數學分析中的問題、方法與實踐[M].第一版.北京：國防工業出版社,2012.20.

〔3〕馬知恩，王綿森.高等數學疑難問題選講[M].第一版.北京：高等教育出版社,2014.96.

〔4〕李春.反例在泛函分析教學中的作用[J].西南師范大學學報,2012,37(6)：230-232.

〔5〕蓋爾鮑姆，奧姆斯特德.分析中的反例[M].第一版.上海：上?？茖W出版社,1980.4.

基金項目：火箭軍工程大學2015年度教育教學立項課題（EPGC2015008）

收稿日期:2015年9月19日

中圖分類號：O174

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）02-0004-02