擴(kuò)散型梯形斷面躍后共軛水深的解析計(jì)算研究

黃 朝 煊(浙江省水利水電勘測設(shè)計(jì)院，杭州 310002)

0 引 言

隨著國家對農(nóng)田水利發(fā)展的重視以及“五水共治”的提出，水閘消能計(jì)算顯得尤為重要。針對現(xiàn)有水閘消能計(jì)算公式只適用于矩形翼墻斷面，而實(shí)際工程設(shè)計(jì)中也有采用梯形翼墻斷面情況，如文獻(xiàn)[1]中舟山市六橫小郭巨圍墾工程擋潮排澇閘，由于外海潮位不停變化，通常矩形閘門內(nèi)外水壓波動，閘門周邊橡皮止水水封不密實(shí)，滲漏很嚴(yán)重，因此，設(shè)計(jì)單位創(chuàng)新性的提出了梯形閘門，該型閘門水密性很好，可完全解決擋潮排澇閘的滲漏問題。基于此，本文對擴(kuò)散型梯形斷面水躍計(jì)算進(jìn)行了深入研究。

《水閘設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]對水閘消能計(jì)算的研究僅針對矩形斷面的，對于工程實(shí)際中的梯形翼墻斷面消能計(jì)算，往往采用矩形斷面進(jìn)行面積等效轉(zhuǎn)換，該近似等效法誤差較大，影響工程實(shí)際消能防沖安全。黃朝煊[3]對矩形斷面消力池池深極值進(jìn)行了無量綱化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出了矩形斷面消力池池深極值的直接計(jì)算公式。王賀瑤等[4]對考慮底挑離心力時的收縮水深計(jì)算進(jìn)行了深入研究，并給出了直接解析計(jì)算式。李蕊等[5]、劉玲等[6]、張志昌等[7]分別給出了棱柱體梯形斷面躍后共軛水深計(jì)算得迭代算法，計(jì)算較復(fù)雜；劉計(jì)良等[8]給出了近似擬合算式，但局部計(jì)算區(qū)間誤差較大。文獻(xiàn)[9]、[10]采用智能算法對消能進(jìn)行了研究，但無法尋找本質(zhì)共性特征。

王正中等[11]、黃朝煊[12,13]對梯形斷面臨界水深、收縮水深等特征水深進(jìn)行了深入研究，為擴(kuò)散型梯形斷面共軛水深的計(jì)算提高了基礎(chǔ)。

鑒于當(dāng)前對水閘消力池計(jì)算僅適用于矩形斷面，本文將通過數(shù)學(xué)分析理論，結(jié)合Matlab軟件及CurveExpert軟件對擴(kuò)散型梯形翼墻斷面共軛水深計(jì)算進(jìn)行深入研究。

1 躍前收縮水深的解析算式

收縮水深方程為：

(1)

式中：T0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的泄水建筑物上游總水頭，m；h1為收縮斷面水深，m；g為重力加速度常數(shù)；φ為流速系數(shù)；A1為收縮斷面過水面積，m2；q為過閘單寬流量，m3/(s·m)，見圖1、2。

圖1 水閘消力池消能簡圖

圖2 消力池梯形翼墻斷面簡圖

(2)

將以上高精度等效計(jì)算式代入公式(2)可知：

(3)

求解一元二次方程(3)可知：

(4)

通過大量數(shù)值計(jì)算研究，本文收縮水深計(jì)算公式(4)最大相對誤差<0.5%(見圖4)，精度完全滿足工程計(jì)算要求。為了更直觀的反應(yīng)收縮水深h1/T0與無量綱KQ、Km關(guān)系，通過數(shù)值計(jì)算得關(guān)系曲面圖5。

當(dāng)斷面坡比影響參數(shù)Km=0時，便退化為水閘設(shè)計(jì)規(guī)范(SL265-2001)附錄中矩形斷面的收縮水深計(jì)算公式B1.1.1-3，可見該計(jì)算公式是本文公式(4)的特例。

圖3 函數(shù)高精度二次曲線擬合

圖4 公式(4)相對誤差分布曲線圖

圖5 h1/T0與無量綱KQ、Km關(guān)系曲面

2 躍后共軛水深計(jì)算

對于擴(kuò)散型梯形翼墻斷面下水躍共軛水深的計(jì)算，利用連續(xù)方程和動量方程推導(dǎo)得水躍方程為：

(5)

