六自由度振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)極限*

張步云，陳懷海，賀旭東，郭家驊

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016）

（2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所 上海，201108）

引 言

在實(shí)驗(yàn)室條件下用振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)是對(duì)產(chǎn)品在運(yùn)輸、使用環(huán)境中經(jīng)受振動(dòng)環(huán)境的最佳人工模擬［1］。單軸振動(dòng)試驗(yàn)技術(shù)在工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，局限性也很明顯。文獻(xiàn)［2－3］指出單軸振動(dòng)試驗(yàn)無(wú)法完全復(fù)現(xiàn)外場(chǎng)故障，加大量級(jí)的補(bǔ)償措施易導(dǎo)致試件過試驗(yàn)或過設(shè)計(jì)，難以實(shí)現(xiàn)不同振動(dòng)方向載荷的準(zhǔn)確迭加。賀旭東［4］指出在對(duì)大型試件進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，單軸振動(dòng)臺(tái)無(wú)法提供足夠的推力，難以達(dá)到規(guī)定的試驗(yàn)量級(jí)，且單點(diǎn)激勵(lì)不利于實(shí)現(xiàn)振動(dòng)分布的均勻性，使應(yīng)力和位移分布不夠合理。Freeman［5］指出通過單軸振動(dòng)試驗(yàn)的設(shè)備無(wú)法承受多維的外場(chǎng)振動(dòng)環(huán)境。事實(shí)上，從嚴(yán)格意義來(lái)說(shuō)，產(chǎn)品在使用過程中的振動(dòng)環(huán)境大都是多自由度的，單軸振動(dòng)試驗(yàn)難以準(zhǔn)確描述產(chǎn)品的真實(shí)工況。

從20世紀(jì)60年代開始，研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到多軸振動(dòng)系統(tǒng)領(lǐng)域，并取得一系列進(jìn)展。Whiteman等［6－7］研究了多維振動(dòng)試驗(yàn)方法，指出多軸振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)苡行p少試驗(yàn)時(shí)間且提供更真實(shí)的應(yīng)力分布情況。美國(guó)的Wyle實(shí)驗(yàn)室、MTS公司和Team公司等都開始研究多軸振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)技術(shù)，且應(yīng)用到實(shí)際產(chǎn)品的生產(chǎn)中。Wyle實(shí)驗(yàn)室為Hill空軍基地研制的三軸向六自由度電動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)是目前較先進(jìn)的電動(dòng)式多軸振動(dòng)系統(tǒng)［8］。關(guān)廣豐等［9－10］就六自由度液壓振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)的控制策略進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究。嚴(yán)俠等［11］以三軸向六自由度液壓振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)為典型被控對(duì)象，建立了三軸六自由度液壓振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)振動(dòng)控制仿真系統(tǒng)。陳建秋等［12－13］對(duì)六自由度地震模擬振動(dòng)臺(tái)的控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究。這些研究多以多軸液壓振動(dòng)系統(tǒng)為主。

在振動(dòng)試驗(yàn)中關(guān)心的是多軸振動(dòng)系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)芰Γ绕涫橇杂啥入妱?dòng)振動(dòng)系統(tǒng)。若已知振動(dòng)系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，求得臺(tái)面的最大運(yùn)動(dòng)能力（即能達(dá)到的最大位移或最大加速度）是研究人員關(guān)心的問題。另一方面，給定一定的試驗(yàn)條件，振動(dòng)臺(tái)能否達(dá)到這樣的指標(biāo)是試驗(yàn)?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵。筆者根據(jù)斯圖爾特平臺(tái)模型［14－16］的分析方法，以六自由度電動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)極限問題進(jìn)行建模研究，建立各振動(dòng)臺(tái)與臺(tái)面之間的位移關(guān)系，為多軸振動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 振動(dòng)系統(tǒng)幾何模型

在實(shí)際振動(dòng)環(huán)境中，大部分產(chǎn)品有6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，其中：3個(gè)平動(dòng)自由度分別為沿x軸、y軸和z軸的移動(dòng)；3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為繞軸x旋轉(zhuǎn)的Rx、繞y軸旋轉(zhuǎn)的Ry和繞z軸旋轉(zhuǎn)的Rz。圖1為六自由度振動(dòng)簡(jiǎn)化模型。

圖1 六自由度振動(dòng)模型圖

在具有8個(gè)獨(dú)立的單軸振動(dòng)臺(tái)的六自由度振動(dòng)系統(tǒng)中，每個(gè)自由度的響應(yīng)都是由8個(gè)振動(dòng)臺(tái)共同激勵(lì)產(chǎn)生的［17］。圖2為美國(guó)Hill空軍基地SVIC中心的多臺(tái)多軸（MEMA）系統(tǒng)，由2個(gè)x向振動(dòng)臺(tái)、2個(gè)y向振動(dòng)臺(tái)、4個(gè)z向振動(dòng)臺(tái)和一個(gè)振動(dòng)臺(tái)面組成［8］。本研究以此系統(tǒng)為研究對(duì)象。

圖2 美國(guó)Hill空軍基地多臺(tái)多軸系統(tǒng)

根據(jù)斯圖爾特平臺(tái)系統(tǒng)的相關(guān)理論，在多軸電動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)中引入類似分析方法，建立如圖3所示的振動(dòng)系統(tǒng)模型。該振動(dòng)系統(tǒng)由振動(dòng)臺(tái)面和8個(gè)獨(dú)立單軸振動(dòng)臺(tái)組成，振動(dòng)臺(tái)用序號(hào)＃1，＃2，…，＃8表示。＃1和＃2表示x向的振動(dòng)臺(tái)，＃3和＃4表示y向的振動(dòng)臺(tái)，＃5～＃8表示z向的4個(gè)振動(dòng)臺(tái)。為了消除不同軸向運(yùn)動(dòng)之間耦合關(guān)聯(lián)，該系統(tǒng)通過連接試驗(yàn)臺(tái)面和振動(dòng)臺(tái)動(dòng)圈的靜壓球形接頭來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械解耦。振動(dòng)臺(tái)的下鉸點(diǎn)為具有4個(gè)自由度的球鉸聯(lián)接，固定在系統(tǒng)底座。振動(dòng)臺(tái)的上鉸點(diǎn)與臺(tái)面相連，傳遞作用力。

圖3 八振動(dòng)臺(tái)多軸系統(tǒng)幾何模型

為準(zhǔn)確計(jì)算振動(dòng)臺(tái)的軸向伸縮與臺(tái)面運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，以＃1到＃4振動(dòng)臺(tái)與臺(tái)面的連接點(diǎn)所在面的幾何中心為原點(diǎn)建立兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系。其中：一個(gè)坐標(biāo)系O－xyz固連于大地，稱為靜坐標(biāo)系S；另一坐標(biāo)系O′－x′y′z′固連于臺(tái)面，稱為動(dòng)坐標(biāo)系M。

8個(gè)振動(dòng)臺(tái)的下鉸點(diǎn)在坐標(biāo)系S中的坐標(biāo)不變，上鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系M中的坐標(biāo)不變。臺(tái)面處于中位時(shí)兩坐標(biāo)系重合［9］。原點(diǎn)O到振動(dòng)臺(tái)下鉸點(diǎn)Bi的向量為bi＝［bixbiybiz］T，i＝1，2，…，8，原點(diǎn)O′到上鉸點(diǎn)Aj的向量為aj＝［ajxajyajz］T，j＝1，2，…，8。

2 振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析

2.1 各振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)?zāi)芰?/h3>

分析各振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)?zāi)芰Γ丛谝阎駝?dòng)臺(tái)面運(yùn)動(dòng)的情況下求得各振動(dòng)臺(tái)軸向的伸縮位移。一般稱此類問題為振動(dòng)系統(tǒng)反解問題。求得各振動(dòng)臺(tái)的軸向伸縮位移，結(jié)合已知振動(dòng)臺(tái)參數(shù)，便可判斷振動(dòng)系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)芰ΑＨ鐖D3所示，振動(dòng)臺(tái)面的位姿x可以表示為