式中：v1、v2為躍前斷面和躍后斷面平均流速；g為重力加速度；α1、α2為躍前斷面和躍后斷面流速系數(shù)；F1、F2為躍前斷面和躍后斷面順?biāo)鬏S線方向作用力；F3為擴(kuò)散段翼墻水壓力在順?biāo)鬏S線方向的投影分量值。

根據(jù)水壓力計(jì)算理論可知(見圖6)：

(6)

F3計(jì)算考慮水躍過程中水面線的非線性變化的影響，將公式(6)代入公式(5)可得：

(7)

其中參數(shù)ε為水躍過程中水面線的非線性變化的影響系數(shù)，一般1≤ε<1.2，本文近似取ε=1；m1、m2為躍前斷面和躍后翼墻斷面坡比，取m1=m2=m，取α1=α2=1，記η2=mh2/b2，η1=mh1/b1，ξ=b1/b2。

將以上參數(shù)代入方程(7)可知：

(8)

公式(8)即為躍后共軛水深的計(jì)算方程，該方程也是一元五次方程，一般情況下無法得出公式解。

2.1 無擴(kuò)散時(ξ=1)躍后共軛水深的一元四次方程公式解

對無擴(kuò)散時梯形斷面共軛水深計(jì)算，劉計(jì)良等[10]中給出了近似計(jì)算法，但精度不高，其中最大躍后水深相對誤差甚至大于5%。本文將根據(jù)數(shù)學(xué)方程理論，求出躍后共軛水深精確解析解。

對于無擴(kuò)散情形，即b1=b2=b時，ξ=1，公式(8)可進(jìn)一步簡化為：

(9)

易知公式(9)是對稱方程，η1、η2均是一元五次對稱方程(9)的實(shí)根，由水躍前收縮水深計(jì)算水躍后共軛水深時，可將對稱方程(9)除以(η2-η1)進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元四次方程，便能求出其解析公式解。

記K0=Q2m3/(gb5)，設(shè)躍前收縮水深無量綱值η1，躍后水深無量綱值η2為待求量，設(shè)t=η2-η1，代入公式(9)變換后得：

(t+η1)3[2t+(2η1+3)][t+(η1+1)]+6K0=

(10)

以上對稱方程滿足初始條件，η2=η1(即t=η2-η1=0)是方程(10)的一個特解，以上關(guān)于t=η2-η1的五次方程常數(shù)項(xiàng)為0；方程兩邊同除以t，即以上方程轉(zhuǎn)化為四次方程：

t4+a1t3+a2t2+a3t+a4=0

(11)

根據(jù)代數(shù)方程根的判別式理論，易知以上四次方程(11)含有一對復(fù)數(shù)根(實(shí)部為負(fù))、一正實(shí)根(待求共軛水深)以及一個負(fù)實(shí)根。

通過變量參數(shù)變換，設(shè)z=t+a1/4，方程(11)可以轉(zhuǎn)化為三次項(xiàng)系數(shù)為0的四次等價方程：

z4+c2z2+c3z+c4=0

(12)

z4+c2z2+c3z+c4=(z2+kz+d1)(z2-kz+d2)

(13)

通過對待定系數(shù)法各項(xiàng)系數(shù)的恒等關(guān)系消元變換得，待定系數(shù)k2滿足以下的三次方程：

(k2)3+2c2(k2)2+(c22-4c4)k2-c23=0

(14)

利用卡當(dāng)公式解求解方程(14)，可得待定系數(shù)k2的正實(shí)根為：

(15)

將k2代入方程(13)右邊的因式分解項(xiàng)，故方程(13)降次為兩個一元二次方程，求解得正根z：

(16)

根據(jù)上文參數(shù)代換z=t+a1/4；t=η2-η1，求解得躍后共軛水深的精確解析計(jì)算式為：

(17)

根據(jù)以上解析法可求出水躍相對共軛水深x、y隨無量綱參數(shù)K0之間的精確數(shù)據(jù)關(guān)系表，見表1，通過分析可知，當(dāng)0.28時，最大相對誤差為3.5%，相對誤差基本滿足工程計(jì)算要求。