其中：t3×1為平動(dòng)位移坐標(biāo)向量，即原點(diǎn)O到O′的向量表示為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)向量分別為繞 x軸、y軸和z軸的轉(zhuǎn)角。

用此3個(gè)參數(shù)可以計(jì)算出靜坐標(biāo)系到動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞矩陣R［15］為

臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)速度可以表示為

因?yàn)榕_(tái)面的運(yùn)動(dòng)是8個(gè)振動(dòng)臺(tái)共同激勵(lì)的結(jié)果，下面探求振動(dòng)臺(tái)的軸向伸縮位移與臺(tái)面的位姿之間的關(guān)系。第i個(gè)振動(dòng)臺(tái)上、下鉸點(diǎn)間向量可表示為li，有

其中：li為一個(gè)3×1維的向量，它表示振動(dòng)臺(tái)的位置。

其中：｜li｜為臺(tái)面運(yùn)動(dòng)時(shí)振動(dòng)臺(tái)的長(zhǎng)度。振動(dòng)臺(tái)的軸向伸縮位移Δli為

其中：li0為無(wú)臺(tái)面運(yùn)動(dòng)時(shí)第i個(gè)振動(dòng)臺(tái)的軸向長(zhǎng)度。

由式（5）可知，振動(dòng)臺(tái)的軸向伸縮位移Δli可以表示成臺(tái)面6個(gè)自由度的函數(shù)。若知振動(dòng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)，可由式（5）求出各振動(dòng)臺(tái)應(yīng)該具備的試驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

2.2 振動(dòng)臺(tái)面極限運(yùn)動(dòng)

振動(dòng)臺(tái)面運(yùn)動(dòng)分析相對(duì)各振動(dòng)臺(tái)軸向位移的求解難度較大，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了分析振動(dòng)臺(tái)面運(yùn)動(dòng)的方法［18－20］。在實(shí)際工程中僅僅求得振動(dòng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)是不夠的。振動(dòng)系統(tǒng)的最大試驗(yàn)?zāi)芰υ谡駝?dòng)環(huán)境試驗(yàn)中具有重要的實(shí)際意義，每一個(gè)軸向運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)能達(dá)到怎樣的極限位置是值得考慮的問題。

由式（3）和式（5）可以得到一組非線性方程組為

其中：i＝128

當(dāng)已知各振動(dòng)臺(tái)的伸縮位移Δli時(shí)，式（6）可以寫成

該方程組有8個(gè)方程，6個(gè)未知數(shù)。對(duì)于每組給定的振動(dòng)臺(tái)軸向位移 Δli（i＝1，2，…，8），運(yùn)用Newton－Raphson算法或QR分解法都可得到相應(yīng)的臺(tái)面運(yùn)動(dòng)x。每個(gè)振動(dòng)臺(tái)的軸向位移都在一定的范圍內(nèi)，即

當(dāng)振動(dòng)臺(tái)軸向位移不同時(shí)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)也不同。分析振動(dòng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)極限即找出一組最優(yōu)的振動(dòng)臺(tái)軸向位移，使得振動(dòng)臺(tái)面某一自由度的平動(dòng)位移或轉(zhuǎn)角達(dá)到最大值，該值即表示振動(dòng)臺(tái)最大的試驗(yàn)?zāi)芰Α４藭r(shí)可以將振動(dòng)臺(tái)的軸向位移視為自變量，振動(dòng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)即為軸向位移的函數(shù)。式（7）可以寫為

其中：Δli（i＝1，2，…，8）為變量，其定義域?yàn)槭剑?）。

臺(tái)面的每個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)都可表示為Δli（i＝1，2，…，8）的函數(shù)，即