表1 依據(jù)共軛水深公式解求出的精確共軛水深x～y～K0關(guān)系表

通過數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)及最佳逼近擬合原理，得出無擴(kuò)散時(ξ=1)共軛水深的簡潔近似計(jì)算公式：

(18)

2.2 擴(kuò)散型(0.5<ξ<1)躍后共軛水深計(jì)算

(19)

方程(19)為關(guān)于η2的一元五次方程，其中無量綱參數(shù)K0、η1、ξ均為已知參數(shù)。

由于方程(19)較復(fù)雜，無法直接求解，可采用迭代法求解，其迭代方程由方程(19)變換而得，其形式如下：

(20)

通過對公式(20)右邊求導(dǎo)容易證明其導(dǎo)數(shù)絕對值小于1，即迭代方程(20)收斂，限于篇幅，本文未詳細(xì)給出證明。

其迭代初值可根據(jù)無擴(kuò)散時(ξ=1)躍后共軛水深的修正值(乘以修正系數(shù)ξ)給出，公式如下：

(21)

其中收縮斷面的臨界水深無量綱值可通過以下公式計(jì)算(見黃朝煊[12])：

η1k=0.5[1+3.952λ(1+4λ)0.202 5]0.5-0.5

(22)

通過Matlab軟件大量數(shù)值計(jì)算分析可知，本文初值公式(21)精度較好，最大相對誤差一般小于5%，通過迭代公式(20)迭代一次后精度基本小于1.0%，滿足工程實(shí)際計(jì)算要求。

2.3 擴(kuò)散型(0.5<ξ<1)躍后共軛水深的數(shù)值分析研究

(23)

即比值函數(shù)H(x,K0, ξ)為躍后水深初值公式(21)與精確值的比值關(guān)系，其反應(yīng)躍后水深初值公式的誤差大小，H(x,K0, ξ)=1則表示躍后水深初值與精確值一致，相對誤差為0；H(x,K0, ξ)=0.9則表示躍后水深初值相對誤差為-10%；同理，H(x,K0, ξ)=1.1則表示躍后水深初值相對誤差為10%。

由圖7可知，本文躍后水深初值公式(21)在一般情況下精度還是比較高的，只是在K0較小(小于0.2)時相對較敏感，誤差稍大；迭代公式(20)收斂速度較好，一般迭代一次后便能得出精度較高的解，完全滿足工程實(shí)踐要求。

圖7 躍后水深初值公式(21)與精確值的比值函數(shù)H(x,K0, ξ)曲面關(guān)系圖

3 結(jié) 語

鑒于當(dāng)前對水閘消力池計(jì)算僅適用于矩形斷面，而實(shí)際工程設(shè)計(jì)中也有采用梯形翼墻斷面情形，根據(jù)水力學(xué)理論及數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)合Matlab軟件及CurveExpert擬合軟件，對含擴(kuò)散型梯形翼墻斷面水躍計(jì)算進(jìn)行了深入研究，主要結(jié)論如下：

(1)通過數(shù)學(xué)函數(shù)理論及無量綱原理對擴(kuò)散型梯形翼墻斷面水閘消能計(jì)算進(jìn)行分析研究，推出了相對收縮水深直接計(jì)算公式，該公式最大相對誤差<0.15%，精度完全滿足工程計(jì)算要求。

(2)根據(jù)水力學(xué)理論及動量原理，推導(dǎo)了擴(kuò)散型梯形翼墻消力池水躍共軛水深計(jì)算基本方程，并通過數(shù)學(xué)函數(shù)理論給出了無擴(kuò)散(ξ=1)、擴(kuò)散型(0.5<ξ<1)梯形翼墻斷面躍后水深的直接計(jì)算公式，并通過算例分析，認(rèn)為本文計(jì)算公式精度可靠，方便快捷。

(3)通過Matlab軟件編程進(jìn)行數(shù)值分析研究，認(rèn)為本文擴(kuò)散型(0.5<ξ<1)梯形翼墻斷面躍后水深初值計(jì)算公式(21)一般情況精度<5%，甚至更高，通過公式(20)迭代一次后最大相對誤差一般<1.0%，并給出了躍后水深初值計(jì)算公式(21)相對精度隨擴(kuò)散度ξ的影響關(guān)系曲面圖。

□

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