3 算 例

3.1 參數(shù)設(shè)定

當(dāng)臺(tái)面運(yùn)動(dòng)時(shí)，第i個(gè)振動(dòng)臺(tái)的軸向伸縮位移Δli是以臺(tái)面6個(gè)自由度為自變量的函數(shù)。若是單軸振動(dòng)系統(tǒng)，振動(dòng)臺(tái)的伸縮位移即為臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)位移。在多軸振動(dòng)系統(tǒng)中，由于不同軸向的振動(dòng)之間存在著機(jī)械耦合，每個(gè)振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)不僅產(chǎn)生軸向位移，還對(duì)其他軸向的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生牽連作用，所以當(dāng)單個(gè)振動(dòng)臺(tái)的位移達(dá)到最大值時(shí)，試驗(yàn)臺(tái)面的位移并不一定達(dá)到最大值。表1為多軸振動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)，計(jì)算其臺(tái)面的位移范圍，可以得到上、下各鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，如表2和表3所示。

表1 多軸振動(dòng)臺(tái)參數(shù)設(shè)定 mm

表2 各振動(dòng)臺(tái)上鉸點(diǎn)的坐標(biāo)向量 mm

表3 各振動(dòng)臺(tái)下鉸點(diǎn)的坐標(biāo)向量 mm

3.2 計(jì)算結(jié)果

向量aj和向量bi的值分別為Aj和Bi的坐標(biāo)值。可以計(jì)算出振動(dòng)臺(tái)的伸縮位移為何值時(shí)臺(tái)面的位移達(dá)到最大，如表4所示。可以看出，當(dāng)某一軸向振動(dòng)臺(tái)伸縮位移達(dá)到最大值時(shí)，該向的臺(tái)面運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大值；但臺(tái)面運(yùn)動(dòng)的最大值并不僅由這一軸向的振動(dòng)臺(tái)提供，其他各向振動(dòng)臺(tái)都有位移貢獻(xiàn)。由表4得到該振動(dòng)系統(tǒng)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)范圍為［－25mm，25mm］，繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動(dòng)角范圍為［－20.805°，20.805°］，繞z軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 角 范 圍 為 ［－18.168°，18.168°］，此為該振動(dòng)系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

表4 各振動(dòng)臺(tái)位移與臺(tái)面極限位移 mm

另一方面，若已知試驗(yàn)條件，可以求得振動(dòng)臺(tái)應(yīng)具有的試驗(yàn)?zāi)芰Α＠纾笈_(tái)面的x軸向位移達(dá)到20mm，同時(shí)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度達(dá)到18°，可以得到各振動(dòng)臺(tái)的軸向位移應(yīng)滿足的條件如表5所示。可以看出，要達(dá)到設(shè)定的試驗(yàn)條件，需要振動(dòng)臺(tái)的最大軸向位移為22.244 0mm，設(shè)計(jì)的振動(dòng)臺(tái)完全能夠滿足此試驗(yàn)要求。

表5 x1＝20mm，x4＝18°時(shí)各振動(dòng)臺(tái)的軸向位移mm

4 結(jié)束語(yǔ)

在六自由度振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)中，不同自由度之間存在機(jī)械耦合，每個(gè)軸向的平動(dòng)或繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)都是由所有振動(dòng)臺(tái)共同作用形成的。筆者在機(jī)械解耦的基礎(chǔ)上計(jì)算試驗(yàn)系統(tǒng)的最大試驗(yàn)?zāi)芰Γ趯?shí)際試驗(yàn)實(shí)施中有著重要的應(yīng)用。筆者僅對(duì)臺(tái)面的位移和振動(dòng)臺(tái)位移之間的關(guān)系進(jìn)行了探討，速度與加速度之間的關(guān)系并未涉及。在多軸振動(dòng)試驗(yàn)中，具有一定質(zhì)量的試件會(huì)對(duì)振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生傾覆力矩，振動(dòng)臺(tái)和臺(tái)面之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系更為復(fù)雜，這些問題需要進(jìn)一步研究。

［1］ Davis T.MIMO control system－a new ear in shaker control［J］.Sound and Vibration，2006，40（1）：6－9.

［2］ 夏益霖.多軸振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)的技術(shù)、設(shè)備和應(yīng)用［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，1996，6：48－55.Xia Yilin.The technology，equipment and application of multi－axis vibration environment testing［J］.Missiles and Space Vehicles，1996，6：48－55.（in Chinese）

［3］ Harman C.Multi－axis vibration reduces test time［J］.Evauluation Engineering，2006，45（6）：44－47.

［4］ 賀旭東.多輸入多輸出振動(dòng)試驗(yàn)控制系統(tǒng)的理論、算法及實(shí)現(xiàn)［D］.南京：南京航空航天大學(xué)，2006.

［5］ Freeman M T.3－Axis vibration test system simulates real world［J］.Test Engineering and Management，1990，12：10－14.

［6］ Whiteman W E，Berman M S.Inadequacies in uniaxial stress screen vibration testing［J］.Journal of the IEST，2001，44：20－23.

［7］ Whiteman W E.Fatigue failure results for multi－axial versus uniaxial stress vibration testing［J］.Shock and Vibration，2002，9：319－328.

［8］ Chen M，Wilson D R.The new tri－axial shock and vi－bration test system at hill air force base［J］.Journal of Institute of Environmental Sciences and Technology，1998，41（2）：27－32.

［9］ 關(guān)廣豐.液壓驅(qū)動(dòng)六自由度振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)控制策略研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

［10］關(guān)廣豐，王海濤，熊偉.6自由度液壓振動(dòng)臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及控制策略［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2011，31（1）：89－93.Guan Guangfeng，Wang Haitao，Xiong Wei.Kinematic analysis and control strategy of 6－DOF hydraulic vibration table［J］.Journal of Vibration，Measurement＆ Diagnosis，2011，31（1）：89－93.（in Chinese）

［11］嚴(yán)俠，牛寶良，朱長(zhǎng)春.三軸六自由度液壓振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)振動(dòng)控制分析與仿真［J］.機(jī)床與液壓，2007，35（10）：165－191.Yan Xia，Niu Baoliang，Zhu Changchun.MIMO random vibration control simulation in the three axis－six DOF shaking table［J］.Machine Tool ＆ Hydraulics，2007，35（10）：165－191.（in Chinese）

［12］陳建秋.六自由度模擬地震振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面控制原理研究［J］.廣州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，5（3）：75－79.Chen Jianqiu.Analysis of 6－DOF and table control of seismic simulation system［J］.Journal of Guangzhou University：Natural Science Edition，2006，5（3）：75－79.（in Chinese）

［13］陳建秋，任珉，楊澤群.模擬地震振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面補(bǔ)償技術(shù)分析［J］.廣州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，4（1）：74－77.Chen Jianqiu，Ren Min，Yang Zequn.Analysis of compensation technology of seismic simulation system［J］.Journal of Guangzhou University：Natural Science Edition，2005，4（1）：74－77.（in Chinese）

［14］Koebebakker S.Model based control of a flight simulator motion system［D］.Delft：Delft University of Technology，2001.

［15］馬建明.飛行器模擬液壓Stewart平臺(tái)奇異位形分析及其解決方法研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010.

［16］Bhaskar D，Mruthyunjaya T S.The stewart platform manipulator：a review［J］.Mechanism and Machine Theory，2000（35）：15－40.

［17］Underwood M A，Keller T.Applying coordinate transfor－mations to multi－DOF shaker control［J］.Sound and Vibration，2006，1：2－8.

［18］Lin W，Griffis M，Duffy J.Forward displacement analysis of the 4－4stewart platforms［J］.Journal of Mechanical Design，1992，114：444－450.

［19］Raghavan M.The stewart platform of general geometry has 40configurations［J］.Journal of Mechanical Design，1993，115（2）：277－282.

［20］Ku D M.Direct displacement analysis of a stewart platform mechanism ［J］. Mechanism and Machine Theory，1999，34：453－465.